电磁场理论练习题

习题(数学基础)

????x?e?y2?e?z3，B??e?y4?e?z，C?e?x5?e?y2 1.1 A?e??????A；求（1）e（2）矢量A的方向余弦；（3）A?B；（4）A?B；

?????????（5）验证A?B?C?B?C?A?C?A?B ；（6）验证?????????A?B?C?B?A?C?CA?B。

????????????1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢

???????量。设A为已知矢量，B?A?X和B?A?X已知，求X。

?23?x2?e?y2?e?z方1.3 求标量场u?xy?yz在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量l?e向上的方向导数。

??xx2?e?y?xy?2?e?z24x2y2z3对中心原点的单位立方体表面的面1.4计算矢量A?e?积分，再计算??A对此立方体的体积分，以验证散度定理。

??xx?e?yx2?e?zy2z沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合1.5 计算矢量A?e?回路的线积分，再计算??A对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯

??定理。

1.6 f为任意一个标量函数，求???f。

??1.7 A为任意一个矢量函数，求????A。

???1.8 证明：?(fA)?f?A??f?A。

???1.9 证明：??(fA)?f(??A)?(?f)?A。

??????1.10证明：??(A?B)?B?(??A)?A?(??B)。

???21.11证明：????A??(??A)??A。

????223???cos??ez?sin?，试求??A，??A及?A。 1.12 A(?,?,z)?e????112?rrsin??e??sin??e??2cos?，试求??A，??A及?A。 1.13 A(r,?,?)?err??1.14 f(?,?,z)??zsin?，试求?f及?2f。

1.15 f(r,?,?)?sin?r2，试求?f及?2f。 ??r3sin?)?dS，S为球心位于原点，半径为5的球面。 1.16 求?(eS?1?r3cos2?，1?r?2，求???AdV。 1.17 矢量A(r,?,?)?eVr

麦克斯韦方程 ?练?习?题

1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。 2 试证明：任意矢量E在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即?????(????E)???0。

3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程

??J?????t。

4 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为??1和??2，分解面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是??1和??2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度??S?? 0，试证明：

tan?1?1?tan?2?2

1-4题图

上式称为电场E的折射定律。

5 参看1-4题图，分界面上方和下方两种

媒质的磁导率分别为??1和??2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量JS???0，把题图中的电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。试证明：

tan?1?1?tan?2?2

上式称为磁场B的折射定律。若 ?1为铁磁媒质，?2为非铁磁媒质，即??1?????2，当??1???90??时，试问??2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。 6 已知电场强度矢量的表达式为

E???isin(? t???? z)???j2cos(? t???? z)

通过微分形式的法拉第电磁感应定律???E???B，求磁感应强度矢量B(不必写出

?t与时间t无关的积分常数)。

7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R，间距为d。其间填充介质的介电常数为?? 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I(t)???I0sin(??t)。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D。

8 在空气中，交变电场E???jAsin(? t ? ? z)。试求：电位移矢量D，磁感应强

度矢量B和磁场强度矢量H。

第?2?章?练?习?题

2-1 参看图2-5-1，无限大导板上方点P(0,?0??h)?处有一点电荷q。试求：z???0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D，以及导板上的面电荷密度??S和总电荷量q。

2-2 参看图2-6-3，如果将4块导板的电位分别改为：上板120?V，左板40?V，下板30?V，右板90?V。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1)?列出联立方程；(2)?用塞德尔迭代法求解；(3)?计算最佳加速因子??；(4)?用超松弛迭代法求解；(5)?比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n???4。

2-3 参看图2-7-1，如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ?????0(1???4x2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数??。选择基函数为

fn(x)???x(1???xn) n???1,2,3,…

2-4 参看例2-7-1以及该题示意图图2-7-1。如果在该问题中选择权函数为

w1(x)??R?R??2 和 w2(x)???6x ?k1?k2上式中，R是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，

又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数??。

第3章 练?习?题

3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：

(1) ????(??)???0； (2) ????(????A)???0

3-2 同轴线内、外半径分别为a和b，内外导体之间介质的介电常数为 ?，电导率为 ?。设在同轴线内外导体上施加的电压为Uab?，求内外导体之间的漏电流密度J。

3-3 求图3-3-2中1/4垫圈两个弯曲面?????a和?????b之间的电阻。 3-4 参见3-4题图。某输电系统的接地体为紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为 ????10?2?S/m。设有I???500?A的电流流入地内。为了保证安全，需要划出一半径为a的禁区。如果人的正常步伐为b???0.6?m，且人能经受的跨步电压为U???200?V，问这一安全半径a应为多大？

3-4题图 3-5 参看图2-5-6，半径为a，间距为D的

平行双线传输线，周围介质的介电常数为 ?，电导率为 ?。利用例2-5-2的结果，计算平行双线每单位长度的分布漏电导G1。

3-6 参看图3-2-1(a)，半径分别为a和b的两个同心球壳(a???b)之间是电

导率为?????0(1+k/r)的导电媒质，试求两球壳之间的电阻Rab。再问此题中的电流位 ? 是否满足普拉斯方程。

第4章 练?习?题

4-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：

????(????A)????(????A)－?2A

第5章 练?习?题

5-1 通过直角坐标系验证矢量恒等式：

????(E???H)???H???(????E)???E???(????H)

5-2 根据下面复数形式的简谐场表达式，利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式，并把复数形式改写成瞬时值形式。注意，在取实部之前应加上时间因子ej?t。

?2???iE??jE??E(i?j2)e?jkz ，(1) E k???0?0?? ， ?0?xy0c??2???iH??jH??E0(i?jj)ejkz ，(2) H k???0?0?? ， ?0?xy?0c?2???jE??kE??E(j?kj2)e?j?x ，(3) E ?????? ， ??yzm?0；?0?0；?0

??.?5-3 将下面瞬时形式的简谐场表达式改写成复数形式，并利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式。

(1) H?kHz?iHx??kE0?0cos(?t?ky)?iE0?0cos(?t?ky) ， k???0?0 ， ???0；?0?；?

2E0?2?(3) H?jHy?jcos(?z)cos(?t) ， ?????? ， ??；????0IL?2?(4) E?e?E??e??0sin?cos(?t?kr?) ， k???0?0? ， ?? . 2?r2??0(2) E?jEy?kEz?jE0cos(?t??x)?kE0sin(?t??x) ， ????? ， ??5-4 自由空间电流元的远区辐射场为

E?e?E??e?j60?IlIlsin?e?jkr ， H?e?H??e?jsin?e?jkr?r2?r

试求：(1)?写出波印亭矢量的瞬时值S；(2)?写出复数波印亭矢量SC；(3)?总的

平均辐射功率P。

5-5 在微波环境中，如果平均功率密度 |Sav|???10?mW/cm2对人体是安全的。分别计算以电场强度E和磁场强度H表示的相应标准。已知E????0H，?0???120???。

5-6 设自由空间一天线辐射的电场强度矢量为

E???iAsin(?t???kz) 上式中k???0?0，是电磁波的相位常数，已知波阻抗?0??0?0。试求：(1)?将电场

强度矢量E改写 成复数形式；(2) 通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量H；(3)?瞬时波印亭矢量S；

(4)?复数波印亭矢量SC。

5-7 空中交变电磁场的电场强度矢量只有x分量

Ex???Acos(??t???kz)???Bsin(??t???kz)

试求：(1) 由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量H；(2) 瞬时波印亭矢量S；(3) 复数波印亭矢量SC。

5-8 将下列指数形式(复数形式)的场表达式变换成正、余弦形式(瞬时值形式)的场表达式，或者做相反的变换。注意，在取实部之前应加上时间因子ej?t。

(1)?E???iE0ej?e?jkz ；(2)?E???iE0cos(?t???kz)???j2E0cos(?t???kz????)；(3)E?jE0e

5-9 已知磁导率为 ?，介电常数为 ? 的均匀媒质中，电场强度矢量的表达式为

E???(i???jj)Aej(?t????z) 上式中，?????j?4e?j(kxx?kzz)，是电磁波的相位常数，已知波阻抗???。试求：(1)?瞬时波

?印亭矢量S，复数

波印亭矢量SC和平均波印亭矢量Sav；(2)?电场能量密度we和磁场能量密度wm。

第?6?章 练?习?题

6-1 一频率为f???100?MHz的均匀平面电磁波在简单媒质(?r???1，?r???4，????0)中沿?? z方向传播，电场强度矢量为E???iEx(z,?t)，电场的振幅值为E0???10?4?V/m。当t???0，z???0.125?m时，电场的瞬时值达到振幅值E0 。试写出电场强度矢量E和磁场强度矢量H的瞬时表达式。

6-2 已知自由空间中电磁波的振幅为A，极化方向为j，圆频率为 ?，传播方向为(??z)，试写出该电磁波的电场强度矢量E和磁场强度矢量H。

6-3 试证明在色散媒质中相速vp和群速vg之间满足下面关系：

(1) vg?vp??dvpd? ： (2) vg?vp??dvpd?

上两式中，? 和 ? 分别是色散媒质中电磁波的相位常数和波长。

6-4 已知某色散媒质的色散关系为vp?k?m其中 ?0是该波在真空中的波长，0，k，m是正实数， 求群速vg?。

6-5 已知自由空间电磁波的电场强度矢量的表达式为

E?A(i?jj)ej(?t?k0z)

试求其相伴的磁场强度矢量H，并指出电磁波的极化方式。

6-6 试判断Ex???2cos(? t????z)，Ey???3cos(? t????z???90?)?是什么极化波，并写出Ex和Ey分量所满足的轨迹方程式。

6-7 试判断下列各波的极化状态(线极化应指出极化方向，圆极化应指出旋转方向)。

(1) Ex???Bsin(? t????z)， Ey???Acos(? t????z???90?) (2) Ey????Acos(? t????x)， Ez???Acos(? t????x???90?) (3) Ez???Bcos(? t????y???270?)， Ex???Acos(? t????y) (4) Ey???Aej(?t???kx)， Ez???Aej(?t???kx???90?)

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