大学物理课后习题答案 下13-19

第十三章 静电场

P38．

13．1 如图所示，

在直角三角形ABCD的

q1 A A点处，有点电荷q1 = 1.8×10-9C，B点处有点C E2 B θ 电荷q2 = -4.8×10-9

C，AC Eq2 1 E = 3cm，BC = 4cm，试求图13.1 C点的场强．

[解答]根据点电荷的场强大小的公式

E?kq1qr2?4??2， 0r其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2．

点电荷q1在C点产生的场强大小为

E111?q4??2

0AC?9?109?1.8?10?9(3?10?2)2?1.8?104(N?C-1)，方向向下．

点电荷q2在C点产生的场强大小为

E1|q2|2?4??BC2

0?9?109?4.8?10?9(4?10?2)2?2.7?104(N?C-1)，

方向向右．

C处的总场强大小为

E?E221?E2 ?0.913?104?3.245?104(N?C-1)，总场强与分场强E2的夹角为

??arctanE1E?33.69?． 2

13．2 半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．

[解答]在带正电的圆弧上取一弧元 ds R θ O Ex ds = Rdθ，

x 电荷元为dq = λds，

Ey E 在O点产生的场强大y 小为

dE?1dq1?ds4??2?2??Rd?0R4??0R4??0，

场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ．

对于带负电的圆弧，同样可得在O点的Ex θ 场强的两个分量．由于E O x 弧形是对称的，x方向

ds R Ey 的合场强为零，总场强y 沿着y轴正方向，大小为

E?2Ey??LdEsin?

??/6?/6?2??sin?d???(?cos?)

0R?02??0R0?(1?32)?2??．

0R

13．3 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1，求：

（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；

（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强．

[解答]（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)．

在

细棒上y 取一线ldl r P1 x 元dl，所-L o L d1 1

带的电量为dq = λdl，

根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为

dE1?k总场强大小为

dq?dl? r24??0(x?l)2??Ey?4??0d2Ll??LL?sin?d?

场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得

??cos?4??0d2

l??L?LdlE1? 2?4??0?L(x?l)???4??0d2?1ld?l222L

l??L2L??14??0x?lL

?L24??0d2d2?L2． ②

将数值代入公式得P2点的场强为

?11?(?) 4??0x?Lx?L?2L?． ① 224??0x?L12?0.1?3?10?8Ey?9?10? 221/20.08(0.08?0.1)9将数值代入公式得P1点的场强为

= 5.27×103(N·C-1)． 方向沿着y轴正向．

[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得

2?0.1?3?10?8E1?9?10?

0.182?0.129E1??a?1?4??0d1d1?a4??0d1d1/a?1= 2.41×103(N·C-1)，

方向沿着x轴正向．

（2）建立

y dE 2坐标系，y = d2． dEy θ 在细棒上P2 dEx 取一线元dl，所

d2 r -L L 带的电量为 θ o x dq = λdl，

ldl 在棒的垂直平

分线上的P2点产生的场强的大小为

dE2?k，

保持d1不变，当a→∞时，可得

E1??， ③

4??0d1这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小．

（2）由②式得

Ey??4??0d2ad?(a/2)1222 dq?dl， ?r24??0r2?由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sinθ．

由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ， 所以 dl = -d2dθ/sin2θ， 因此 dEy??4??0d2(d2/a)?(1/2)22，

当a→∞时，得 Ey???sin?d?，

4??0d2?， ④

2??0d2这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．

1

如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1．

13．4 一均匀带电的细棒被弯成如图R 所示的对称形状，试O θ 问θ为何值时，圆心O点处的场强为零．

图13.4

[解答]设电荷线

密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．

dφ 在圆弧上取一

R 弧元 ds =R dφ， O φ θ x 所带的电量为

dE dq = λds，

在圆心处产生的场强的大小为

`Ex?2E`cos?2???cos，

2??0R2方向沿着x轴负向．

当O点合场强为零时，必有

`Ex?Ex，可得 tanθ/2 = 1，

因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．

13．5 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度

P a b 为σ，如图所示．试

求：

（1）平板所在平

d 面内，距薄板边缘为a处的场强．

Q （2）通过薄板几

图13.5 何中心的垂直线上与

薄板距离为d处的场强．

[解答]（1）建

y 立坐标系．在平面

a b 薄板上取一宽度为

dx的带电直线，电O dx P x 荷的线密度为 dλ = σd x， 根据直线带电线的场强公式

dE?kdq?ds???d?， r24??0R24??0R由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为

dEx = -dEcosφ． 总场强为

Ex???4??0R?2???/2??cos?d?

2???/2/2??4??0Rsin??/2

???sin，

2??0R2E??， 2??0r方向沿着x轴正向．

再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．

R 根据上一题的E`` x O θ 公式③可得半无限

长带电直线在延长E` 上O点产生的场强大小为

得带电直线在P点产生的场强为

dE?d?2??0r??dx2??0(b/2?a?x)，

其方向沿x轴正向．

由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为

E`??，

4??0R?E?2??01dx ?b/2?a?x?b/2b/2b/2由于两根半无限长带电直线对称放置，它

们在O点产生的合场强为

???ln(b/2?a?x)2??0

?b/2 2

?b?ln(1?)． ① 2??0a场强方向沿x轴正向．

（2）为了便于观察，将薄板旋转建这正是带电直线的场强公式．

（2）②也可以化为

Ez??arctan(b/2d)，

2??0db/2d立坐标x 系．仍然在dx 平面薄板上r θ z 取一宽度为O d Q dx的带电直

b dE 线，电荷的y 线密度仍然为

dλ = σd x，

带电直线在Q点产生的场强为

dE?d??dx2??0r?2??20(b2?x)1/2，

沿z轴方向的分量为

dExz?dEcos???cos?d2??221/2， 0(b?x)设x = dtanθ，则dx = ddθ/cos2θ，因此

dE?z?dEcos??2??d? 0积分得

arctan(b/2d)E?arctan(??z?b/2d)2??d? 0????arctan(b)． ② 02d场强方向沿z轴正向．

[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为

λ = σb，

①式的场强可化为

E??ln(1?b/a)2??，

0ab/a当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗

必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

E??2??， ③ 0a

当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗

必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

E?z?2??，

0d这也是带电直线的场强公式．

当b→∞时，可得

E?z?2?， ④ 0这是无限大带电平面所产生的场强公式．

13．6 （1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？

（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？

[解答]点电荷产生的电通量为

Φe = q/ε0．

（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为

Φ1 = Φe/6 = q/6ε0．

（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为

Φ1 = Φe/24 = q/24ε0；

立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．

13．7 面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示．求通过此

R O 半球面的电通

量．

图13.7 [解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包

3

含的电荷为

q = πR2σ， 通过球面的电通量为

Φe = q/ε0， 通过半球面的电通量为

Φ`e = Φe/2 = πR2σ/2ε0．

13．8 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 > R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2处各点的场强．

[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．

（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以

E = 0，（r < R1）．

（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl， 穿过高斯面的电通量为

圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为

?e??E?dS

S??E?dS??E?dS??E?dS

S1S2S0?ES?E`S?0?2ES，

高斯面内的体积为 V = 2rS， 包含的电量为 q =ρV = 2ρrS， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，

可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．①

（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES， 高斯面在板内的体积为V = Sd， 包含的电量为 q =ρV = ρSd， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，

可得场强为 E = ρd/2ε0，(r≧d/2)． ②

方法二：场强叠加法． （1）

E1 y 由于平板的可视很多薄

r dy 板叠而成d E2 o 的，以r为界，下面平

板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为

dσ = ρdy，

产生的场强为 dE1 = dσ/2ε0， 积分得

?e???E?dS??EdS?E2?rl，

SS根据高斯定理Φe = q/ε0，所以

E??， (R1 < r < R2)． 2??0r（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以

E = 0，（r > R2）．

13．9 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．

[解答]方法一：高斯定理法．

（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`．

在板

S1 E E 内取一底

S1 面积为S，

S0 高为2r的d 2r S0 S2

E1??dy?d?(r?)，③ ?2?02?02?d/2d/2r同理，上面板产生的场强为

E2??r?dy?d?(?r)，④ 2?02?02r处的总场强为E = E1-E2 = ρr/ε0．

（2）在公式③和④中，令r = d/2，得

E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0，

E就是平板表面的场强．

平板外的场强是无数个无限薄的带电

E` S2 E` 4

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