2012级高数A下复习题(习题)

高等数学A(下)期末考试复习知识要点

1、 多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数。 2、 讨论二元函数的可微性。

3、 偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件。 4、 利用对称性简化重积分的计算。

5、 二重积分计算、极坐标系下二重积分的计算。 6、 球坐标系下三重积分的计算。 7、 功的计算，曲线积分与路径无关性。 8、 对坐标的曲面积分的定义与计算。 9、

高斯公式的应用。

10、 数项级数敛散性判别法，比值判别法。 11、 幂级数的收敛性质以及收敛区间。

12、 函数展开成周期为2∏的正弦级数、余弦级数。

一、多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数 1、设函数z z(x,y)由方程

xz lncoszy所确定，则 z

x

= 。 2、设函数z z(x,y)由方程z (x y,y z)所确定，其中 (u,v)有一阶连续偏导数， z

x

= 。 3、设u xyz

xyz zxy yz u

x，则 x

= 。 4、考虑二元函数f(x,y)的下面四条性质：

①f(x,y)在点(x0,y0)处连续； ②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续； ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微； ④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在。 若用“P Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）

则

② ③ ① ③ ② ① （A）（B）③ ④ ① ③ ① ④ （C）（D）

2'

5、若f(x,2x) x 3x,fx(x,2x) 6x 1，则fy(x,2x)=（ ）

'

33 (B) x 22

(C) 2x 1 (D) 2x 1

(A) x

6、设u f(x,y)在极坐标：x rcos ,y rsin 下不依赖于r，即u ( )，其中 ( )有二阶连续导数，

2u 2u则2 =（ ）。 2

x y

112sin2

； (B) ( ) ( ) ( )； 222

rrr12sin2 1(C) 2 ( ) ； (D) ( ) ( )。

rrr2

(A)

7、设f(r)具有二阶连续导数，而r

2u 2u

x y,u f(r)，则2 2=（ ）。

x y

2

2

(A) f (r)； (B) f (r)

11

f (r)； (C) f (r) f (r)； (D) r2f (r)； rrxy 0xy 0

，则fy (1,0) （ ）。

sin(xy2)

8、设f(x,y) xy

0

A 0； B不存在； C 1； D 1； 答案：1、

1zzztg lncosyyy

；2、

1yzyz

；3、yz 2； 1 2zyx

4（A）；5、（D）6、（A）；7、（C）；8、（C）

2u

9、u f(x,xy,xyz)具有连续的二阶导数，求。

x y

10、设z z(x,y)由方程 (cx az,cy bz) 0确定，其中 (u,v)具有连续偏导数，证明

a

z z b c。 x y

11、设y f(x,u)，而u u(x,y)由方程x g(x,y,u)所确定，其中f,g具有一阶连续偏导数，求 二、讨论二元函数的可微性

dy。 dx

x2 2y2

1、设f(x,y) x y

0

(x,y) (0,0)(x,y) (0,0)

，根据偏导数定义求fx(0,0),fy(0,0)。

1 22

(x y)sinx2 y2 0 22

x y2、设f(x,y) ，则在原点(0,0)处f(x,y)( D ).

0x2 y2 0

(A)偏导数不存在； (B)不可微；

(C)偏导数存在且连续； (D)可微 .

x2y2

3、设f(x,y) (x2 y2)32

0

2

x2 y2 0x2 y2 0

2

2

，证明f(x,y)在(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微

三、偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件

1、函数f(x,y,z) z 2在4x 2y z 1条件下的极大值是( C ) (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

2、点（ A ）是二元函数z x y 3x 3y 9x的极小点。

3

3

2

2

A.(1,0)B.(1,2)C.( 3,0)D.( 3,2)

2、设函数z f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则点(x0,y0)是函数z的极值点的必要条件为

zx(x0,y0) 0,zy(x0,y0) 0

3、若函数z 2x 2y 3xy ax by c在点( 2,3)处取得极小值－3，则常数a,b,c之积abc _____ 。 答：30

4、若函数z 2x ax xy 2y在点(1, 1)处取得极值，则常数a 。 答： 5。

5、讨论函数z x 3xy 2x 2y 4的极值。 四、利用对称性简化重积分计算 1、计算

32

2

2

2

(y

D

2

3x 6y 9)d ，其中D是闭区域:x2 y2 R2 。

2、计算二重积分

ydxdy ， 其中

D2

2

333

(x y z)dv。

3、设 是由曲面x y 1,z 0,z 1所围的有界闭区域，计算4、设I

2

y32

(esiny ztanx 3)dv(其中 :x 1,y 1,z 1)则I 。

答：24。

zln(x2 y2 z2 1)

dv,其中 是由球面x2 y2 z2 1所围成的闭区域 . 5、 222

x y z 1

（答：0）

五、二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算

1、二次积分

a

a

dx

a2 x2 a2 x2

f(x,y)dy在极坐标系下的累次积分为

。 答：

2 0

d f(rcos ,rsin )rdr

f(x,y)dxdy d

a

2、若

D

asin 0

。 f(rcos ,rsin )rdr，则区域D为（ ）

Ax2 y2 ay,a 0;Cx y a;

答：A

2

2

2

2

2

2

Bx2 y2 ay,a 0;Dx y a,y 0;

2

2

2

3、设域D:x y a,f是域D上的连续函数，则(A)2

D

f(x2 y2)dxdy ( )

1

f( )d (B) 4 f( )d

1

(C) 2 答：A

1

f( )d (D) 4 f( )d

2

2

2

2

4、设D为x y a,当a ( )时,

D

a2 x2 y2dxdy .

(A) 1； (B) 答：B

331

； (C) ； (D) . 242

5、当D是（ ）围成的区域时，二重积分(A)x轴,y轴及2x y 2 0； (B)x

dxdy 1

D

11

,y ； 23

(C) x轴,y轴及x 4,y 3； (D)x y 1,x y 1. 答：A

sinx

Dxdxdy,其中D是直线y x,y 0,x 所围成的闭区域。 22

7、 (x y x)d ,其中D是由直线y 2,y x及y 2x所围成的闭区域。

6、计算

D

8、计算二次积分

1

dx x x2 y2dy

x

9、计算二重积分

D

xy y2dxdy

其中D是以O(0,0),A(10,1)和B(1,1)为顶点的三角形区域。

10、计算二次积分

2

2

2

1

dx sin

x

x

x

2y

dy dx sin

2

x

42

x

2y

dy

11、试求曲面x+y=6－z与所围立体的体积。

六、球坐标系下三重积分的计算

1、设 是由x y (z 2) 1所确定的球体，试将

2 0

2

2

2

f(x2 y2 z2)dv化成球面坐标下的三次积分式。

答：

f(x2 y2 z2)dv

2

2

d d f(r2 22rcos 2)r2sin dr

1

2、设Ω是由闭曲面x y z 2z所围的立体，计算I

2

2

（答：(z 1)dv。

4

） 15

3、设f(t)连续，且f(0) 0,f (0) 1，求lim

1t 0 t4

f(

x2 y2 z2)dxdyd，z其中 是由球面

x2 y2 z2 t2围成的立体。（答：1）

七、功的计算，曲线积分与路径无关性

1、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数,则在D内与

Pdx Qdy路径无关的条件

L

Q P

,(x,y) D是( ). x y

(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 答：C 2、设I

C

P Qy2 x2 yx

2，所以（ ）。 2dy，因为22222

y x(x y)x yx y

A．对任意闭曲线C，有I 0； B．在曲线C不围住原点时，有I 0；

C．因

P Q

与在原点不存在，故对任意的闭曲线C，有I 0； y x

D．在闭曲线C围住原点时I 0，不围住原点时I 0。

答：B

3、已知曲线积分

L

yf(x)dx [2xf(x) x2]dy在右半平面(x 0)内与路径无关，其中f(x)可微，则f(x)应

满足的微分方程是 。

1

f(x) 1 2x 2

4、已知力场 F(x,y) x(x y)i xyj ，质点从原点出发沿着x轴运动到点(1,0)，然后再沿直线段到(0,1)，

答：f (x)

再沿着y轴回到原点，求力所做的功 。

C

C

22

解：w F dr x(x y)dx xydy (y x)dxdy

D

dx

11 x0

11

(y x)dy [y3 xy]1dx 0

0312

2

1

5、证明:

xdx ydy

在整个xoy平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出一

x2 y2

个这样的二元函数 . 答：u(x,y)

1

ln(x2 y2) 2

2

2

3

2

y

6、设du (3xy 8xy)dx (x 8xy 12ye)dy，求原函数u(x,y)。 7、已知函数P(x,y) ye siny,Q(x,y) e xcosy，

x

x

（1）是否存在函数u(x,y)，使得du Pdx Qdy?

（2）如果存在u(x,y)，试求出它。

8、设

(ax by)dx (bx ay)dy2

(x y2 0,ab 0)是某二元函数的全微分，则m （ ) 22m

(x y)

A 0 B 1 C 2 D 3 答：A 9、若

aydx bxdy

(x2 y2 0,ab 0)是某二元函数的全微分，则a,b的关系是（ ） 22

(3x 4y) (2x 3y)

Aa b 0;Ba b 0;Ca b 1;Da b 1

答：B

八、对坐标的曲面积分的定义与计算 1、曲面积分

z

2

dxdy在数值上等于（ ）

(A)向量z2i穿过曲面 的流量； (B)面密度为z2的曲面 的质量；

(C)向量zk穿过曲面 的流量

2

答：C

2、求向量A xi yj zk通过区域 :0 x 1,0 y 1,0 z 1的边界曲面流向外侧的通量 .（答：3）

3、设∑是柱面x y 9的介于平面z 0及z 2间的部分曲面的外侧，则

24x yzdxdy 。

2

2

4、计算下侧。 5、计算

ezx2 y2

dxdy，其中∑是由半锥面 z

x2 y2、平面z 1和z 2所围成的圆台 的侧面的

其中∑是球面x y z R在第一卦限部分的上侧，R为正数。

2222

6、计算I

3

，其中是以(2x 3y z 3)dxdyA(,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,3)三点为顶点的平面三角形， 2

并取其法向量指向不包含原点的一侧。

7、计算正数。

222

，其中是柱面上由x 0,y 0及1 z 3所限定的那部分曲面的前侧，R是x y R xzdydz

22

8、设有空间流速场v(x,y,z) xyi求v通过曲面z x y位于平面z 1以下部分的∑下侧的通量(流量)。

九、高斯公式的应用 1、计算

22223

其中∑是球面的下半部分曲面的下侧，a为正数。 x y z axdydz

2、求

22222

z x y(0 z h)的下侧。 ，其中为锥面(y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy

3、计算积分I 的外侧。

xdydz ydzdx zdxdy，其中 是介于z 0和z 3之间的圆柱体x

2

y2 9的整个表面

4、计算积分I xy2dydz yz2dzdx zx2dxdy，其中 是球面x2 y2 z2 a2的外侧。

5、计算曲面积分I 2xzdydz yzdzdx z2dxdy，其中 是由曲面z

x2 y2与z 2 x2 y2所围

成立体表面的外侧。

6、设空间闭区域 由曲面z a x y平面z 0所围成，∑为 的表面外侧，V是 的体积，a为正数。 试证明：V

2222

xyzdydz xyzdzdx z(1 xyz)dxdy

2

2

2

十、数项级数收敛性判别法，比值判别法

n 2 n 2ann!

1、a为任意正的实数，若级数 n， 都收敛，则有 a

nn 2n 1n

（A）a e ; （B）a e； （C）答：C 级数

11 （D）0 a 。 a e ;

22

(u

n 1

2n 1

u2n)是收敛的，则（ ）

（A）

u

n 1

n

必收敛； （B）

u

n 1

n

未必收敛； （C）limun 0； （D）

n

u

n 1

n

发散；

答：B

3nn!2nn!

3、设有级数 n （1） 与级数 n （2）则( )

n 1nn 1n

（A）级数（1）（2）都收敛； （B）级数（1）（2）都发散；

（C）级数（1）收敛，级数（2）发散； （D）级数（1）发散，级数（2）收敛。 答：C 4、级数

n

11 cos

n 1

n

（常数 0）（ ）。

（A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）敛散性与 有关。 答：C

2nn!

5、极限limn的值为 。

n n

答：0。

6、判别下列级数的敛散性（1）

n 1

ln1 nnen

2

；（2）

n!

nn; (3) n 1n 1

ncos2

n

2

；(4) n 1

en 1

2nn 1

7、判别级数

1! 2! n!

n 1

2n!的敛散性。

8、证明: 若级数

u

n

满足：（1）limn 1

n

un 0（2）

(u

2n 1

u2n)收敛，则n 1

un收敛。n 1

十一、幂级数的收敛性质以及收敛区间

1、逐项求导与逐项积分之后的幂级数与原幂级数具有相同的 。 答：收敛半径

2、幂级数

( 1)

n 1

(x 1)n

n 1

n

的收敛区间是 ，收敛域是 。 答：(0,2)， (0,2]

3、如果幂级数

a

n

(x 1)n的收敛半径是1，则级数在开区间内收敛。

n 0

答：(0,2)。

4、设级数

an

n x 1

的收敛半径是1，则级数在x 3点（ ）

n 0

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。 答：A

5、如果lim

an

n a

2，则幂级数an(x 1)n在开区间 n 1

n 0答：( 1,3)

6、已知幂级数

a

n

x

nn

x的收敛半径R1( 0)，幂级数n 1

n 0

0

antdt的收敛半径为R2，则（ A.R1 R2

B.R1 R2C.R1 R2D.R1，R2无法比较大小

答：B

。

）

7、若幂级

ax

nn 0

n

的收敛半径为R1:0 R1 ;

bx

nn 0

n

的收敛半径为R2:0 R2 ,则幂级数

(a

n 0

n

bn)xn的收敛半径至少为( )

(A)R1 R2； (B)R1 R2； (C)max R1,R2 ； (D)min R1,R2 答：D 8、试求幂级数

ln(n 1)n 1

x的收敛半径及收敛域。 n 1n 0

3nn

x的收敛半径和收敛域。 9、求幂级数 2

n 1n 1

10、试求级数

3

n 1

n

n

的和。

2n 12n 22n 1

11、试求幂级数 和函数，并计算的值。 xs(x) nn

22n 1n 1

十二、函数展开成周期为2 的正弦级数，余弦级数

0 x 2，已知S(x)是f(x)的以2 为周期的正弦级数展开式的和函数，则1、设f(x)

x x 0

22

9

S()

43 答：。

4

1

x0 x 2，已知S(x)是f(x)的以2为周期的正弦级数展开式的和函数，则2、设f(x)

1 0 x 1

2

7

S() 4

1答：

4

0,0 x , 23、设 f x 试将f(x)展开成以2 为周期的正弦级数。

1, x ,2

4、把函数f x x ，( 0 x )展开成以2 为周期的正弦级数。

2

5、将函数f(x)

1,0 x h

展开成余弦级数，正弦级数 。

0,h x

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