2014(浙江)高考数学(理)二轮专题训练：第1部分 专题二 第1讲 三角函数的图像与性质(选择、填空题型)

第一讲 三角函数的图像与性质 选择、填空题型

π

1．(2013·山东高考)将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶

8函数的图像，则φ的一个可能取值为( )

3π

4C．0

πB. 4πD4

π

解析：选B 把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移8ππ2x＋＋φ ，到的图像的解析式是y＝sin 该函数是偶函数的充要条件是4 4ππ

＋φ＝kπk∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.

24

ππ

ω＞0，－＜φ的部分图像如图所示，2.(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 22 则ω，φ的值分别是(

)

π

A．23π

C．4，－

6

π

B．2，－6π

D．4，3

π2π35π5ππ

＝，所以ω＝2.又因为2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，且－解析：选A 因为 12 3 ω4122

πππφ<，所以φ＝－223

3．(2013·江西高考)函数y＝sin 2x＋3sin2x的最小正周期T为________．

π

2x－ ＋3，所以该函数的解析：y＝sin 2x＋2 3sin2x＝sin 2x－3cos 2x3＝2sin 3 2π

最小正周期为T＝π.

2

答案：π

4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.

解析：f(x)＝sin x－2cos x＝5 cos φ＝

5525 sin xcos x＝5sin (x－φ)，其中sin φ＝55 5

5ππ

，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋φ(k∈Z)时函数f(x)522

25

取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－5

25

答案：

－5

1．六组诱导公式

2．三种函数的图像和性质

3.三角函数的两种常见图像变换

1

横坐标变为原来的倍

(1)y＝sin x―――――――→y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋纵坐标不变平移φ)―――――――→ 横坐标不变

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．

1

横坐标变为原来的倍

向左 φ>0 或向右 φ<0

纵坐标变为原来的(2)y＝sin x y＝sin ωx 纵坐标不变

y＝sin(ωx＋φ)――――――――→ y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0). 横坐标不变

向左 0或向右 0

平移

纵坐标变为原来的

个单位

5π5π

sin，cos，则角α的最小正值为 [例1] (1)已知角α的终边上一点的坐标为 6 6( )

5π

65π3

2π B.

311π D.

6

π 1

－θ＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin 2θ的值是________． (2)若3cos 2 25π5π

[自主解答] (1)∵sin>0，cos，

66∴α为第四象限角．

5π3

cos－

62

又tan α＝＝＝－3，

5π1sin625π

∴α3

π

(2)∵3cos 2θ ＋cos(π＋θ)＝0， 1∴3sin θ－cos θ＝0，从而tan θ.

3

141＋ 33cosθ＋sin θcos θ1＋tan θ16

∴cos2θθ＝＝＝212105sinθ＋cosθ1＋tanθ

1＋ 9 32

6

[答案] (1)C (2)

5

——————————————————(规律·总结)——————————————

应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．

(2)

使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．

41．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________．

54

解析：由点P(－8m，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－知角α的终边在第三象

5限，则m>0，又cos α＝

41m＝.

52 －8m ＋91

答案：2

2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则

－8m

________．

11π9π cos 2α sin 2α

－sin α·sin αy3解析：原式＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝x4－sin α·cos α3

－4

3

答案：－

4

[例2] (1)(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M，ω，φ是常数，M>0，ω>0,0≤φ≤π)的部分图像如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(－1)＝( )

A．－2 C．2

B．－1 D．－1或2

π cos 2＋α sin －π－α

π(2)(2013·海口模拟)将函数y＝sin ωx(ω>0)的图像向左平移个单位，平

6移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式为( )

πx＋ A．y＝sin 6 πx－ B．y＝sin 6π2x＋ C．y＝sin 3 π2x－ D．y＝sin 3

[自主解答] (1)由图可知M＝2.因为A，B两点分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，设A(x1,2)，B(x2，－2)，因为|AB|＝5 x2－x1 ＋ －2－2 ＝5，解得|x2－x1|＝3.T2π

因为A，B两点的横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即＝3，T＝6，所以6，

2ωπ1π5π

解得ω＝.因为f(0)＝1，所以2sin φ＝1，解得sin φ＝.因为0≤φ≤π，所以φ＝或φ＝.

3266π

5ππ5π

结合图像，经检验，φ＝不合题意，舍去，故φ＝.所以f(x)＝2sin 3

x6.故f(－1)＝66π5ππ

＝2sin＝2. 2sin 36 2

ππ

x＋ (2)函数y＝sin ωx(ω>0)的图像向左平移个单位后对应的函数解析式为y＝sin ω 6 6ωπ7π7πωωπ3π

ωx＋，又因为f ＝－1，由图可得＝sin ＋，解得ω＝2，所以平移后的图6 121262π

2x＋ . 像对应的函数解析式为y＝sin 3

[答案] (1)C (2)C

——————————————————规律·总结——————————————

根据三角函数图像确定解析式应注意的问题

在利用图像求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．

π2

3.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图像如图所示，f ＝－， 23π

＝( ) 则f 62A．－

323

1

B．－21 D.

2

11π7π2πππ2ππ2＝，所以f －＝f －＋＝f 解析：选A 由图知，T＝212123 6 63 234.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )

A．－3

3

2

B．－

62

D．－3

π

解析：选D 由函数是奇函数，且0<φ<π可得φ＝.由图像可得函数的最小正周期为4，

2πππ

ω由△EFG3，可得A＝3.所以f(x)3cos 所以f(1)3cos π3. 2x2，2

a1 a2 sin x [例3] (1)定义行列式运算 ＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝ 的图像向左 a3 a4 1 cos x 平移n(n>0)个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为( )

π

65π6

πB. 32πD. 3

π

(2)(2013·皖南八校联考)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图像关于直线x＝对称，且

12π f 3 ＝0，则ω的最小值为( )

A．2 C．6

B．4 D．8

π

x＋ ，将其图像向左平移n个单[自主解答] (1)由定义知f(x)＝3cos x－sin x＝2cos 6 ππ

xn 的图像，要使该函数为偶函数，应有n＝kπ(k∈Z)，即n＝kπ位后得到y＝2cos 6 6π5π

－k∈Z)，因此，当k＝1时，n66

πππ

(2)由题意知ωφ＝k1π，ωφ＝k2π＋，其中k1，k2∈Z，两式相减可得ω＝4(k2

1232－k1)＋2，又ω>0，易知ω的最小值为2.

[答案] (1)C (2)A

——————————————————规律·总结——————————————

1．奇偶性的三个规律

π

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数 φ＝kπ＋k∈Z)；

2π

(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数 φ＝kπ＋k∈Z)，是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)；

2(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)． 2．对称性的三个规律

π

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋k∈Z)解得，对称中心的横坐

2标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；

(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图像的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由π

ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得；

2

kπ

(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图像的对称中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得．

2

ππ

ωx＋(ω∈N*)的一个对称中心是 0 ，则ω的最小值为( ) 5．若函数y＝cos 6 6 A．1 C．4

B．2 D．8

πωπ πωππ

＝0，∴＝＋kπ(k∈Z)，∴ω＝2＋6k，又ω∈N*，∴解析：选B ∵cos 66 662ω的最小值为2.

π 6．若函数f(x)＝Asin 2＋φ (A>0)满足f(1)＝0，则( ) A．f(x－2)一定是奇函数 B．f(x＋1)一定是偶函数 C．f(x＋3)一定是偶函数 D．f(x－3)一定是奇函数

2π

解析：选D 由于函数周期为＝4，又由f(1)＝0可知(1,0)为函数f(x)图像的一个对称

2中心，且f(x－3)的图像是由函数f(x)的图像向右平移3个单位所得，故函数f(x－3)图像的一个对称中心为(4,0)，又函数周期为4，故(0,0)也是函数f(x－3)图像的一个对称中心，即图像关于原点对称，故函数f(x－3)为奇函数.

3π3π－ [例4] (1)(2013·沈阳模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋ωπ)(A>0，ω>0)的图像在 4 2上单调递增，则ω的最大值是( )

1

2C．1

3B. 4D．2

π π

x满足f －＝f(0)，则函数f(x)在(2)设a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2 2 3

π11π上的最大值和最小值分别为________，________. 424π

[自主解答] (1)因为A>0，ω>0，所以f(x)＝Asin(ωx＋ωπ)的递增区间满足2kπ－≤ωx

2ππ2kπ－2kπ＋

223π3ππ

－ ＋ωπ≤2kπ＋(k∈Z)，即－π≤x≤－π(k∈Z)，所以 4 22ωωπ 2kπ－π ω≤2＋8k，2kπ＋

22即ω≤1，所以ω的最大值为1. (k∈Z)，解得 －π，π ω≤1－4k， ωω

a

(2)f(x)＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝x－cos 2x.

2π3a1

－ ＝f(0)，得 ＋＝－1， 由f 3 222解得a＝23.

ππ11πππ3π

2x－ ，由x∈ ，可得2x . 因此f(x)＝x－cos 2x＝2sin 6 4246 34πππππ

，时，2x－ ，f(x)为增函数； 当x∈ 436 32π11ππ π3π，当x∈ 时，2x－，f(x)为减函数， 3246 24π11π π＝2. 所以f(x)在 上的最大值为f 424 3π 11π＝2， 又f 3，f 4 24π11π 11π2. 故f(x)在 上的最小值为f 424 24[答案] (1)C (2)2 —————————————————规律·总结——————————————

2

三角函数的单调性、周期性及最值的求法

(1)三角函数单调性的求法：

求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．

(2)三角函数周期性的求法：

2π

函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T.应特别注意y＝|Asin(ωx

|ω|π

＋φ)|的周期为T＝|ω|

(3)三角函数值域的求法：

在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合正弦函数性质可得函数f(x)的最值．

π

|x|＋(x∈R)，则f(x)( ) 7．设函数f(x)＝cos 6 5π

－0 上是增函数 A．在区间 6 5π

0，上是增函数 B．在区间 6 ππ

－上是增函数 C．在区间 33ππ

－ 上是减函数 D．在区间 33

5π

0，上是解析：选A 依题意，f(－x)＝f(x)，函数f(x)是偶函数，注意到函数f(x)在 6 5π

0 上是增函数. 减函数，因此f(x)在 6

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