2022年陕西省培养单位西安光学精密机械研究所811量子力学考研核

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第 2 页，共 24 页 特别说明

本书根据历年考研大纲要求并结合历年考研真题对该题型进行了整理编写，涵盖了这一考研科目该题型常考试题及重点试题并给出了参考答案，针对性强，考研复习首选资料。

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第 3 页，共 24 页 重要提示

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1． 坐标分量算符与动量分量算符

的对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。 【答案】对易关系为，不确定关系为。

2． 若在某给定状态

中，力学量A 有确定值,那么在算符和(1)不对易(2)对易这两种情形下,力学量B 在上述态中是否也具有确定的值？为什么？ 【答案】(1)算符

和不对易时，则一般来说，与不能同时为零，即A 与B 不能同时有确定的值，所以常将算符与称为“不相容”的。但是，由不确定关系

知道，尽管，但仍可能存在这样的态，使得有，对于这样的态，A 和B 可以同时有确定的值。也就是说，它们仍可以有某些共同本征态，只不过这些共同本征态不能形成基底，由此知算符的非对易性并不能完全排除它们的某些本征值可同时实现(但相互共轭的(互补的)算符例外，它们一定无共同本征态，因而也一定不能同时有完全确定的值)。例如，球对称势场中运动的粒子，总角动量平方等于零的态中，互不对易的角动量的三个分量都同时具有完全确定的值(都为零)。

(2)若算符和对易，则和是“相容”的，即可以通过在的每个本征子空间内求解的本征值方程来构造出和的共同本征矢形成的一组基底。但是，只是对应于的非简并本征值的本征矢，才一定是共同本征矢，在这共同本征矢所描述的状态中，A 和B 有完全确定的值,然而与的简并本征值相关的本征矢不一定是

的本征矢。所以在一般情形，一个任何预先给定的态不一定是和的共同本征态，而最多只能肯定，这个态能由和的共同本征态形成的基矢的线性组合来表示。由此可知它们在这个预先给定的态中不一定同时都有确定的值。例如：

(1)球对称场中，粒子处于总角动量平方具有完全确定值的状态，其角动量的z 分量或者具有完全确定值，或者不具有。这正是由于对的所有非零值，对的不同值来说都是简并的。事实上，尽管与对易，我们仍能找到这样一种状态，在这个状态中，没有确定值但或具有确定值(注意和均与对易，但与不对易)。

(2)除基态能级外,氢原子的每一个能级对应于角动量的若干值，所以尽管与对易，也

不能说当能量E 有确定值时，也有完全确定的值。 因此，为了判断力学量B 是否在态中有确定值，可用如下方法：①判断是否是简并

态，或者②把算符作用到上，若(即也是的本征态),则在态

中，B 有完全确定的值，否则B 没有完全确定的值。

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第 4 页，共 24 页 3． 什么是束缚态？束缚态有何特征？束缚态是否必为定态？反之如何，举例说明。

【答案】通常把无限远处为零的波函数描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态的能级是离散(分立)的，但不一定是定态，如：一维箱中粒子，是以一系列分立定态叠加而成的一般态。一般情况下，定态多属束缚态，但也可有非束缚态，如弹性散射中，入射粒子向各方向散射，粒子不局限在有限区域，但粒子可能处于能量本征态。

4． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上线性独立的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

5． 若在某一给定实验中,无法测定粒子的电荷的符号。那么此时能将正电子和电子视为全同粒子吗？是否在任何情形下都必须将两个电子视为全同粒子而应用对称化假设呢？

【答案】全同粒子是所有内禀性质(固有性质)都相同的粒子，是与实验条件无关的。故尽管在某个特定实验上无法测定电荷的符号，也不能将正电子和电子视为全同粒子。

尽管两个电子是全同粒子，但在一些特殊情形也可按非全同粒子处理而不必对它们应用对称化假设，如当两个电子具有不同的自旋方向且它们之间的相互作用又不会改变各自的自旋方向时；又如，对于始终位于空间不同区域且又无相互作用的两个电子也可以这样做，只要这两个电子的波函数不互相重叠。

6． 汞(Hg)的这条谱线在磁场的作用下,分裂成三条间隔

的谱线，判断这是正常塞曼(Zeeman)效应或是由自旋轨道耦合起作用的跃迁所引起的反常塞曼效应(

玻尔磁子，)。 【答案】在磁场B(设沿z 方向)中，磁矩M 对哈密顿提供一附加磁能项

(a) 它使原能级分裂成

若是正常塞曼效应，则不考虑自旋轨道耦合，这时与自旋有关的算子只有式(a)中的

，但单独的不会引起不同自旋态之间的跃迁,故，再利用偶极跃迁的选择定则

可

知对于正常塞曼效应，每条光谱线将分裂为三条，而且其间距为

又由得

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这正是所观测到的间距，说明这是正常塞曼效应而不是反常塞曼效应[事实上，由自旋轨道耦合下的选择定则可推知反常塞曼效应中的谱线间隔和每条谱线分裂的条数(为偶数条)]。

7． 设绝对零度时，在三维各向同性谐振子势

中有20个自旋s=1/2质量为的全

同粒子组成的体系，忽略粒子之间的相互作用,已知这20个粒子的平均能量为3eV ，(1)如果同样的温度下该势场中有12

个这样的粒子组成的体系，其平均能量是什么

?(2)如果同样的温度下该势场中有

17个自旋s=0质量仍为的全同粒子组成的体系，其平均能量是什么？

【答案】(1)单粒子态波函数与能量为

是一维谐振子定态波函数，

是

的本征函数，

，

，单

粒子基态能量，二度简并，相应、

的态，单粒子第一激发态

能量，六度简并，相应的态，单粒子第二激

发态能量，十二度简并，相应

的

态，绝对零度时体系处于最低能态，这时能级与

上分别有2,6与12个粒子，体系的平均

能量

由此得

，现在绝对零度时，只有12个粒子，能级

与

上分别有2,6与4个粒

子，体系的平均能量

(2)绝对零度时，17个玻色子都处于能级，平均能量为

。

8． 什么是量子化？如何实现量子化？

【答案】

量子化有两个含义。

量子化的一个含义是，在经典力学中取连续值的力学量,到量子力学中变成取分立值的现象，其原因是在经典力学中的力学量，到量子力学中变成了厄米算符

，并且其中坐

标

与动量满足对易关系

正是这样的对易关系使得一些由

与

组成的力学量算符(如一维谐振子能量算符，轨道角动

量算符等)的本征值取分立值。上述对易关系叫做量子化条件,其中起关键作用的是不对易式

。

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