第4章轴向拉伸与压缩4

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第四章轴向拉伸与压缩

第十一讲材料力学绪论拉压的轴力图第十二讲拉压杆横截面上的应力拉压的变形第十三讲材料在拉压时的力学性能第十四讲轴向拉压的强度计算（一）第十五讲轴向拉压的强度计算（二）第十六讲拉压超静定简介压杆稳定的概念

第十一讲材料力学绪论拉压的轴力图

目的要求：理解材料力学的任务，掌握拉压的内力计算。教学重点：强度、刚度和稳定性的概念。拉压杆轴力图的绘制。教学难点：内力的概念的理解和轴力图的绘制。教学内容：

第二篇材料力学

绪论

一、确保构件正常工作必须满足的要求：

1、强度要求：强度是构件承受外力时抵抗破坏的能力。 (下图便是强度不够产生破坏)

2、刚度要求：刚度是构件承受外力时抵抗变形的能力。

3、稳定性要求：稳定性是构件承受外力时保持原有平衡状态的能力。 4、构件的承载能力：构件强度、刚度和稳定性统称为构件的承载能力。二、材料力学的任务

研究构件的内力、应力和变形的计算、建立相应的强度、刚度和稳定性条件，为构件选择合适的材料、合理的截面形状和尺寸、确定允许的载荷，以保证构件安全经济地工作。三、弹性变形和塑性变形

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材料力学研究的都是变形固体。在载荷的作用下都要产生变形。弹性变形：卸载后能消失的变形叫弹性变形．塑性变形：卸载后不能消失的变形叫塑性变形。四、变形固体的基本假设：

1、连续性假设：变形固体组成的物质充满了固体所占有的空间。 2、均匀性假设：变形固体内部各点处的力学性能完全相同。 3、各向同性假设：变形固体内部各点处的力学性能完全相同。五、杆件的基本变形： 1、轴向拉伸和压缩

2、剪切

3、扭转

4、弯曲

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第四章轴向拉伸与压缩

§4-1 拉压的概念

１、受力特点：杆件受到的力（或合力）与其轴线重合。

２、变形特点：杆件受到的力（或合力）与其轴线重合时，发生的伸长或缩短变形。

３、实例：

§4-2 轴力与轴力图

一、内力的概念：

１、广义内力：变形固体内部粒子间存在着相互作用力，这是广泛意义上的内力。２、附加内力：当外力作用时，内部粒子间相互作用力也发生改变，这种内力的改变量称为附加内力。材料力学中所指的内力就是这种附加内力。二、拉压的内力：

1、轴力：与杆件的轴线重合的内力（用FN或N表示） 2、截面法：

用一假想的截面从要求内力处将杆件切开分成两段，取其中的任意一段为研究对象，画出其受力图，利用平衡方程，求出内力。其步骤可归结为下列四步：切、取、代、平

如图(a)所示，用截面1-1假想地将杆件切开，取左(右)段为研究对象，受力图如图(b)（c）由∑X=0 得 N-P=0 所以 N=P

3、轴力的正负：轴力指向离开截面（拉力）为正；轴力指向指向截面（压力）为负。

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4、轴力图：将杆件的轴力随截面位置变化的关系用一个图形来表示。 5、例题：

例1：如图所示：杆件受到F1=50kN，F2=140kN，求1-1、2-2处的轴力，并作轴力图。解：1、如图(a)所示，用截面1-1将杆件切开，取左段研究，受力图如图(c) 由∑X=0 得 -N1-1-F1=0

所以 N1-1 = -F1=-50kN 2、同理可得（d）图由∑X=0 得 -N2-2+F2-F1=0 所以 N2-2 =F2-F1=90kN 3、作轴力图如图（b）

第十二讲拉压杆横截面上的应力拉压的变形

目的要求：掌握拉压的应力和变形的计算。

教学重点：应力的计算及应力的分布规律，拉压纵向变形的计算。教学难点：对应力和应变的理解。教学内容：

§4-3 横截面上的应力

一、应力的概念：

(1)、应力是分布内力的集度

(2)、垂直于截面上的应力叫正应力，用ζ表示。切于截面的应力叫切应力，用η表示。

=psinα

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ζ=pcosα

(3)、应力的单位：Pa(帕斯卡)（简称帕） N/m---Pa； kPa； MPa； GPa

1kPa=10Pa； 1MPa=10Pa； 1GP=10Pa

二、拉压杆横截面上的正应力：

(1)、拉压杆横截面上只有正应力。正应力组成了内力——轴力。 (2)、拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的。(如下图)

(3)、正应力的计算公式：

其中：N---轴力 A---横截面面积 ζ---正应力正应力方向离开截面（拉力）为正；正应力方向指向截面（压力）为负。 (4)、例题：

例1 一中段正中开槽的直杆如图。已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大正应力。

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解（1）计算轴力。用截面法求得杆中各截面上的轴力为 N=-F=-20kN

（2）计算最大正应力。由于杆上各截面的N相同，故最大正应力在横截面面积最小处。（开槽处）

A=(h-h0)b=(25-10)×20=300mm

§4-4 轴向拉压的变形胡克定律

一、变形： 1、绝对变形：

(1)、纵向绝对变形 ΔL=L1-L (2)、横向绝对变形 Δb=b1-b

2、相对变形（应变）：单位长度上的绝对变形量。 (1)、纵向应变

(2)、横向应变

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注意：轴向拉压杆的纵向变形和横向变形总是反号的！ 3、横向变形系数（泊松比）横向应变与纵向应变之比：

二、胡克定律

在比例极限的范围，杆件的绝对变形与轴力和杆件的杆长成正比，与杆件的横截面积和弹性模量成反比。即：

N---轴力 L---杆段长度 A---杆件的横截面面积 E---拉压弹性模量（与材料有关）(单位：Pa、MPa、GPa) EA---抗拉压刚度（反映了杆件抵抗拉压变形的能力）三、胡克定律的应用说明： (1)、应力不超过比例极限

(2)、应用公式计算在一段内的变形时，要求该段内的轴力、横截面积、弹性模量必须是常量。

(3)、胡克定律的另一种表达形式（应力应变关系）

在比例极限的范围内，正应力与纵向应变成正比。比例系数即为弹性模量。 (4)、横截面积与弹性模量的乘积称为抗拉刚度。四、例题：

例1 阶梯形直杆受力如图（a），试求整个杆的总变形量。已知其横截面面积分别为：ACD=300mm，AAB=ABC=500mm，弹性模量E=200GPa．

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解：(1) 作轴力图用截面法求得CD段和BC段的轴力 NCD=NBC=-10kN NAB=20kN 轴力图如图(b)

(2) 计算各段杆的变形由

得

（3）杆的总变形量杆的总变形等于各段变形之和

ΔL=ΔLAB+ΔLBC+ΔLCD=(2-1-1.67)×10m=-0.67×10m =-0.0067mm

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第十三讲材料在拉压时的力学性能

目的要求：掌握塑性材料和脆性材料拉压的力学性能。教学重点：低碳钢和铸铁拉压时的力学性能。教学难点：冷作硬化的理解。教学内容：

§4-5 材料在轴向拉压时的力学性能

一、拉压试验的设备： (1)、万能试验机：

(2)、试件：（拉伸试件和压缩试件）

用来进行试验的试件，按国家标准制成，称为标准试件。现行的拉伸试验，大都采用圆截面标准试件

拉伸试件:L=5d或10d 压缩试件：H/d=1~3

二、低碳钢拉伸时的力学性能： 1、低碳钢拉伸时材料经历了四个阶段

用万能试验机拉伸试件的试验机能记录载荷，并自动绘出载荷P和伸长量Δ的关系图---拉伸图(如图(a))

为了消除试件尺寸的影响，反映材料的力学性能，将Δ/＝ε作为图形的横坐标，P/A＝ζ作为图形的纵坐标，得到材料的ζ－ε曲线---应力-应变图.

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(1)、弹性阶段：(ob段)(oa段:比例阶段,一般情况下,a、b两点很接近）弹性极限ζe：构件发生弹性变形时的最大应力 (2)、屈服阶段：(bc段)

屈服：超过比例极限后，材料暂时失去了抵抗变形的能力，应力基本保持不变，应变却显著增加，这种现象称为屈服。

屈服极限ζs：屈服阶段的最小应力。 (3)、强化阶段：（cd段）

强化：经过屈服后，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称为强化。强度极限ζb：强化阶段的最大应力 (4)、颈缩阶段：(df段)

应力达到抗拉强度后，试件较薄弱的部位截面急剧收缩，这种现象称为颈缩。 2、塑性指标： (1)、延伸率：

(2)、断面收缩率：

其中：L---试件标距原长；L1---拉断后标距间的长度；A---试件原受拉前的横截面面积；A1---断口处的横截面面积；

延伸率和断面收缩率的测定如图示。

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3、塑性材料：工程中将δ>5%的材料称为塑性材料。低碳钢的δ＝20%－30%，所以，低碳钢是塑性材料。 4、脆性材料：工程中将δ<5%的材料称为脆性材料。三、铸铁拉伸时的力学性能

1、应力应变图

无显著变形，无屈服现象；其强度指标是强度极限。 2、强度极限：ζ

四、材料在压缩时的力学性能 1、低碳钢的压缩

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低碳钢压缩时，在应力末超过屈服极限时，应力—应变图与拉伸时相同，之后，图形不断上升。（见图）

2、铸铁的压缩

铸铁压缩时的应力—应变图与拉伸时相似，只是其强度极限比拉伸时的高得多。（大约为拉伸时的4~5倍）

铸铁受压破坏时断口与轴线大约成45°角。

五、塑性材料与脆性材料的比较 1、强度方面

塑性材料的抗压能力和抗拉能力相同；脆性材料的抗压能力远远强于抗拉能力。 2、变形方面

塑性材料在破坏前有显著的变形；脆性材料在破坏前无显著的变形。 3、应力集中的影响

应力集中对塑性材料的影响不显著；应力集中对脆性材料的影响显著。

构件由于外形的突然变化，将引起局部应力急剧增大，这种现象称为应力集中

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第十四讲轴向拉压的强度计算（一）

目的要求：利用拉压的强度条件解决简单的强度计算问题。教学重点：拉压杆强度计算的校核和截面设计问题。教学难点：对许用应力的理解。教学内容：

§4-6 轴向拉压杆的强度计算

一、极限应力许用应力安全因数 1、极限应力（ζu）：材料失效时的应力。塑性材料的极限应力是屈服极限（ζs）；脆性材料的极限应力是强度极限（ζb）。

2、许用应力[ζ]：保证构件安全工作，材料许可承担的最大应力。

其中：n---安全系数

3、安全因数：为保证构件具有一定安全贮备而选取的一个大于1的系数。

选取安全系数时应考虑：计算精度、材质、工作环境、构件的重要性、其它意外因素对塑性材料一般取：n=1.3～2.0 对脆性材料一般取：n=2.0～3.5 二、拉压杆的强度条件 1、强度条件：

其中：[ζ]---许用正应力三、强度计算 1、强度校核校核

2、截面设计

是否成立

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3、确定许可荷载

四、例题：

例1：如图所示的钢拉杆，已知[ζ]=170MPa，P=25kN，直径d=14mm，试校核此杆的强度。

解：最大轴力Nmax=P=25kN 面积

由

得

所以此杆满足强度要求。

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第十五讲轴向拉压的强度计算（二）

目的要求：进一步熟练掌握拉压强度计算中许可载荷确定的问题。教学重点：拉压强度计算中许可载荷确定的问题。

教学难点：两根不同拉压杆组成的物系的许可载荷确定的问题。教学内容：

一、复习拉压的强度条件。 1、强度条件：

其中：[ζ]---许用正应力 2、强度计算强度校核校核

截面设计

确定许可荷载

是否成立

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二、例题：

例1 如图(a)所示的三角形托架，P=75kN，AB杆为圆形截面钢杆，其[ζ1]=160MPa；BC杆为正方形截面木杆，其[ζ2]=10MPa，试确定AB杆的直径d和BC杆的边长a。解：1、求AB杆和BC杆的轴力

取B点为研究对象，受力图如图（b） ΣFx=0 -SBCcos45º-SAB=0 ΣFy=0 -SBCsin45º-P=0 SAB=75kN SBC=-106.1kN NAB=75kN NBC=-106.1kN 2、确定AB杆和BC杆的尺寸

例2 图示三角形构架，AB为直径d=30mm的钢杆，许用应力[ζ’]=170MPa，BC为尺寸b×h=60mm×120mm的矩形截面木杆，许用应力[ζ”]=10MPa，求该结构的B点竖直方向的许用载荷F。解：1、求两杆的轴力。分析节点B的平衡有 ΣFx=0 -SBCcos30º-SAB=0 ΣFy=0 -SBCsin30º-F=0 SBC=-2F SAB=1.7321F

即：NBC=-2F NAB=1.7321F 2、求满足AB杆强度条件的许用载荷F，

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解得： F≤69378N=69.4kN

3、求满足BC杆强度条件的许用载荷F，

解得： F≤36000N=36kN

比较可知整个结构的许用载荷为36kN.

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第十六讲拉压超静定简介压杆稳定的概念

目的要求：了解拉压超静定的计算方法和压杆稳定的概念。教学重点：压杆稳定的概念。教学难点：拉压超静定的计算。教学内容：

§4-7 拉压超静定问题简介

一、拉压超静定的概念：

1、静定问题：未知力的个数少于独立平衡方程数目的问题（利用静力学平衡方程可求出所有未知力的问题）。相应的结构称为静定结构。