2015年高考人教版理科数学创新演练：函数的单调性与最值

2015年高考人教版理科数学创新演练：函数的单调性与最值

创新演练

一、选择题

1．(2013·宣城月考)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是

( )

A．y＝log2x B．y＝

x 1 1x

C．y＝－ 2 D．y＝x

D [y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数； y＝

x在(0，＋∞)上是增函数； 1x

y＝ 2在(0，＋∞)上是减函数， 1x

y＝－ 2在(0，＋∞)上是增函数；

1

y＝x(0，＋∞)上是减函数， 1

故y＝x在(0，1)上是减函数．故选D.]

2．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝

( )

A．－7 C．17

B．1 D．25

－mm

D [依题意，知函数图象的对称轴为x＝－882，即 m＝－16，从而f(x)＝4x2＋16x＋5，f(1)＝4＋16＋5＝25.]

b

3．(2014·佛山月考)若函数y＝ax与y＝－x(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2

＋bx在(0，＋∞)上是

( )

A．增函数 C．先增后减

B．减函数 D．先减后增

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b

B [∵y＝ax与y＝－x(0，＋∞)上都是减函数， ∴a<0，b<0，

b

∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－2a， ∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．]

4．“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的

( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A [若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b)．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在[a，b]上单调”是“函数f(x)在 [a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．]

5．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有

( )

11A．f(3f(2)<f(211B．f(2f(2)<f(311

C．f(2f(3f(2) 11

D．f(2)<f(2f(3C [由f(2－x)＝f(x)可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝ ln x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数， 1111

因为|2－1|<|31|<|2－1|，所以f(2)<f(3)<f(2)．故选C.]

6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有

( )

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A．最小值f(a) C．最小值f(b)

C [∵f(x)是定义在R上的函数，且 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

B．最大值f(b) a＋b

D．最大值f

2

∴f(0)＝0，令y＝－x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0. ∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是R上的奇函数． 设x1<x2，则x1－x2<0，

∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)>0. ∴f(x)在R上是减函数． ∴f(x)在[a，b]有最小值f(b)．]

7．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有

( )

1 1A．f 3<f(2)<f 2

1 1B．f 2<f(2)<f 3

1 1C．f 2<f 3<f(2)

1 1D．f(2)<f 2<f 3

C [由f(2－x)＝f(x)可知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝ln 1 1

x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为 21 < 31

1 1<|2－1|，所以f 2<f 3<f(2)．]

m

8．(2014·黄冈模拟)已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则M的值为

( )

1A.4 2C.2

1B.23D.2

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C [显然函数的定义域是[－3，1]且y≥0，

故y2＝4＋（1－x）（x＋3）＝4＋2－x－2x＋3＝4＋2－（x＋1）＋4， 根据根式内的二次函数，可得4≤y2≤8， m2故2≤y≤2，即m＝2，M＝22，所以M2二、填空题

9．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________． 解析 y＝－(x－3)|x|

2

－x＋3x，x>0，＝ 2 x－3x，x≤0.

作出该函数的图象，

3

观察图象知递增区间为 0，2.

3

答案 0，2

10．若f(x)＝

ax＋1

在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________． x＋2

解析 设x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)， 而f(x1)－f(x2)＝＝

ax1＋1ax2＋1

－ x1＋2x2＋2

2ax1＋x2－2ax2－x1

（x1＋2）（x2＋2）（x1－x2）（2a－1）

，

（x1＋2）（x2＋2）

1

则2a－1>0.得a>2 1 答案 2

三、解答题 11．已知f(x)＝

x

x≠a)． x－a

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求

a的取值范围．

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解析 (1)证明：设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)2（x1－x2）x1x2

－＝. x1＋2x2＋2（x1＋2）（x2＋2）

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)设1<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝

a（x2－x1）x1x2

－ x1－ax2－a（x1－a）（x2－a）

∵a>0，x2－x1>0， ∴要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， ∴a≤1.

综上所述，a的取值范围为(0，1]．

12．已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，

f（a）＋f（b）

a＋b≠0时，有＞0成立．

a＋b(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明； 11

(2)解不等式：f(x＋2＜f(；

x－1

(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 解析 (1)任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2， 则－x2∈[－1，1]， ∵f(x)为奇函数，

∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) f（x1）＋f（－x2）＝(x1－x2)，

x1＋（－x2）

f（x1）＋f（－x2）

由已知得0，x1－x2＜0，

x1＋（－x2）∴f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)．

∴f(x)在[－1，1]上单调递增． (2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，

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1－1≤x＋∴ 21，

1 －1≤ x－11.

3

解得－2x＜－1.

(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增． ∴在[－1，1]上，f(x)≤1. 问题转化为m2－2am＋1≥1， 即m2－2am≥0，对a∈[－1，1]成立． 设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.

①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立．

②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0且g(1)≥0， ∴m≤－2，或m≥2.

∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.

11

x＋2＜x－1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/03ue.html