2010年全国高中数学联赛江西预赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛

江西省预赛试题

（考试时间：9月24日上午8:30-11:00）

一．填空题（共8题，每题10分，合计80分）

1．设多项式f(x)满足：对于任意x?R，都有f(x?1)?f(x?1)?2x2?4x,则f(x)的最小值是＿＿＿＿＿＿.

2．数列{an},{bn}满足：akbk?1,k?1,2,?,已知数列{an}的前n项和为An?列{bn}的前n项和Bn?＿＿＿＿＿＿.

n，则数n?11?x23．函数f(x)?的值域是＿＿＿＿＿＿.

x?24．过抛物线y2?8x的焦点F,作一条斜率为2的直线l，若l交抛物线于A,B两点，则?OAB的面积是＿＿＿＿＿＿.

sinA?cos(A?B)，则tanA的最大值为＿＿＿＿5.若?ABC为锐角三角形，满足

sinB＿＿.

6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.

7.将1,2,?,9随机填入右图正方形ABCD的九个格子中，则其每 行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率

p?＿＿＿＿＿＿.

8.将集合M?{1,2,?12}的元素分成不相交的三个子集：M?A?B?C，其中，且ak?A?{a1,a2,a3,a4}B?{b1,b2,b3,b4}C?{c1,c2,c3,c4}c1＜c2＜c3＜c4，bkc?kk?1,2,3,4,则集合C为：＿＿＿＿＿＿.

，

二．解答题（共2题，合计70分）

N分别是两段弧9.（20分）如图，AB是圆的一条弦，它将圆分成两部分，M、的中点，以点B为旋转中心，将弓形AMB顺时针旋转一个角度成弓形A1MB，AA1的中点为P，MN的中点为Q.求证：MN?2PQ.

x2y210.（25分）给定椭圆C:2?2?1,(a＞b＞0)以及圆?O:x2?y2?b2，自椭圆

ab上异于其顶点的任意一点P，做?O的两条切线，切点为M,N，若直线MN在x,ya2b2a2轴上的截距分别为m,n；证明：2?2?2.

nmb

11.（25分）对于2n个素数组成的集合M?{p1,p2,?,p2n}，将其元素两两搭配成n个乘积，得到一个n元集，如果A?{a1a2,a3a4,?,a2n?1a2n,}与B?{bb12,b3b4,?,

b2n?1b2n}是由此得到的两个n元集，其中{a1,a2,?,a2n}={b1,b2,?,b2n}?M，且

A?B??，就称集合对{A,B}是由M炮制成的一副“对联”.(例如当n?2时，

由四元集{a,b,c,d}可炮制成三副“对联”：{ab,cd}?{ac,bd}，{ab,cd}?{ad,bc}

{ac,bd}?{ad,bc}).

(1).当n?3时，求6元素集M?{a,b,c,d,e,f}所能炮制成的“对联”数； （2）对于一般的n?2，求由2n元素集M所能炮制成的“对联”数T(n).

2010年全国高中数学联赛 江西省预赛试题答案

1.-2

n(n?1)(n?2)2.

3?3?3.?0,? ?3?4.45 5.2 46.83 7.

8 9!8.{8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}

9.思路：取AB中点E，A1B中点F，可证PEBF为菱形； 证明角MFP=角PEN； 再证角PNE=角MPF； 然后证角MPN为直角

10.关键步骤：设P点坐标(x0,y0)，易的OMPN四点共圆，此圆方程减圆O方程得直线MN方程x0x?y0y?b2 11.（1）60;

1n?1?111n1??D?n!(2)T(n)?C2 (其中=n!1?????(?1)Dn?1nn??) 21!2!3!n!??

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