第十四讲初三暑假课程反比例函数

反比例函数

知识点l、反比例函数的概念

重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y?

k

或y=kx-1（k为常数，k?0）的形式，那x

么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： （1）、k是常数，且k不为零； （2）、

2k中分母x的指数为1，如y?2不是反比例函数。

xx（3）、自变量x的取值范围是x?0一切实数. （4）、自变量y的取值范围是y?0一切实数。 知识点2、反比例函数的图象及性质

重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用 反比例函数y?k的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、x四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；

（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是x?0，因此不能把两个分支连接起来。 （3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。 反比例函数的性质

y?

k

(k?0)的变形形式为xy?k（常数）所以： x

（1）、其图象的位置是：

1

当k?0时，x、y同号，图象在第一、三象限； 当k?0时，x、y异号，图象在第二、四象限。 （2）、若点(m,n)在反比例函数y?象关于原点对称。

（3）当k?0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k?0时，在每个象限内，y随x的增大而增大；

（4）、从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。 知识点3、反比例函数解析式的确定

重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式 （1）、反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式y?

k

中，只有一个x

k

的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图x

待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y?

k

中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。 x

（2）、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①、设所求的反比例函数为：y?

k

（k?0）； x

②、根据已知条件，列出含k的方程； ③、解出待定系数k的值； ④、把k值代入函数关系式y?

k

中。 x

知识点4、用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：

（1）、反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

（2）、针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。

2

（3）、列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。 【典型例题】

例1、下列函数关系中，哪些是反比例函数？

(1)、已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系； (2)、压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；

(3)、功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．

(4)、某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式． 分析:判断某个函数是否为反比例函数，就是看它的解析式经过整理后是否符合y?≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，然后再判断． 解：(1)a?(3)F?12，是反比例函数；(2)F＝ps，是正比例函数； hWm，是反比例函数；(4)y?，是反比例函数． sx2k(k是常数，kx例2、若反比例函数y?(m?1)x2?m的图象在第二、四象限，求m的值． 分析:由反比例函数的定义可知：2?m2??1 ,又由个条件可解出m的值．

m＋1＜0，由这两

?2?m2??1,解:由题意，得? 解得m??3．

?m?1?0例3、将下列各题中y与x的函数关系求出来。 (1)y?

1

，z与x成正比例； z

(2)y与z成反比例，z与3x成反比例； (3)y与2z成反比例，z与

1x成正比例； 2分析：尽管题目拐弯抹角地绕圈子，关键要分清正比例函数和反比例函数的一般形式． 解：(1)根据题意，得z＝kx(k≠0)．

111把z＝kx代入y?，得y?，即y?k．因此y是x的反比例函数．

zkxx(2)根据题意，得y?

k1k,z?2(k1，k2均不为0)． z3x3

把z?k3kk2k3k代入y?1，得y?1?1x，即y?1x．

k2k23xzk23x因此y是x的正比例函数． (3)根据题意，得y?k1k11,z?k2x．把z?k2x代入y?1，得 2z222zy?k112?k2x2k1k，即y＝2．因此y是x的反比例函数．

x例4、已知反比例函数的图象过点(1,－2)。(1)、求这个函数的解析式，并画出图象；(2)、若点

A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？

分析: (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；

(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．

解：(1)设反比例函数的解析式为：y?k(k≠0)． x而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2． 所以?2?k，k＝－2． 12． x即反比例函数的解析式为：y??

(2)点A(－5,m)在反比例函数y??m??2图象上， 所以x222?，点A的坐标为(?5,)． ?5552点A关于x轴的对称点(?5,?)不在这个图象上；

52点A关于y轴的对称点(5,)不在这个图象上；

5 4

2点A关于原点的对称点(5,?)在这个图象上．

5例5 已知函数y?(m?2)x(1)求m的值；

3?m2为反比例函数．

(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？ (3)当－3≤x≤?1时，求此函数的最大值和最小值． 2分析：反比例函数y?k(k是常熟,k?0）中k的限定条件是做对这类题的关键． x?3?m2??1,解：(1)由反比例函数的定义可知：? 解得，m＝－2．

?m?2?0.(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大． (3)因为在每个象限内，y随x的增大而增大， 所以当x＝?14时，y最大值＝?1?8； 2?2当x＝－3时，y最小值＝?所以当－3≤x≤?44?． ?3314时，此函数的最大值为8，最小值为． 23例6、 已知反比例函数y?k1的图象经过点(4,)，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例

2x函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标．

分析：本题的题目看似简单，但涉及的知识点较多，必须静下心来，理清头绪，找准关键，方可切入．要确定平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标，必须先确定一次函数的解析式，这就需要通过反比例函数来确定点B的坐标，同时还必须清楚“一次函数的图象平移后k值不变，而b值一定变化”这个规律． 解：由于反比例函数y?k11k的图象经过点(4,)，所以?,k?2.

224x2. xy A B o M x 所以反比例函数的解析式为y?又因为点B（2，m）在反比例函数图象上，所以m?

5

2?1.所以B（2，1）． 2

设一次函数y=x+1的图象平移后的解析式为y=kx+b．

由题意知道：一次函数y=x+1的图象平移后经过的点B（2，1）， 所以1=2+b,b=-1．

故一次函数y=x+1的图象平移后的解析式为y=x－1． 令y＝0，得x-1=0,x=1．

所以平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）． 例7 一个反比例函数y?k在第二象限的图象如图所示,点A是图象上的任意一点，过点A作AB?xx轴于点B,△AOM的面积为3． （1）求反比例函数的解析式．

（2）如果OB=3,且一次函数y=ax+1的图象经过点A,并且与x轴相交于点M．求AO:AM的值． 分析：（1）要求反比例函数的解析式就必须知道k值，怎样确定k值呢？可用的条件就是反比例函数y?k的图象在第二象限，点A是图象上的任意一点，△AOM的面积为3． x（2）要求AO:AM的值，就必须知道M点的坐标，从而需要确定一次函数y=ax+1中的a值，这就必须求出A点的坐标．

解：（1）设点A的坐标为（x,y）,则S△AOM=S?AOB?所以∣xy∣=23,xy=±23． 因为点A在反比例函数y?k的图象上，所以k=∣xy∣,所以k=±23． x1xy?3． 2因为反比例函数y?k23的图象在第二象限，所以k＜0．所以k=－23,所以y??. xx（2）因为OB=3，所以A点的横坐标为－3，进而求出A(－3，2)． 因为一次函数y=ax+1的图象经过点A(－3，2)， 所以a??3． 33x?1．当y=0时，x=3．所以M(3,0)． 3所以y??所以，AO?AB2?BO2?4?3?7.

AM?

AB2?BM2?4?(23)2?4.

6

所以，AO:AM＝7:4．

反思：通过本题，你有什么新的收获吗？

例8 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米． (1)写出用高表示长的函数关系式； (2)写出自变量x的取值范围； (3)画出函数的图象．

分析：实际问题中的图象一定要在自变量的取值范围内画． 解： (1)因为100＝5xy,所以y?(2)x＞0． (3)图象如图： 【基础练习】

20． x31、下列各点中，在函数y=－的图象上的是（ ）

x11A、（3，1） B、（－3，1） C、（，3） D、（3，－）

332、函数y=

1x?1的自变量x的取值范围是（ ）

A、x≠0 B、x＞1 C、x≥1 D、x＞0 3、反比例函数y=

k (k>0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如x果△MOP的面积为1，那么k的值是( )

A、1 B、2 C、4 D、2 4、反比例函数 y?

A

k?2x 与正比例函数y=2kx在同一坐标系中的图象不可能是（ ）

B

7

C

D

5、如图，函数y?y k与y?kx?k在同一坐标系内的图象大致是（ ）． xy y y O A x O B x O C

x O D

x

6、若点（?2,y1），(1,y2)，(3,y3)都在反比例函数y??（ ）

2的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是xA、y1?y3?y2 B、y2?y1?y3 C、y1?y2?y3 D、y2?y3?y1 7、某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为( ) A、I?663 B、I?? C、I?

RRR2

B(3,2) 3 第7题图

R(Ω)

I(A)

D、I?2 R0

m2?2m?18、若点（3,4）是反比例函数y?的图象上一点则此 函数图象必须经过点（ ）

xA、（2，6） B、（2，-6） C、（4，-3） D、（3，-4）

9、如果反比例函数y?在其象限内，y随x的增大而减小，那么它的图象分布在（ ） A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限

110、若反比例函数y??的图象经过点A（2，m），则m的值是（ ）

xkxA、?2 B、2

11 C、? D、

22二、填空题

11、如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为______． 12、若反比例函数y?(3n?9)xn为 ． 13、已知反比例函数y?m?3经过点A(2,－m)和B(n,2n)，则 m= ,n= ． x2?13的图象在所在象限内，y随 x的增大而增大，则n的值

14、如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为______ ．

8

k

15、双曲线y＝ 和一次函数y＝ax＋b的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋

x2b＝____________．

第16题图

第19题图

216、函数y=的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y轴向上平移2个

x单位后，那么所得直线与函数y=

2的图象的交点共有 个． x2的图象上，则这个点的坐标x17、请你写出一个点的坐标，使这点在反比例函数y＝－为 ．

k18、当k=________时,反比例函数y??(x?0)的图象在第一象限．只需填一个数）

x19、如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为 ．

20、设P(a，b)，M(c，d)是反比例函数y?1在第一象限内的图象上关于直线y =x对称的两点，xbd?= ． acy 过P，M作坐标轴的垂线(如图)，垂足为Q，N，若?MON =30?，则21、反比例函数y?

3

中，在每个象限内，y随x增大而 ． x

x 第20题图

9

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