第一章 导热理论和导热微分方程

第一章 导热理论和导热微分方程

相互接触的物体各部分之间依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递热量的过程称为导热。在纯导热过程中物体各部分之间没有宏观运动。

与固体物理的理论研究方法不同，传热学研究导热问题时不是对导热过程的微观机理作深入的分析，而是从宏观的、现象的角度出发，以实验中总结出来的基本定律为基础进行数学的推导，以得到如温度分布、温度-时间响应和热流密度等有用的结果。这种处理方法的物理概念简单明了，但所要求的数学知识和技能仍是复杂和困难的。本书在材料的选取上，注意在介绍有重要应用价值的结果的同时，也给予求解导热问题的典型数学方法以足够的重视，以培养和发展读者独立解决问题的能力。

1-1 导热基本定律

1-1-1 温度场

由于传热学以宏观的、现象的方式来研究导热问题，团此必须引入连续介质假定，以便用连续函数来描述温度分布。温度场就是在一定的时间和空间域上的温度分布。它可以表示为空间坐标和时间的函数。由于温度是标量，温度场是标量场。常用的空间坐标系有三种：直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。在直角坐标系中，温度场可以表示为

t?f(x,y,z,?) （1-1-1）

式中：t表示温度；x、y、z为三个空间坐标；τ表示时间。

若温度场各点的温度均不随时间变化，即?t???0，则称该温度场为稳态温度场，否则为非稳态温度场。若温度场只是一个空间坐标的函数，则称为一维温度场；若温度场是两个或三个空间坐标的函数，则称为二维或三维温度场。

1-1-2 等温面与温度梯度

物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。对应不同温度值的等温面构成等温面族。等温面与任一截面的交线形成等温线。由于等温线具有形象直观的优点，二维温度场常用等温线来表示温度分布。

由于在同一时刻物体的一个点上只能有一个温度值，所以不同的等温面不可能相交。它们或者在域内形成封闭曲线，或者终止于物体的边界。

如图1-l所示，在物体内某一点P处，沿空间某一方向l的温度的变化率

图1-l 等温线和温度梯度

?t?t?lim （1-1-2） ?l?l?0?l称为温度场沿该方向的方向导数。因为沿等温面方向温度不变，所以温度场在等温面方向的方向导数为零。对于确定的空间点，在空间各方向上最大的方向导数称为该点的梯度。所以，温度梯度是一个向量。温度梯度的方向是温度增加最快的方向，它的模（大小）等于最大的方向导数。温度梯度可以记作gradt或▽t。温度梯度在任一方向l的投影就是该方向的方向导数。若l方向与gradt的夹角为θ，则

?t?gradt?l?gradtcos? （1-1-3） ?l其中l是l方向的单位向量；显然，温度梯度垂直于过该点的等温面。

在直角坐标系中。温度梯度在三个坐标轴上的投影分别为?t?x、?t?y、?t?z，则有

gradt??t?t?ti?j?k （1-1-4） ?x?y?z其中i、j、k分别为x、y、z在坐标轴上的单位向量。在一般的正交坐标系中梯度的表达式将在以后讨论。

连续温度场内的每—点都对应一个温度梯度向量，所以温度梯度构成一个向量场。应该注意，梯度（gradient）在英文中有两个不完全相同的意义。一个是以上介绍的严格按数学（场论）意义上定义的梯度，它是一个向量；另一个意思是“坡度”、“变化率”。由此在有些中文书中也可见到如“温度场在x方向的梯度”这样的说法，意思是?t?x。读者应加以区别。

1-1-3 热流向量

单位时间内通过单位面积传递的热量称为热流密度，记作q，单位为W/m2。对确定的空间点、在不同方向上热流密度是不同的。与定义温度梯度的方法一样，可以定义一点处的热流向量。热流向量的方向是热流密度最大的方向，其大小等于该方向的热流密度。热流向量记作q。任一方向的热流密度等于热流向量在该方向的投影。在连续温度场内的每一点都对应一个热流向量，所以热流向量也构成一个热流向量场，或称热流场。在直角坐标系中

q?qxi?qyj?qzk （1-1-5）

1-1-4 傅里叶定律

以实验观察为基础并经过科学的抽象，1822年法国数学物理学家傅里叶（Joseph Fourier）提出了把温度场和热流场联系起来的基本定律。对于各向同性（材料的导热系数不随方向改变）的物体，傅里叶定律可表述为：热流向量与温度梯度成正比，方向相反。因为温度梯度是指向温度升高的方向，而根据热力学第二定律，热流总是朝着温度降低的方向，或用数学形式表示为

q???gradt （1-1-6）

其中λ称为材料的导热系数。

把式（1-1-4）、（1-l-5）代入式（1-1-6），可得傅里叶定律在直角坐标系中的投影表达式为

?t??x???t?qy???? （1-1-7）

?y??t?qz?????z?qx???傅里叶定律适用于稳态和非稳态的、无热源和有热源的温度场，也适用于常物性和物性随温度改变的

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情况。但对于各向异性材料将必须作一定的修改，对此将在后面的第三节中讨论。

傅里叶定律建立了温度场和热流场之间的联系，温度场确定之后热流场就被唯一地确定，并且可进一步求得经物体内部或边界上任意表面传导的热流量Q（如图1-2所示）：

图1-2 通过任意表面的热流量

dQ?q?dA???gradt?dA （1-1-8）

Q??q?dA????gradt?dA （1-1-9）

AA其中，dA是面积元向量，方向为表面的外法线方向。这样，在已知导热系数的情况下，由温度场可以确定流过任意表面的热流量。因此，虽然在许多实际问题中可能更关心热流量的计算，但是在求解导热问题时总是把求解温度场放在首要地位。

1-1-5 导热系数

傅里叶定律的另一个作用就是定义了导热系数，即

??q （1-1-10） gradt在导热分析中，导热系数是一个重要的物性参数，在给定温度梯度的条件下热流密度的大小正比于导热系数。在国际单位制中，导热系数的单位是W/(m·K)。导热系数与材料的种类及其所处的状态有关。固体、液体与气体，金属与介电质的内部结构不同，导热的机理也有很大的差异。热物性学的现代理论提供了对导热过程微观机理的解释，并为按要求的热物性“设计”特定的材料提供了可能的途径。但是这些理论还不够完善，除了对理想气体和晶体等比较简单的情况以外，对于绝大多数材料还不能较精确地预测其导热系数。有关导热微观机理的理论可参阅文献[1，2]。对于绝大多数材料，现在还不能根据其结构和导热机理来计算其导热系数。各种实际应用材料的导热系数主要是通过实验的方法得到的。目前已有一系列不同的实验方法可用来测定各种材料在不同温度范围内的导热系数，特别是20世纪60年代以来发展起来的多种非稳态的方法，由于其测试时间短（几秒至几十秒）、适应性强等优点，已被广泛采用。许多常用材料的热物性数据可以在一些手册中查得。

一般来说，材料的导热系数是温度的函数。大多数纯金属的导热系数随温度的升高而减小，而气体与介电材料的导热系数随温度的升高而增加。在极低温条件下（0-60 K），金属的导热系数随温度有剧烈的变化，且可以达到很高的值。例如，纯铜在10 K时的导热系数可达1.9×104W/(m·K)。对于液体和气体，

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特别是在接近临界状态的条件下，导热系数还与压力有关。接近真空的稀薄气体中的传热已不属于经典的导热过程。

在求解导热问题时常常假定导热系数是常量，即不随温度变化。根据傅里叶定律，此时热流与温度梯度成线性关系，问题的求解可以得到很大简化。在需要考虑导热系数随温度变化而温度变化范围又不太大时，工程上常用线性关系来近似导热系数与温度的关系，即

???0(1?bt) （1-1-11）

为了对各种材料导热系数的大小有一个数量级的概念，一些典型材料在通常工程温度范围内的导热系数的范围列于下面：

金属 50-415W/(m·K) 合金 l 2-120W/(m·K)

非金属液体 0.17-0.7W/(m·K) 隔热材料 0. 02-0.17W/(m·K)

大气压力下的气体 0.007-0.17W/(M·K)

从以上数据可以看到，在通常的温度范围内导热性能最好的材料与最差的材料相比，导热系数大约相差5个数量级。这虽然是相当悬殊的差别，但从实际应用的需要来看，导热材料和隔热材料在导热性能上的反差仍显得太小。导热与导电有很大的类似性。但优良导电材料（如铜）的电导率与电绝缘材料（如塑料）的电导率相差达12个数量级以上，因此很容易设计各种电路来控制电子的流动（电流），电学量的测量也常可以达到很高的精度。相比之下，控制热流要困难得多，这是热的测量很难达到较高精度的主要原因。这也使保温隔热成为传热学和许多工程领域的重要课题。

1-2 固体导热问题的数学描述

固体导热问题的数学描述包括导热微分方程和单值性条件。导热微分方程可以根据直角坐标系（或柱坐标系、球坐标系）中微元体的热平衡导得，其推导过程可参阅大多数的传热学教科书。这里给出更一般的不依赖于坐标系的推导。建立导热微分方程的依据仍然是能量守恒定律。由于所考虑的导热体系是静止的，与外界没有功的交换，所以体系得到的热量应该等于体系内能的增加。体系得到的热量可以有两部分：一部分是由于导热通过体系的界面传入的热量，另一部分是由于内热源（化学反应、电加热等）的发热而产生的热量。参照图1-3，导热体系的体积为V，表面为A。单位时间内通过表面A由导热进入体系的热量Ql为

图1-3 导热微分方程的推导

Q1???q?dA?????qdV （1-2-1）

AV

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其中dA是指向外法线方向的面积元向量，负号表示热流指向体系内部（与表面的外法线方向相反）。这里应用了散度定理把面积分转换为体积分，其中

??q??qx?qy?qz?? （1-2-2） ?x?y?z称为热流向量q的散度。

内热源的体积发热率qv是单位时间内单位体积的内热源的发热量，在国际单位制中的单位是W/m3。一般来说，它可以是坐标和时间的函数，记为加qv (r, τ)。由此，单位时间内体积V中内热源产生的热量Q2为

Q2??qVdV （1-2-3）

V单位时间内体积V中热量的增加Q3为

Q3???cV?tdV （1-2-4） ??对导热体系建立能量平衡方程，则有

Q1?Q2?Q3 （1-2-5）

或

V?(???q?qV??c?t)dV?0 （1-2-6） ??由于式（1-2-6）对于整个或部分空间域是普遍适用的，它对体系内的任一微元体积也成立。这样，可以把积分号去掉，由此得到

?c?t????q?qV （1-2-7） ??根据傅里叶定律，热流向量可以由温度梯度得到。把式（1-1-6）代入方程（1-2-7）可以得到含有内热源的各向同性物体中的导热微分方程：

?c?t???(??t)?qV （1-2-8） ??如果导热系数不随空间位置和温度而变化，则以上方程可简化为

q?t?a?2t?V （1-2-9） ???c式中：▽2称为拉普拉斯算子；a??(?c)称为热扩散率或导温系数。热扩散率是材料的热物理性质，在国际单位制中的单位是m2/s。热扩散率表征材料内部温度趋于均匀的能力，是描述非稳态导热过程的一个最重要的热物性参数。

在常物性且没有内热源的情况下，方程（1-2-9）进一步简化为扩散方程，或称傅里叶方程：

?t?a?2t （1-2-10） ??在稳态条件下，?t???0，则有内热源时方程（1-2-9）简化为泊松方程：

?2t?qV??0 （1-2-11）

稳态而无内热源时上式进一步简化为拉普拉斯方程：

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