曲线上一点处的切线

曲线上一点处的切线执教者： 执教者：金志春常熟市梅李中学

1.什么叫做平均变化率 什么叫做平均变化率 一般地，函数 在区间[x 一般地，函数f(x)在区间 1,x2]上的平均变化率 在区间 上的平均变化率

曲线y=f(x) 上两点 曲线 几何意义： 几何意义： 连线的斜率。 连线的斜率。 平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的 平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的 近似地刻画了曲线在某个区间上 变化趋势

如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢

.P

如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

.P .P放大

.P .P

放大

.P

1)观察“点P附近的曲线”,随着图形放大，你看 )观察“ 附近的曲线” 随着图形放大， 附近的曲线 到了怎样的现象？ 到了怎样的现象？ 曲线有点像直线 2)这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势 )这种现象下， 看几乎成了 直线 这种思维方式就叫做“逼近思想”。 这种思维方式就叫做“逼近思想”

P放大

P放大

P

P放大

P放大

P

从上面的图形来看： 1).曲线在点 P附近看上去几乎成了直线l 附近看上去几乎成了直线l 附近看上去几乎成了直线 2).继续放大，曲线在点 附近将逼近一条确定的直线 ， 继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线 附近将逼近一条确定的直线l, 这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线 这条直线是过点 的所有直线中最逼近曲线的一条直线 3).点P附近可以用这条直线l代替曲线 附近可以用这条直线l 4).用直线l的斜率来刻画曲线经过p点时的变化趋势 用直线l的斜率来刻画曲线经过p

探究怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l 探究怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l 1)在点P附近能做出比PQ更加逼近曲线的直线l吗？ 在点P附近能做出比PQ更加逼近曲线的直线 更加逼近曲线的直线l 2)在点P附近还能做出更加逼近曲线的直线l吗？ 在点P附近还能做出更加逼近曲线的直线ly=f(x) y Q 割 线

切线 l P o x

●切线定义 定义如图， 为曲线C上不同于 的一点， 称为曲线的割线 如图，设Q为曲线 上不同于 的一点，直线 称为曲线的割线 为曲线 上不同于P的一点 直线PQ称为曲线的割线. 随着点Q沿曲线 向点 运动，直线PQ在点 附近逼近曲线C, 在点P附近逼近曲线 当点 随着点 沿曲线C向点 运动，直线 在点 附近逼近曲线 ， 沿曲线 向点P运动 当点Q 无限逼近点P时 直线PQ最终就成为经过点 处最逼近曲线的直

线l, 最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线 无限逼近点 时，直线 最终就成为经过点 处最逼近曲线的直线 ， 割线逼近切线. 这条直线l也称为曲线在点P处的切线 这种方法叫割线逼近切线 也称为曲线在点 处的切线. 这条直线 也称为曲线在点 处的切线. 这种方法叫割线逼近切线 yQ

P O x

利用直尺， 利用直尺，用割线逼近切线的方法作出 下列曲线在P点处的切线 下列曲线在 点处的切线

P P ●P为已知曲线 上的一点，如何求出点P处的 已知曲线C上的一点 如何求出点P 已知曲线 上的一点， 切线方程？ 切线方程？

试求f 在点(2,4)处的切线斜率. 试求 (x)=x2在点 处的切线斜率分析：设P( , Q(xQ, f (xQ )), 24 ),

y

Q

PQ 则割线 的斜率为 kPQ f (xQ ) 4 xQ 4 = = = xQ + 2 xQ 2 xQ 22

4

·

P

当Q沿曲线逼近点 时， P PQ P处的切线， 割线 逼近点 处的切线， ; 从而割线斜率逼近切线 斜率

O

P点横坐标时， 当Q点横坐标无限趋近于 点横坐标时， 2 k 4 2 x 即xQ无限趋近于 时， PQ 无限趋近于常数 ;

f 2 ) 在点( 4 从而曲线 (x) = x2在点(, 处的 4 切线斜率为 .

试求f 在点(2,4)处的切线斜率 处的切线斜率. 试求 (x)=x2在点 处的切线斜率解：设P( , Q(xQ, xQ ), 24 ),2

解： 设P(2,4), Q(2 + x, (2 + x)2 ), 则割线PQ的斜率

则 线 的 率 割 PQ 斜 为 kPQ = xQ 42

xQ 2

= xQ + 2当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4, 从而曲线f(x) = x2 在点( , 24 )处的切线 斜率为 . 4

0 当 x无限趋近于 时， k PQ 无限趋近于常数， 4 f(x) 从而曲线 = x2

(2 + x)2 4 kPQ = x 2 4 x + x = = 4 + x x

在点( 4 2 ) 4 在点(, 处的切线斜率为.

练习：试求 (x)=x2+1在x=1处的切线斜率 试求f 处的切线斜率. 在 处的切线斜率

找到定点P 找到定点P的坐标 设出动点Q 设出动点Q的坐标

练习：试求f 处的切线斜率. 练习：试求 (x)=x2+1在x=1处的切线斜率 在 处的切线斜率解： 由题意， 设P(1,2), Q(1+ x, (1+ x)2 +1), 则割线PQ的斜率

求出割 线斜率

[(1+ x)2 +1] 2 kPQ = x 2 2 x + x = x = 2 + x当 x无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数2, 从而曲线f(x) = x2 +1 在点x =1 处的切线斜率为 . 2

无限趋近于0 当△x无限趋近于0时， 割 线 逼 近 切 线， 割线斜率逼近切线斜率

y Q

割线

y=f(x) P(x0,f(x0)) Q(x0+△x,f(x0+ △x))△x>0时,点Q位于点P的右侧 x>0时 位于点P x<0时 位于点P △x<0时,点Q位于点P的左侧

y = f(x) P x O x0

切线 f (x0+ x) f (x0) (即 y) M x0+ x x

求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤:

f (x0 + x) f (x0 ) 2.求出割线 求出割线PQ的斜率 kPQ = ,并化简 并化简. 求出割线

的斜率 并化简 x3. 令 x 趋向于 若上式中的割线斜率“逼近”一个常数， 趋向于0,若上式中的割线斜率 逼近”一个常数， 若上式中的割线斜率“ 则其即为所求切线斜率

1.设曲线上另一点 设曲线上另一点Q(x0 + x,f(x0 + x)) 设曲线上另一点

变式1.已知函数 求曲线y=f(x)在x=-1处的切线 变式 已知函数f(x)=x2,求曲线 已知函数 求曲线 在 处的切线 斜率和切线方程 变式2.已知函数 变式 已知函数f(x)=x-1,求曲线 求曲线y=f(x)在x=-1处的切 在 处的切 已知函数 求曲线 线斜率和切线方程

练习：已知 练习：已知f(x)= 斜率是什么？ 斜率是什么？

,求曲线 求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线 求曲线 在 处的切线

练习.已知函数 求曲线y=f(x)在x=0.5处 练习 已知函数f(x)=(1-x2)0.5,求曲线 已知函数 求曲线 在 处 的切线斜率和切线方程

小结1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最 、曲线上一点P处的切线是过点P 接近P点附近曲线的直线，则P 接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由 该点处的切线反映。(局部以直代曲) 该点处的切线反映。(局部以直代曲) ● 2、根据定义,利用割线逼近切线的方法, 可以求出 、根据定义,利用割线逼近切线的方法, 曲线在一点处的切线斜率和方程。Q无限逼近P时 割线PQ 割线PQ的斜率 Q无限逼近P时 P点处的切线斜率 P点处的切线

令横坐标无限接近 函数在区间 Q无限逼近P时 [xP,xQ](或[xQ,xP]) P点处的瞬时变化率 即区间长度趋向于0 上的平均变化率 (导数 导数) 导数

课后作业1.曲线的方程为 y=x2+1,那么求此曲 . 线在点 P(1,2)处的切线的斜率，以及切线 的方程. 2.求曲线 f(x)=x3+2x+1 在点(1,4)处的 . 切线方程. 3.求曲线 f(x)= .1 3

x3-x2+5 在 x=1 处的

切线的倾斜角. 4. y=x3 在点 P 处的切线斜率为 3,求 点 P 的坐标. 5.求下列曲线在指定点处的切线斜率. (1)y=-x3

+2,

x=2处

新疆 王新敞奎屯

(2) y=

1 x + 1

,

x=0处. 6..求曲线 y=x2+1 在点 P(-2,5)处的切 线方程.

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