流体力学第三章习题
更新时间:2023-11-19 17:54:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第三章 流体动力学基础
????3-1 已知速度场为u?2(x?y)i?(x?y)j?(x?z)k (m/s),求(2,3,1)点的速度和
加速度。
已已知知::ux?2(x?y),uy?x?y,uz?x?z 解解析析::(1) (2,3,1)点的速度为
ux?2(x?y)?10m/s,uy?x?y??1m/s,uz?x?z?1m/s u?ux?uy?uz?10?(?1)?1?10.10m/s (2) (2,3,1)点的加速度为
222222
ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z
?0?2(x?y)?2?(x?y)?2?0?6x?2y?6?2?2?3?18m/2s
ay??uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z
?0?2(x?y)?1?(x?y)?(?1)?0?x?3y?2?3?3?11m/2saz??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z
?0?2(x?y)?1?0?(x?z)?(?1)?x?2y?z?2?2?3?1?9m/2s a?222ax?ay?az?182?112?92?22.93m/s2
????23-2 已知速度场为u?(3x??)i?2(??y)j?(4y?3)zk (m/s),求τ=2秒时,位
于(2,2,1)点的速度和加速度。
已已知知::ux?3x??,uy?2(??y2),uz?(4y?3)z 解解析析::(1) τ=2秒、位于(2,2,1)点的速度为
ux?3x???8m/, suy?2(??y)??4m/,suz?(4y?3)z?5m/s u?ux?uy?uz?8?(?4)?5?10.25m/s (2) τ=2秒、位于(2,2,1)点的加速度为
2222222
ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z
?1?(3x??)?3?0?0?3(3x??)?1?3?(3?2?2)?1?25m/2say?
?uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z
?2?0?2(??y2)?(?4y)?0?8y(y2??)?2?8?2?(22?2)?2?34m/2saz??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z
?0?0?2(??y2)?4z?(4y?3)2z?8z(??y2)?(4y?3)2z?8?1?(2?22)?(4?2?3)2?1?9m/2s
a?222ax?ay?az?252?342?92?43.15m/s2
???3-3 已知二维流场的速度分布为u?(4y?6x)?i?(6y?9x)?j (m/s)。问:
(1)该流动是稳定流还是非稳定流?是均匀流还是非均匀流? (2)τ=1秒时,(2,4)点的加速度为多少? (3)τ=1秒时的流线方程?
已已知知::ux?(4y?6x)?,uy?(6y?9x)?
解解析析::(1) 因为速度与时间有关,所以该流动是非稳定流动;由下述计算得迁移加速度为零,流线为平行直线,所以该流动是均匀流动。
(2) 加速度的计算式为
ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z ?(4y?6x)?(4y?6x)??(?6?)?(6y?9x)??4??2(2y?3x)
ay??uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z
?(6y?9x)?(4y?6x)??(?9?)?(6y?9x)??(6?)?3(2y?3x)则τ=1秒、位于(2,4)点的加速度为
ax?4m/s,ay?6m/s;a? (3) 将速度分量代入流线微分方程,得 (6y?9x)?dx?(4y?6x)?dy?0 分离变量,积分得 (9x?4y?12xy)??C 或写成 (3x?2y)2222222ax?ay?7.21m/2s
??C
简化上式,得τ=1秒时的流线方程为 (3x?2y)?C?
3-4 已知速度场为ux?2y???,uy?2x?,uz?0。求τ=1时,过(0,2)点的流线方
3程。
已已知知::ux?2y?+?3,uy?2x?,uz?0 解解析析::将速度分量代入流线微分方程,得
2x?dx?(2y???3)dy?0? ?
dz?0?积分上式,得
(x2?y2)??y?3?C1? ?
z?C2?则 τ=1秒时,过(0,2)点的流线方程为
x2?y2?y?6?0? ?
z?C?3-5 20℃的空气在大气压下流过0.5m直径的管道,截面平均流速为30m/s。求其体积流量、质量流量和重量流量。
已已知知::在大气压下20℃空气的密度为1.205kg/m3,管道直径为0.5m,截面平均流速为30m/s。
解解析析::(1) 体积流量为 Q?uA?11?d2u???0.52?30?5.89m3/s 441122(2) 质量流量为 M??uA??d?u???0.5?1.205?30?7.09kg/s
44(3) 重量流量为
11?d2?gu???0.52?1.205?9.81?30?69.60N/s 44y23-6 流体在两平行平板间流动的速度分布为 u?umax[1?()]
b G??guA?式中umax为两板中心线y=0处的最大速度,b为平板距中心线的距离,均为常数。求通过两平板间单位宽度的体积流量。
2已已知知::速度分布为 u?umax[1?()]
yb解解析析::由体积流量计算式,得 Q?y24udy?2u[1?()]dy?buma x?A?0maxb3b3-7 下列各组方程中哪些可用来描述不可压缩流体二维流动? (1) ux?2x2?y2,uy?x3?x(y2?2y) (2) ux?2xy?x2?y,uy?2xy?y2?x2 (3) ux?x??2y,uy?x?2?y?
(4) ux?(x?2y)x?,uy?(2x?y)y? 已已知知::速度分布方程。
解解析析::将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程: (1)
?ux?uy??4x?2xy?2x?0,不可用来描述不可压缩流体二维流动; ?x?y?ux?uy(2) ??2y?2x?2x?2y?0,可以用来描述不可压缩流体二维流动;
?x?y(3)
?ux?uy??????0,可以用来描述不可压缩流体二维流动; ?x?y?ux?uy(4) ??2x??2y??2x??2y??4x??0,不可用来描述不可压缩流体二
?x?y维流动。
3-8 下列两组方程中哪个可以用来描述不可压缩流体空间流动?
1(x?2?y?)z2 21222234(2) ux?y?2xz,uy?xyz?2yz,uz?xz?xy
2(1) ux?xyz?,uy??xyz?,uz?2已已知知::速度分布方程。
解解析析::将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程:
?ux?uy?uz(1) ???yz??xz?2?(x?2?y?)z?0,可以用来描述不可压缩流体
?x?y?z空间流动;
?ux?uy?uz(2) 不可用来描述不可压缩流体???2z?x2z?2z?x2z?2x2z?0,
?x?y?z空间流动。
3-9 已知不可压缩流体二维流动在y方向的速度分量为uy?y?2x?2y,求速度在x方向的分量ux。
2已已知知::不可压缩流体二维流动的速度分量 uy?y?2x?2y
2解解析析::由不可压缩流体二维连续性方程
?ux?uy??0,得 ?x?y ux????ydx???(2y?2)dx??(2xy?2x)?f(y)
?uy3-10 已知不可压缩流体在r、θ方向的速度分量分别为ur?z方向的分量uz。
已已知知::不可压缩流体在r、θ方向的速度分量为 ur?解解析析::由不可压缩流体三维柱坐标的连续性方程
4,uθ?4r,求速度在2r4,uθ?4r。 r2ur?ur?uθ?uz????0,得 r?rr???z uz??(?ur?ur?u?48??)dz???(3?3)dz?4r?3z?f(r,?) r?rr??rr3-11 设不可压缩流体空间流动的两个速度分量为 (1) ux?ax2?by2?cz2,uy??dxy?eyz?fzx
y2z2x2z2(2) ux?ln(2?2),uy?sin(2?2)
bcac其中a、b、c、d、e、f均为常数。已知当z=0时uz=0。试求第三个速度分量。 已已知知::不可压缩流体空间流动的两个速度分量。 解解析析::(1) 由不可压缩流体空间流动的连续性方程
?ux?uy?uz???0,得 ?x?y?z
uz???(?ux?uy?)dz???(2ax?dx?ez)dz?x?y
1??(2axz?dxz?ez2)?f(x,y)212ez)。 2当z=0时,uz?0,则f(x,y)?0,所以 uz??(2axz?dxz?(2) uz??(??ux?uy?)dz???(0?0)dz?f(x,y) ?x?y当z=0时,uz?0,则f(x,y)?0,所以 uz?0。
3-12 已知不可压缩理想流体的压力场为p?4x?2y?yz?5z (N/m2),若流体密
322????度ρ=1000kg/m。g=9.8m/s。求流体质点在r?3i?j?5k m位置上的加速度。
3
2
3222已已知知::p?4x?2y?yz?5z(N/m),ρ=1000 kg/m3,g=9.8 m/s2。
解解析析::由压力分布式得
?p?p?p?12x2;??4y?z2;??2yz?5; ?x?y?z由已知条件,得fx?0,fy?0,fz??g。代入以下欧拉运动微分方程,
1?pdux?dux1?p1?2?a??f??0??12xxx???xd??d???x???dudu?1?p1?p1?yy? fy??fy??0??(?4y?z2)? ? 得 ay???yd??d???y??duz1?p1?1?pduz?a??f???g??(?2yz?5)fz??zz??d???z???zd???fx?将ρ=1000 kg/m3;g=9.8 m/s2;x=3,y=1,z=-5代入上式,得 ax??0.108 m/2s;ay?0.029m/2s;az??9.815m/2s; a?222ax?ay?az?(?0.108)2?0.0292?(?9.815)2?9.816m/2s
3-13 已知不可压缩理想流体稳定流动的速度场为
????22232 u?(3x?2xy)i?(y?6xy?3yz)j?(z?xy)k (m/s)
求流体质点在(2,3,1)点处的压力梯度。ρ=1000kg/m3,g=9.8m/s2。 已已知知::ux?3x2?2xy;uy?y2?6xy?3yz2;uz??(z3?xy2); ρ=1000 kg/m3,g=9.8 m/s2。 解解析析::由加速度计算式,得
ax?
dux?ux?u?u?u??uxx?uyx?uzxd????x?y?z?(3x2?2xy)(6x?2y)?(y2?6xy?3yz2)(?2x) ?18x3?6x2y?2xy2?6xyz2ay?
duyd???uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z?(3x2?2xy)(?6y)?(y2?6xy?3yz2)(2y?6x?3z2)?(z3?xy2)?6yz ?18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4az?duz?uz?u?u?u??uxz?uyz?uzzd????x?y?z
?(3x2?2xy)y2?(y2?6xy?3yz2)?2xy?(z3?xy2)(?3z2) ?9x2y2?3xy2z2?3z5将上式代入欧拉运动微分方程,
1?pdux????xd???1?pduy?f?? y?
??yd??1?pduz?fz?????zd??fx?dux??p3222??(f?)???(18x?6xy?2xy?6xyz)x??xd??duy??p??(fy?)???(18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4) 得 ?d???y??pdu??(fz?z)???(g?9x2y2?3xy2z2?3z5)?d???z将ρ=1000 kg/m3,g=9.8 m/s2;x=2,y=3,z=1代入上式,得
?p?p?p3 ??72kN/m3;?288kN/m3;??282.8kN/m?x?y?z????p??p??p?3则 gradp? i?j?k??72i?288j?28.28kkN/m?x?y?z???3-14 已知不可压缩理想流体的速度场为u?(x?2y)?i?(y?2x)?j (m/s),流体密
度ρ=1500kg/m3,忽略质量力,求τ=1s时位于(x,y)处及(1,2)点处的压力梯度。
?已已知知::ux?(x?2y)?,uy?(y?2x)?;ρ=1500kg/m;f?0。
3
解解析析::由加速度计算式,得
ax?
?ux?u?u?uxx?uyx?(x?2y)?(x?2y)????(y?2x)??(?2?)???x?y?uy???uy?x?uy?y
?(x?2y)(1??2)?2(y?2x)?2ay??ux?uy?(y?2x)?(x?2y)??(?2?)?(y?2x)????(y?2x)(1??2)?2(x?2y)?2当τ=1秒时,ax?6(x?y),ay??6(x?y) 代入欧拉运动微分方程,得
?p?p???ax??6?(x?y),???ay?6?(x?y) ?x?y则τ=1s时位于(x,y)处的压力梯度为
?????p??p?d?i?j??6?(x?y)i?6?(x?y)j??6?(x?y)(i?j) grap?x?yτ=1s时位于(1,2)点处的压力梯度为
???? gradp??6?(x?y)(i?j)?9000(i?j)N/m3
???3-15 已知不可压缩理想流体的速度场为u?Axi?Ayj (m/s),单位质量力为
??f??gk m/s2,位于坐标原点的压力为p0,求压力分布式。
已已知知::ux?Ax,uy??Ay;f??gk;p(0,0)?p0 解解析析::由加速度计算式,得
???ux?u?u?uxx?uyx?A2x???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?A2y
???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程,得
?p?p?p???ax???A2x,???ay???A2y,???(g?az)???g ?x?y?z
dp??p?p?pdx?dy?dz???A2xdx??A2ydy??gdz?x?y?z
1?A2(x2?y2)??gz?C 2???A2(xdx?ydy)??gdz积分上式,得 p??当x=0,y=0,z=0时,p=p0,则C=p0。代入上式,得压力分布式为
p?p0?1?A2(x2?y2)??gz 23-16 已知不可压缩理想流体在水平圆环通道中作二维稳定流动,当圆周速度分别为
uθ?k;uθ?kr;uθ?k时,求压力p随uθ和r的变化关系式。 rk已已知知::(1) uθ?k;(2) uθ?kr;(3) uθ?;ur?uz?0。 r解解析析::根据已知条件,简化欧拉运动微分方程,
2?ur?ur?uruθ1?p?urfr???ur?uθ?uz???r???rr???zr fθ?1?1fz??????u?u?uuu??p?uθ??urθ?uθθ?uzθ?rθ? r?????rr???zr???u?u?u?p?uz??urz?uθz?uzz??z???rr???z?2?uθ2uθ1?pdr 可以得到 ??? 或写成 dp?r??rr将已知条件代入上式,得 (1) uθ?k时, dp??k2dr2 积分得 p??klnr?C1 r1?k2r2?C2 2k12?22dr(3) uθ?时, dp??k3 积分得 p???kr?C3 r2r(2) uθ?kr时, dp??k2rdr 积分得 p?3-17 已知不可压缩理想流体的速度分量为ux?ay,uy?bx,uz?0,不计质量力,求等压面方程。
已已知知::ux?ay,uy?bx,uz?0;f?0。 解解析析::由加速度计算式,得
??ux?u?u?uxx?uyx?0?0?abx?abx???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?0?aby?0?aby
???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程,得
?p?p?p???ax???ab,x???ay???ab,y???az?0 ?x?y?z?p?p?pdx?dy?dz???abxdx??abydy???ab(xdx?ydy) ?x?y?z则 dp?在等压面上,dp?0,则等压面微分方程为 (xdx?ydy)?0 积分上式,得等压面方程 x?y?C
3-18 若在150mm直径管道内的截面平均流速为在200mm直径管道内的一半,问流过该两管道的流量之比为多少?
已已知知::d1=150mm,d2=200mm;u2=2u1。 解解析析::根据流量计算式,可得
22Q1A1u1du150219??(1)2(1)?()()??0.28 Q2A2u2d2u22002323-19 蒸气管道的干管直径d1=50mm,截面平均流速u1=25m/s,密度ρ1=2.62kg/m3,蒸气分别由两支管流出,支管直径d2=45mm,d3=40mm,出口处蒸气密度分别为ρ2=2.24kg/m3,ρ3=2.30kg/m3,求保证两支管质量流量相等的出口流速u2和u3。
已已知知::d1=50mm,d2=45mm,d3=40mm,u1=25m/s, ρ1=2.62kg/m3,ρ2=2.24kg/m3,ρ3=2.30kg/m3,M2=M3。
解解析析::根据已知条件列连续性方程,
111?d12?1u1??d22?2u2??d32?3u3 ① 444
11?d22?2u2??d32?3u3 ② 442 ③ ?1u1d12?2?2u2d2将②式代入①式,得
则 u2?代入②式,得
1?1d1212.6250 ()()u1??()?()2?25?18.05m/s2?2d222.2445 u3?(?2d222.2445 )()u2?()?()2?18.05?22.25m/s?3d32.30403-20 水射器如图所示,高速水流uj由喷嘴射出,带动管道内的水体。已知1截面管道内的水流速度和射流速度分别为u1=3m/s和uj=25m/s,管道和喷嘴的直径分别为0.3m和85mm,求截面2处的平均流速u2。
已已知知::D=0.3m,d=85mm,u1=3m/s,uj=25m/s 解解析析::列连续性方程,
111?(D2?d2)u1??d2uj??D2u2 444d2d0.08520.0852)]u1?()2uj?[1?()]?3?()?25?4.766m/s DD0.300.30则截面②处的平均流速为 u2?[1?(3-21 已知圆管中流速分布为u?umax(y17),r0为圆管半径,y为离管壁的距离,umaxr0为管轴处的最大流速,求流速等于截面平均流速的点离管壁的距离yc。
已已知知::速度分布为 u?umax(解解析析::截面平均流速为
y17) r01 u??r02令 u?uma(x得 yc?(?r00y7yy49 u?2?rdr?2uma?()(1?)d()?umaxx0rr0r060011y1749 )?u?umaxr060497)r0?0.2423r0 603-22 管道末端装一喷嘴,管道和喷嘴直径分别为D=100mm和d=30mm,如通过的流量为0.02m3/s,不计水流过喷嘴的阻力,求截面1处的压力。
已已知知::D=100mm,d=30mm,Q=0.02m3/s,pm2=0。 解解析析::由连续性方程,得
3-33 直径为d1=700mm的管道在支承水平面上分支为d2=500mm的两支管,A-A截面压力为70kN/m2,管道中水的体积流量为Q=0.6m3/s,两支管流量相等。(1)不计压头损失,求支墩受水平推力;(2)压头损失为支管流速压头的5倍,求支墩受水平推力。不考虑螺栓连接的作用。
已已知知::d1=700mm,d2=500mm,Q=0.6m3/s,pm1=70kN/m2 解解析析::(1) 依题意知 Q2?11Q??0.6?0.3m3/s,α=30°。 22u1?
4Q4?0.6??1.56m/s,22?d13.14?0.74Q24?0.3??1.53m/s22?d23.14?0.5
u2?(2) 列A-A至B-B及C-C间的伯努利方程 pm1? pm21212?u1?pm2??u2 22112?pm1??(u12?u2)?70?103??103?(1.562?1.532)?70046N/m2
22(3) 取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体,设支墩对水流的水平反推力为Rx,列动量方程,坐标系的方向为u1的方向,
pm1A1?2pm2A2cos??Rx?2?Q2u2cos???Qu1 那么,支墩所受的水平推力为
Rx?pm1A1?2pm2A2cos???Q(u2cos??u1)
1???(0.72?70?0.52?70.046?cos30??2)?103 4?103?0.6?(1.53?cos30??1.56)?325.86N121212?u1?pm2??u2?5??u2 222112?pm1??(u12?6u2)?70?103??103?(1.562?6?1.532)?64194N/m2
22(4) 假若压头损失为支管流速压头的5倍,则A-A至B-B及C-C间的伯努利方程为 pm1?则 pm2(5) 取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体,设支墩对水流的水平反推力为Rx,列动量方程,坐标系的方向为u1的方向,
pm1A1?2pm2A2cos??Rx?2?Q2u2cos???Qu1 那么,支墩所受的水平推力为
Rx?pm1A1?2pm2A2cos???Q(u2cos??u1)
1???(0.72?70?0.52?64.194?cos30??2)?103 4?103?0.6?(1.53?cos30??1.56)?524N63-34 水流经180°弯管自喷嘴流出,如管径D=100mm,喷嘴直径d=25mm,管道前
端测压表读数M=196.5kN/m2,求法兰盘接头A处,上、下螺栓的受力情况。假定螺栓上下前后共安装四个,上下螺栓中心距离为175mm,弯管喷嘴和水重为150N,作用位置如图。
已已知知::D=100mm,d=25mm,M=196.5kN/m2,W=150N,dn=175mm。
解解析析::取法兰盘A至喷嘴出口间的弯曲流段作为控制体,取喷嘴轴线所在水平面为基准面,建立坐标系如图所示。
(1) 列连续性方程
11d?D2u1??d2u2 或写成 u1?()2u2 ① 44D(2) 列A至喷嘴出口间的伯努利方程
2u12u2 ② ?z1???2g2gpm1将式①代入式②,得
2u2pd [1?()4]?m1?z1
2gD?2g(pm1/??z1)2?9.81?(196.5?103/9810?0.3)所以 u2???20.01m/s 441?(d/D)1?(0.025/0.10)d20.0252)u2?()?20.01?1.25m/s D0.101122?33 Q??du2???0.025?20.01?9.817?10m/s
44 u1?((3) 设弯管对流体的反作用力为R,方向如图所示,列控制体的动量方程 R?pm1所以反推力为
1?D2??Q(u2?u1) 41R?pm1?D2??Q(u2?u1)4
1?196.5?103???0.102?1000?9.817?10?3(20.01?1.25)?1751.23N4(4) 流体对管壁的总推力由4个螺栓分担,但并非均匀分担。由于螺栓群所受的逆时针方向的力矩为
M?0.3W?0.3?Qu2?0.3(W??Qu2)?0.3?(150?1000?9.817?10?20.01)??13.93N?mR1751.23??437.8N 44?3
所以,左右两个螺栓受力各为:
上螺栓受力为:
RM13.93??437.8??358.2N 4dn0.175下螺栓受力为:
RM13.93??437.8??517.4N 4dn0.1753-35 下部水箱重224N,其中盛水重897N,如果此箱放在秤台上,受如图的恒定水流作用。问秤的读数是多少?
已已知知::d=0.2m,h0=1.8m,h=6.0m,G=897N,W=224N。 解解析析::(1) 列两水池液面至管口的伯努利方程,基准面取在管口所在的水平面上,可得到管出口的流速为
u0?2gh0?2?9.81?1.8?5.94m/ s(2) 列上水池液面至下水池液面间的伯努利方程,基准面取在下水池液面上,可得到冲击下水池的流股的流速为
u?2g(h0?h)?2?9.81?(1.8?6.0)?12.37m/s
(3) 取下池水体为控制体,并设池底对水体的反作用力为R,列动量方程,坐标系的方向垂直向下,得
?R?11?d2?u0(u0?u)???0.22?103?5.94?(5.94?12.37)??1199N 449 所以 R?119N则下水箱的总重量为 W0?R?G?W?1199?897?224?2320N
3-36 求水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力。假定A、B两截面间水重为2.69kN,而且截面B流出的流动可以认为是自由射流。
已已知知::h0=2.1m,hA=0.6m,hB=0.9m,B=1.0m,W=2690N。 解解析析::(1) 取上部流线为对象,列水池截面至A截面的伯努利方程,基准面取在池底所在的水平面上,
2uA得 h0?hA?
2g则A截面的平均速度为
uA?2g(h0?hA)?2?9.81?(2.1?0.6)?5.425m/s 列A、B两截面间的伯努利方程,取中间流线为对象,得
22uAuB1 hA? ?hB?22g2g则B截面的平均速度为 uB?1122g(hA?hB)?uA?2?9.81?(?0.6?0.9)?5.4225?4.202m/ s22(2) 由A、B之间的连续性方程 aBuA?bBuB,得挑流坎出口流股的宽度b为
b?a(uA5.425)?0.6?()?0.775m uB4.202那么,A、B上的总压力分别为 PA?112?BhA??9810?1.0?0.62?1765.8N 221Bb211.0?0.7752??9810??416.46N PB???2cos?2cos45(3) 设挑流坎AB作用于水流的水平分力和铅直分力分别为Rx和Ry,列A、B间的动量方程
PA?PBco?s?Rx??Q(uBco?s?uA)Ry?PBsin??G??QuBsin?
Rx?PA?PBcos???Q(uBcos??uA)
?1765.8?4166.4?cos45??1000?0.6?5.425?(4.202?cos45??5.42)5 ?680.66N
Ry?PBsin??G??QuBsin??4166.4?sin45?2690?1000?0.6?5.425?4.202?sin45?15307.5N??
所以,水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力分别为6806.6N和15307.5N。
3-37 水流垂直于纸面的宽度为1.2m,求它对建筑物的水平作用力。 已已知知::h1=1.5m,h2=0.9m,B=1.2m。
解解析析::(1) 取上部流线,列建筑物上下游两流动截面间的伯努利方程和连续性方程,基准面取在底面上,
2u12u2 h1? ?h2?2g2g u1h1B?u2h2B 或写成 u1?u2(代入伯努利方程,得
u2?h2) h12g(h1?h2)2?9.81?(1.5?0.9) ??4.289m/sh220.921?()1?()1.5h1h20.9)?4.289?()?2.573m/ sh11.53 u1?u2( Q?u2h2B?4.289?0.9?1.2?4.632m/s (2) 建筑物上下游两流动截面上的总压力分别为
121?h1B??9810?1.52?1.2?1324.53N 22121?0.92?1.2?476.77N P2?p2A2??h2B??981022 P1?p1A1?(3) 设建筑物对水流的反作用力为R,列建筑物上下游两流动截面间的动量方程,坐标系的方向为流体的流动方向,得
P1?P2?R??Q(u2?u1) 所以,水流对建筑物的水平作用力为
R?P1?P2??Q(u2?u1)?13243.5?4767.7?1000?4.632?(4.289?2.573)?527.3N
3-38 有一圆柱体放在两无限宽的平行平板中间,平板间距B为1m,圆柱体前水流为均匀分布,流速u1=5m/s,流过圆柱体后,流速近似三角形分布,求单位长度圆柱体对水流的阻力。平板对水流的摩擦阻力不计。
已已知知::u1=5m/s,B=1m。
解解析析::(1) 选取圆柱体前后两截面间的空间为控制体,建立坐标系,并假定物体对水流的阻力为F,方向如图,摩擦阻力不计。上游截面上的速度为均匀分布,u1=5m/s;设下游截面上的速度分布为u2=ay+b,a、b为待定系数,由边界条件和连续性条件确定。当y=0时,u2=0,得b=0;列上下游两截面间的连续性方程
u1B?2得 a??B201aydy?aB2
44u14?5??20 B1所以 u2?20y
列x方向上的动量方程(圆柱体为单位长度),
?F??(?A22u2dy?u12B)
2所以 F??(u1B??2A22u2dy)??[u12B?2?(20y)2dy]
020.5N ?1000?(5?1.0?2?20??0.5)??8333这里说明,在题设的理想条件下,圆柱体对流体不会产生阻力,而且阻力为负。
3-39 理想流体平面射流以θ角冲击在无限宽(垂直纸面方向)的平板上,如射流的单宽流量为q0,速度为u0,遇平板后两侧的单宽流量为q1和q2,求:(1)用θ函数表示的q1/q2;(2)射流对单宽平板的作用力。
已已知知::θ、u0、q1、q2、q0。
解解析析::(1) 建立坐标系如图,取冲击流股为控制体,设平板对射流流体的反作用力为T,列0-1和0-2间的伯努利方程,忽略重力,并注意到 p1=p2=p0=pa,得
133
22u0u12u2?? 或写成 u0?u1?u2 222(2) 对控制体列x方向的动量方程,得 0??q1u1??q2u2??q0u0co?s
或者 q1?q2?q0cos? ① 由连续性方程可知,q2?q0?q1 ② 代入①式,整理后得 q1?代入②式得 q2?所以
1?cos?q0 21?cos?q0 2q11?cos? ?q21?cos?(3) 对控制体列y方向的动量方程,得 T??q0u0sin?
则射流对单宽平板的作用力为T???q0u0sin?。
3-40 直径为10cm、速度为20m/s的水射流垂直冲击在一块圆形平板上,不计阻力,问: (1)平板不动时,射流对平板的冲击力为多大?
(2)如平板以速度5m/s向左运动,射流对平板的冲击力为多少?水流离开平板时,其流速的大小和方向是什么?
已已知知::d0=10cm,u0=20m/s;U=5m/s。
解解析析::(1) 平板不动时,取平板前的水射流为控制体,坐标x的方向与射流速度u同向,设平板对射流的反作用力为T,重力不计,对控制体列x方向的动量方程,得
T??u0A0?21?3.14?0.12?1000?202?3140N 4所以,平板不动时,射流对平板的冲击力为3140N。
(2) 当平板以速度5m/s向左运动时,射流与平板之间的相对速度为u0+U,列x方向的动量方程,得
T??(u0?U)A0?21?3.14?0.12?1000?(20?5)2?4906N 4所以,当平板以速度5m/s向左运动,射流对平板的冲击力为4906N。
列射流出口至板缘间的伯努利方程,并注意到 p= pa,相对速度u=u0+U,得
2(u0?U)2u2? 22则 u2?u0?U?20?5?25m/s
则水流离开平板时,其流速的大小为25m/s,方向平行于板面,沿径向流出。
3-41 有一直径由20cm变至15cm的90°变径弯头,其后端连一出口直径为12cm的喷嘴,水由喷嘴射出的速度为20m/s,求弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV。不计弯头内的水体重量。
已已知知::d1=20cm,d2=15cm,d3=12cm,u3=20m/s。
解解析析::(1) 建立坐标系如图,取弯头内的水体为控制体,设弯头对水体的反作用力为F,其水平分力和垂直分力分别为FH和FV,重力不计。列连续性方程,
111?d12u1??d22u2??d32u3 444得 u1?u3(d320.122)?20?()?7.2m/ sd10.20d320.122)?20?()?12.8m/s d20.15 u2?u3((2) 分别列出1-3和2-3间的伯努利方程,注意到pm3=0。
12121212?u1??u3; pm2??u2??u3 222211222220/m所以 pm1??(u3?u1)??1000?(20?7.2)?17408N
2211222220/m pm2??(u3?u2)??1000?(20?12.8)?11808N
22 pm1?(3) 对控制体列x方向和y方向的动量方程,得
2 ?FH?pm2A2??u2A2; pm1A1?FV???u12A1
N 所以 FH??pm2A2??u2A2???3.14?0.15(118080?1000?12.8)??4979122412201000?7.22)??7094N FV??pm1A1??u1A1???3.14?0.20?(17408?42弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV分别为4979N和7094N。
3-42 图示为一矩形容器,水由①、②两管流入,由③管流出,①、②、③管的直径分别为20cm、20cm和25cm,①、②两管的流量同为0.2m3/s,管口相对压力皆为32kN/m2,③管出口为大气压,倾角θ为30°。三根短管都位于同一水平面上,如容器仅由A点支撑,求xoy平面上作用于A点的力和力矩。
已已知知::d1=d2=20cm,d3=25cm,Q1=Q2=0.2m3/s,Q3=2Q1。 pm1=pm2=32kN/m2,pm3=0,θ=30°,其它尺寸如图。 解解析析::(1) 由连续性方程,得
u1?u2?4Q14?0.2??6.37m/ s?d123.14?0.22 u3?4Q34?0.2?2 ??8.15m/s22?d33.14?0.25(2) 取容器内的水体为控制体,建立坐标系如图所示,设A点所受的力为F,其分量分别为Fx和Fy,对控制体列动量方程,得
?Fx?pm2A2??Q3u3cos???Q2u2 ?Fy?pm1A1??Q3u3sin???Q1u1
Fx??pm2A2??Q3u3cos???Q2u2
??(32?103???510N23.14?0.22?1000?0.2?2?8.15?cos30??1000?0.2?6.37) 4Fy?pm1A1??Q3u3sin???Q1u1
?32?103??64.88N3.14?0.22?1000?0.2?2?8.15?sin30??1000?0.2?6.37 4 F?2Fx2?Fy2?(?510)2?64.882?514N3
(3) 对A点列动量矩方程,得
M??Fr??Q3u3sin?x3??Q3u3cos?y3??Q1u1x1??Q2u2y2
?1000?0.2?[2?8.15?(3?sin30??5?cos30?)?6.37?(2?2.5)] ??14959N?m?14.96kN?m3-43 如图所示的盛水容器,已知H=6m,喷口直径d=100mm,不计阻力,求: (1) 容器不动时,水流作用在容器上的推力;
(2) 容器以2m/s的速度向左运动,水流作用在容器上的推力。 已已知知::H=6m,d=100mm;U=2m/s。
解解析析::(1) 列容器液面至喷嘴出口的伯努利方程,可得喷口速度为 u?2gH?2?9.81?6?10.85m/ s流量为 Q?11?d2u??3.14?0.12?10.85?0.0852m3/s 44取容器中的水体为控制体,坐标系建在容器上,方向向左,设容器对水流的反作用力为F,列动量方程,得
F??Qu?1000?0.0852?10.85?924N 则水流作用在容器上的推力为924N。
(2) 当容器以2m/s的速度向左运动时,其相对速度为u?U,列动量方程,得 F??Q(u?U)?1000?0.0852?(10.85?2)?754N 所以,水流作用在容器上的推力为754N。
3-44 水射流由直径d=6cm的喷嘴垂直向上喷射,离开喷口的速度为15m/s,若能支撑一块重100N的平板,射流喷射的高度Z为多少?
已已知知::d=6cm,u1=15m/s,W=100N。 解解析析::(1) Q?11?d2u1??3.14?0.062?15?42.39?10?3m3/s 44取管嘴出口至平板间的水体为分析对象,建立坐标系,方向垂直向上,设射流冲击平板时的速度为u2,根据动量方程
?W??Q(0?u2) 则 u2?W100??2.36m/s ?Q1000?42.39?10?3(2) 列管嘴出口至平板间的伯努利方程,得
2u12u2 ??z
2g2g2u12?u2152?2.362所以 z???11.2m
2g2?9.813-45 喷嘴直径25mm,每个喷嘴流量为7L/s,若涡轮以100r/min旋转,计算它的功率。 已已知知::d=25mm,R=0.6m,Q=7×10-3m3/s,n=100r/min。 解解析析::(1) 由流量计算式,得喷嘴出流速度为
4Q4?7?10?3 u? ??14.27m/s?d23.14?0.0252喷嘴自身的旋转速度为
u0??R?2?n2?3.14?100?R??0.6?6.28m/s 6060所以,单个喷嘴的射流反作用力为 F??Qu 那么,射流的总功率为
N?4Fu0?4?Quu0?4?1000?7?10?3?14.27?6.28?2509W?2.51kW 3-46 臂长皆为10cm的双臂喷水装置,喷水口直径为1cm,在3cm直径的中心供水管内水流速度为7m/s,求:
(1)转臂不动时需施加的力矩;
(2)使转臂以150r/min的转速反时针方向旋转需施加的力矩。
已已知知::d=1cm,D=3cm,u0=7m/s,R=10cm;ω=150r/min,q=0.5Q。 解解析析::(1) 由流量计算式,得 Q?11?D2u0??3.14?0.032?7?4.946?10?3m3/s 444q4?0.5?4.946?10?3喷嘴出口流速为 u???31.5m/s 22?d3.14?0.01那么,根据动量方程,转臂不动时所需施加的力矩为
M?2?quR??QuR?1000?4.946?10?3?31.5?0.1?15.58N?m (2) 当转臂以150r/min的转速逆时针方向旋转时,转臂的旋转速度为
2?nR2?3.14?150?0.1??1.57m/s 6060那么,射流的绝对速度为u?U,这是需要施加的力矩为
U??R? M??Q(u?U)R?1000?4.946?10?3?(31.5?1.57)?0.1?16.36N?m 3-47 有一向后喷射水流作为动力的机动船逆水航行,河水流速为1.5m/s,相对于河岸的船速为9m/s,船尾喷口处相对于船体的流速为18m/s,流量为0.15m3/s,求射流对船体的推力。
已已知知::u0=1.5m/s,u1=9m/s,u2=18m/s,Q=0.15m3/s。 解解析析::根据题意知,河水相对于船体的速度为而喷射流体相对于船体的速度为u2,设射流u0?u1,
对船体的推力为F,列动量方程,得
F??Q(u2?u0?u1)?1000?0.15?(18?1.5?9)?112N5
3-48 装在小车上的水箱侧壁有一流线型喷嘴,直径为20mm,已知h1=1m,h2=2m,射流恰好平顺地沿小坎转向水平方向离开小车。求:(1)射流对水箱的水平推力;(2)射流对小车的水平推力;(3)射流对小坎的水平推力。
已已知知::d=20mm,h1=1m,h2=2m。
解解析析::(1) 设喷嘴出口流速为u1,小坎出口出的流速为u2,分别列出水箱自由液面至喷嘴出口及小坎出口的伯努利方程,可得
u1?2gh 1?2?9.81?1.0?4.43m/s u2?2g(h1?h2)?2?9.81?(1.0?2.0)?7.67m/s Q?11?d2u1??3.14?0.022?4.43?1.39?10?3m3/s 44(2) 设射流对水箱的水平推力为F1;射流对小车的水平推力为F2;射流对小坎的水平推力为F。那么,根据动量方程,得
F1??Qu1?1000?1.39?10?4.43?6.16N
?3 F2??Qu2?1000?1.39?10?3?7.67?10.66N F?F2?F1?10.66?6.16?4.5N
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