工程光学 - 郁道银 - 光学习题解答学习

第一章习题

1、已知真空中的光速c＝3 m/s，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的光速。 解：

则当光在水中，n=1.333时，v=2.25 m/s, 当光在冕牌玻璃中，n=1.51时，v=1.99 m/s, 当光在火石玻璃中，n＝1.65时，v=1.82 m/s， 当光在加拿大树胶中，n=1.526时，v=1.97 m/s， 当光在金刚石中，n=2.417时，v=1.24 m/s。

2、一物体经针孔相机在 屏上成一60mm大小的像，若将屏拉远50mm，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向不变，令屏到针孔的初始距离为x，则可以根据三角形相似得出： 所以x=300mm

即屏到针孔的初始距离为300mm。

3、一厚度为200mm的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻

璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少？

解：令纸片最小半径为x,

则根据全反射原理，光束由玻璃射向空气中时满足入射角度大于或等于全反射临界角时均会发生全反射，而这里正是由于这个原因导致在玻璃板上方看不到金属片。而全反射临界角求取方法为：

(1)

其中n2=1, n1=1.5,

同时根据几何关系，利用平板厚度和纸片以及金属片的半径得到全反射临界角的计算方法为：

(2)

联立（1）式和（2）式可以求出纸片最小直径x=179.385mm， 所以纸片最小直径为358.77mm。

4、光纤芯的折射率为n1、包层的折射率为n2,光纤所在介质的折射率为n0，求光纤的数值孔径（即n0sinI1,其中I1为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。

解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有：

n0sinI1=n2sinI2 (1)

而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射，使得光束可以在光纤内传播，则有：

(2)

由（1）式和（2）式联立得到n0 sinI1 .

5、一束平行细光束入射到一半径r=30mm、折射率n=1.5的玻璃球上，求其会聚点的位置。如果在凸面镀反射膜，其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各会聚点的虚实。

解：该题可以应用单个折射面的高斯公式来解决，

设凸面为第一面，凹面为第二面。

（1）首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式：

虚像。则：

会聚点位于第二面后15mm处。 2） 将第一面镀膜，就相当于凸面镜

像位于第一面的右侧，只是延长线的交点，因此是 还可以用β正负判断：

3）光线经过第一面折射：, 第二面镀膜， 得到：

虚像

（

（

（4） 再经过第一面折射

物像相反为虚像。

6、一直径为400mm，折射率为1.5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于1／2半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到的气泡在何处？如果在水中观察，看到的气泡又在何处？

解：设一个气泡在中心处，另一个在第二面和中心之间。 （1）从第一面向第二面看

（2）从第二面向第一面看

（3）在水中

7、有一平凸透镜r1=100mm,r2=∞,d=300mm,n=1.5,当物体在-∞时，求高斯像的位置l’。在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像在何处？当入射高度h=10mm，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？

解：

8、一球面镜半径r=-100mm,求＝0 ，-0.1 ，-0.2 ，-1 ，1 5，10，∝时的物距像距。 解：（1）

（2） 同理，

，

（3）同理，

（4）同理，

（5）同理，

（6）同理，

（7）同理，

（8）同理，

9、一物体位于半径为r 的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大4倍的实像，当大4倍的虚像、缩小4倍的实像和缩小4倍的虚像？

解：（1）放大4倍的实像

（2）放大四倍虚

像

（3）缩小四倍实

像

（4）缩小四倍虚像

第二章习题

1、已知照相物镜的焦距f’＝75mm,被摄景物位于（以F点为坐标原点）x=处，试求照相底片应分别放在离物镜的像方焦面多远的地方。 解：

（1）x= -∝ ，xx′=ff′ 得到：x′=0 （2）x′=0.5625

（3）x′=0.703 （4）x′=0.937 （5）x′=1.4 （6）x′=2.81

2、设一系统位于空气中，垂轴放大率，由物面到像面的距离（共轭距离）为7200mm,物镜两焦点间距离为1140mm,求物镜的焦距，并绘制基点位置图。

3.已知一个透镜把物体放大-3倍投影在屏幕上，当透镜向物体移近18mm时，物体将被放大-4试求透镜的焦距，并用图解法校核之。 解：

x

x

4．一个薄透镜对某一物体成实像，放大率为-1,今以另一个薄透镜紧贴在第一个透镜上，则见像向透镜方向移动20mm，放大率为原先的3/4倍，求两块透镜的焦距为多少？ 解：

5．有一正薄透镜对某一物成倒立的实像，像高为物高的一半，今将物面向透镜移近100mm，则所得像与物同大小，求该正透镜组的焦距。 解：

6．希望得到一个对无限远成像的长焦距物镜，焦距f′=1200mm，由物镜顶点到像面的距离（筒长）L=700 mm，由系统最后一面到像平面的距离（工作距）为

，按最简单结构的薄透镜

系统考虑，求系统结构，并画出光路图。 解：

7．一短焦距物镜，已知其焦距为35 mm，筒长L=65 mm，工作距lk′,按最简单结构的薄透镜系统考虑，求系统结构。

解：

8．已知一透镜 距、光焦度。 解：

求其焦

9．一薄透镜组焦距为100 mm，和另一焦距为50 mm的薄透镜组

合，其组合焦距仍为100 mm，问两薄透镜的相对位置。 解：

10．长60 mm，折射率为1.5的玻璃棒，在其两端磨成曲率半径为10 mm的凸球面，试求其焦距。 解：

11．一束平行光垂直入射到平凸透镜上，会聚于透镜后480 mm处，如在此透镜凸面上镀银，则平行光会聚于透镜前80 mm处，求透镜折射率和凸面曲率半径。 解：

第三章习题

1．人照镜子时，要想看到自己的全身，问镜子要多长？人离镜子的距离有没有关系？

解：

镜子的高度为1/2人身高，和前后距离无关。

2．设平行光管物镜L的焦距=1000mm，顶杆与光轴的距离a=10 mm，如果推动顶杆使平面镜倾斜，物镜焦点F的自准直像相对于F产生了y=2 mm的位移，问平面镜的倾角为多少？顶杆的移动量为多少？

解：

3．一光学系统由一透镜和平面镜组成，如图3-29所示，平面镜MM与透镜光轴垂直交于D点，透镜前方离平面镜600 mm有一物体AB，经透镜和平面镜后，所成虚像

至平面镜的距离为150

mm，且像高为物高的一半，试分析透镜焦距的正负，确定透镜的位置和焦距，并画出光路图。

解：平面镜成β=1的像，且分别在镜子两侧，物像虚实相反。

4．用焦距=450mm的翻拍物镜拍摄文件，文件上压一块折射率n=1.5，厚度d=15mm的玻璃平板，若拍摄倍率后主面到平板玻璃第一面的距离。 解：

，试求物镜

此为平板平移后的像。

5．棱镜折射角

，C光的最小偏向角

，试

求棱镜光学材料的折射率。 解：

6．白光经过顶角

的色散棱镜，n=1.51的色光处于最小偏

向角，试求其最小偏向角值及n=1.52的色光相对于n=1.51的色光间的交角。

解:

第四章习题

1．

二个薄凸透镜构成的系统，其中，，

，位于后，若入射平行光，请判断一下孔径光

阑，并求出入瞳的位置及大小。

解：判断孔径光阑：第一个透镜对其前面所成像为本身,

第二个透镜对其前面所成像为

大小为：

,其位置：

故第一透镜为孔阑,其直径为4厘米.它同时为入瞳. 2．设照相物镜的焦距等于75mm，底片尺寸为55 55照相物镜的最大视场角等于多少？ 解：

，求该

第五章习题

1、 一个100W的钨丝灯，发出总光通量为，求发光效率为多

少? 解：

2、有一聚光镜，

（数值孔径

），求进入系

统的能量占全部能量的百分比。

解：

而一点周围全部空间的立体角为

3、一个

的钨丝灯，已知：

，该灯与一聚光

，若设灯

镜联用，灯丝中心对聚光镜所张的孔径角

丝是各向均匀发光，求1）灯泡总的光通量及进入聚光镜的能量；2）求平均发光强度

解:

4、一个

的钨丝灯发出的总的光通量为

，设各时的

向发光强度相等，求以灯为中心，半径分别为：球面的光照度是多少？ 解：

5、一房间，长、宽、高分别为： 的灯挂在天花板中心，离地面

，一个发光强度为

，1）求灯正下方地板上的光

照度；2）在房间角落处地板上的光照度。 解：

第六章习题

1．如果一个光学系统的初级子午彗差等于焦宽（），则等于多少？

应

解：

应为多

2．如果一个光学系统的初级球差等于焦深 （），则少？ 解：

，采用冕牌玻璃

，

3． 设计一双胶合消色差望远物镜， K9（

，

），若正透镜半径

面的曲率半径。

）和火石玻璃F2（

，求：正负透镜的焦距及三个球

解：

4．指出图6-17中

解：

第十一章 习题及答案

１。双缝间距为１mm，离观察屏１m，用钠灯做光源，它发出两种波长的单色光 =589.0nm和?2=589.6nm，问两种单色光的第10级这条纹之间的间距是多少？

?1

??解：由杨氏双缝干涉公式，亮条纹时：

m?D （m=0, ?1, ?2···） dm=10时，

10?589?10?6?1000x1??5.89nm1，

10?589.6?10?6?1000x2??5.896nm ?x?x2?x1?6?m

1２。在杨氏实验中，两小孔距离为1mm，观察屏离小孔的距离为50cm，当用一片折射率1.58的透明薄片帖住其中一个小孔时发现屏上的条纹系统移动了0.5cm，试决定试件厚度。

S1 r2 D n??l?r1?r2?x=5mm ?d?r?D????x??2?2122S2 r1 ?L (r2?r1)(r2?r1)??d??d????x?????x??d?2?x?2??2?22?d?r22?D2????x??2??r2?r1?2?x?d1?5??10?2mmr1?r25002 ,

(1.58?1)?l?10?2mm??l?1.724?10?2mm

3.一个长30mm的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了２５个条纹，已知照明光波波长?=656.28nm,空气折射率为n0?1.000276。试求注入气室内气体的折射率。

?l(n?n0)?25?S1 S S2 r1 x1 r2 25?656.28?10?6n?n0? 30n?1.000276?0.0005469?1.0008229

４。垂直入射的平面波通过折射率为n的玻璃板，透射光经透镜会聚到焦点上。玻璃板的厚度沿着C点且垂直于图面的直线发生光波波长量级的突变d,问d为多少时焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。

解：将通过玻璃板左右两部分的光强设为I0,当

C 没有突变d时，

??0,I(p)?I0?I0?2I0?I0?ck?o?4I0s

当有突变d时?'?(n?1)d

I'(p)?I0?I0?2I0I0cosk?'?2I0?2I0cosk?'?I'(p)?2?1I(p)?cosk?'?02?d?(n?1)d?m???2,(m?0,?1,?2?)

m1?1?)?(m?)n?1242(n?1)2(?６。若光波的波长为?，波长宽度为??，相应的频率和频率宽度记为?和??，证明：

???????，对于?＝632.8nm氦氖激光，波

长宽度???2?10?8nm，求频率宽度和相干

长度。 解：

??????CT?C/D,???C????2?????C?????????????????????

?当?＝632.8nm时

3?108?109????4.74?1014Hz?632.8 ?8????2?10?????4.74?1014??1.5?104Hz??632.8c?2(632.8)2?20.02(km) 相干长度 ?max???2?10?8７。直径为0.1mm的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm，双孔必须与灯相距多远？

bc ? d

? d??l ?6b?d0.1?1?10?l?c??182mm?550?10?9?bc????,bc?

8。在等倾干涉实验中，若照明光波的波长

??600nm，平板的厚度

h=2mm，折射率n=1.5，其下表面涂高折

射率介质（n>1.5），问（1）在反射光方向观察到的贺条纹中心是暗还是亮？（2）由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为20cm） （3）第10个亮环处的条纹间距是多少？

解：（1）因为平板下表面有高折射率膜，所以Δ?2nh?cos?2

当cos?2?1时，中心?＝2?1.5?2＝6mm? 6mm6?10－644m0???＝1?10 ?应为亮条纹，级次为10?600nm600

（2） ?1N?1n?1.5?600oN?1?q?q?1＝0.067(rad)?3.843n'h2?106 RN?20?0.067?13.4（mm)n?1.5?600??0.00336(rad) ?R10＝0.67(mm)2n'2?1h2?0.067?2?106

(3) ???1＝注意点：（1）平板的下表面镀高折射率介质

光疏～光密 有半波损失

光疏～光密 也有半波损失 光程差?＝2nhcos?2

(2) 0?q?1

当中心是亮纹时q=1

当中心是暗纹时q=0.5

其它情况时为一个

分数

9。用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环，且中心是暗斑。然后移动反射镜M1，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20个环，此时视场内只有10个暗环，试求（1）M1移动前中心暗斑的干涉级次（设干涉仪分光板G1不镀膜）;

（2）M1移动后第5个暗环的角半径。 解：

(1)在M1镜移动前 ?1N? 在M1镜移动后 ?1N’?又??1N??1'N得 ?h?N?1n?n’h11n?n’h2N1?1?q ， N1＝20.5 ， q?0.5N2?1?q ， N2?10.5 ， q?0.5h120?hh1?h210? ?? h210h2h210??20?＝10? 解得h1?20?,h2?10?22????2nh1?(2) ?1N?m0??2?20?＋＝40.5? ?m0?40.522

1n???N?1?q5.5?1?0.5?5?0.707(rad)n'h120???本题分析：1。视场中看到的不是全部条纹，视场有限 变

3。条纹的级次问题：

亮条纹均为整数级次，暗条纹均与之相差0.5，公式中以亮条纹记之

11.用等厚条纹测量玻璃楔板的楔角时,在长达5cm的范围内共有

15个亮纹,玻璃楔板的折射率n=1.52,所用光波波长为600nm,求

?h? ?

e

2。两个变化过程中，不变量是视场大小，即角半径不

?楔角.

l50?　 (mm) N14?/2n600?14????5.6?10?5(rad) e2?1.52?50注意:5cm范围内有15个条纹5 e? 15个亮条纹相当于14个e14解:e?2n

r212.图示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环.证明R?N?,N和r

分别表示第N个暗纹和对应的暗纹半径. ?为照明光波波长,R为球面曲率半径.

C R-h R h r 证明:由几何关系知,

r2?R2?(R?h)2?2Rh?h2r2略去h得 h? (1)2R2又?2h??2?(2N?1)?2

r2h?N? 代入(1)式得R?2N??

14.长度为10厘米的柱面透镜一端与平面玻璃相接触,另一端与平面玻璃相隔0.1mm,透镜的曲率半径为1m.问:(1)在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样0?(2)在透镜长度方向及与之垂直的方向上,由接触点向外计算,第N个暗条纹到接触点的距离是多少?设照明光波波长为500nm.

h |y| z 0,x/1000 z

R R-y y y 0.1mm x 100mm

解:(1)斜率k?0.111? y?kx?x 0?x?100mm10010001000z22222 z?R?(R?y)?2R|y|?|y| |y|?2R1z2xz2 h?x????常数---(1)10002R10002000?(2N?1) 2h?N?? h?N?代入(1)式得2222xz2z2 N?(?) 解得x?500N???100020002 x?500N ?500(?m)?0.25N(mm)

(2) ??2h????15.假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为?1和?2的两个单色光波,

?2??1???,

且?????,这样当平面镜M1移动时,干涉条纹呈周期性地消失和再1现,从而使条纹可见度作周期性变化.(1)试求条纹可见度随光程差的变化规律;(2)相继两次条纹消失时,平面镜M1移动的距离

?h;(3)对于钠灯,设??589.0nm,??589.6nm均为单色光,求?h值.

122?解:?的干涉光强 I'?I?I?2IIcosk??I?I?2IIcos2h11121211212?12? ?的干涉光强 I'?I?I?2IIcosk??I?I?2IIcos2h22121221212?2设A?I?I B?2II 12122?2?I?I'?I'?2A?B(cos??cos?)12??12??1?2?2??1?2?2?? ???? ?2A?B?2cos???cos?????2?2????1?2???1?2???????????? ?2A?B?2cos12???cos12??????2?2???2????? ?2A?B?coscos???2?????B???B?? ?2A??1?cos??cos?? ?k?cos??22AA????

???2(2)条纹k最大满足关系 2???m? ???m???589.6?589?0.289(mm)2?(589.6?589)???2 ?????m 令?m?1 且???2?h 得?h?12??2??

(3) ?h?16.用泰曼干涉仪测量气体折射率.D1和D2是两个长度为10cm的真空气室,端面分别与光束I和II垂直.在观察到单色光照明

?=589.3nm

产生的干涉条纹后,缓慢向气室D2充氧气,最后发现

条纹 移动了92个,(1)计算氧气的折射率(2)若测量条纹精度为1/10条纹,示折射率的测量精度.

?589.3589.3?10?9?92-n)h?N? (n-1)?10cm?92?nm ?n?1??1.000271氧氧氧?2222?10?10-91589.31?589.3?10(2) ?h?10cm??nm ?n??2.9465?10?710210?2?10?10?2解:(1) ???(n

17.红宝石激光棒两端面平等差为10\,将其置于泰曼干涉仪的一支光路中,光波的波长为632.8nm,棒放入前,仪器调整为无干涉条纹,问应该看到间距多大的条纹?设红宝石棒的折射率n=1.76

解:??10\?10???4.848?10?5rad60?60180?632.8 ?h???416.32nm2(n?1)2??1.76?1??h e??8.58nm

?? e ?h??2n

18.将一个波长稍小于600nm的光波与一个波长为600nm的光波在F-P干涉仪上比较,当F-P干涉仪两镜面间距改变1.5cm时,两光波的条纹就重合一次,试求未知光波的波长.

2?解:?1对应的条纹组为?2h?cos??2??2m1? 2h?cos??m? (为胸在金属内表面反射时引起的相位差)4? 接近中心处时cos??1 即?h?2??2m1???4? 同理对?2有 h?2??2m2??2?2h???2h??2h??? ?m?m2?m1????????????????????1??2?122?? ??m???h 当??m?1时 ?h ?1.5mm 代入上式得?1?2?1?2(600)2 ??????0.12nm ??600-0.12?599.88nm2??2?1.5?106关键是理解:每隔1.5mm重叠一次,是由于跃级重叠造成的.超过

了自由光谱区范围后,就会发生跃级重叠现象.

常见错误:未导出变化量与级次变化的关系,直接将h代1.5mm就

是错误的.

19.F-P标准具的间隔为2.5mm,问对于500nm的光,条纹系中心的干涉级是是多少?如果照明光波包含波长500nm和稍小于500的两种光波,它们的环条纹距离为1/100条纹间距,问未知光波的波长是多少?

2?2.5?10-35?10-3解:2nh?m? m???10000500?10-95?10-7?e?21500?10?9?500?4 ???????5?10nm

e2h1002?2.5?10?3 ?2?499.9995nm

20.F-P标准具的间隔为0.25mm,它产生的?1谱线的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是2mm和3.8mm,

?2谱系的干涉环

系中第2环和第5环的半径分别是2.1mm和3.85mm.两谱线的平均波长为500nm,求两谱线的波长差.

解:对于多光束干涉,考虑透射光It?1I2?i1?Fsin2 当??2m?(m?0,?1,?2)时,对应亮条纹 即??2nh?cos????m? 时对应亮条纹21n?N?1?qn'h?n?1?12'?f'?1?q?f'?2mm (1)??h 对于?1有???'?f'?n?14?q?f'?3.8mm(2)15?h?1?q(1)2: ? q?0.1494(2)3.84?q ??1N?(1)式可写成 1.072n?1?f'?2 (3)h?n?2?12'?1?q'?f'?2.1mm (4)??h对于?2有???''?n?24?q'?f'?3.85mm(5)15?h?1?q'(4)2.1: ? q'?0.2706(5)4?q'3.85(4)式可写成 1.1272n?2?f'?2.1 (6)h

?(3)1.072?12: ? 整理得1?1.002845(6)1.1272?22.1?2???2?1?500.71024nm又知 1?500nm 联立得????499.28976nm2?2 ???1.42nm21.F-P标准具两镜面的间隔为1cm,在其两侧各放一个焦距为15cm的准直透镜L1和会聚透镜L2.直径为1cm的光源(中心在光轴上)置于L1的焦平面上,光源为波长589.3nm的单色光;空气

透明薄片

折射率为1.(1)计算L2焦点处的干涉级次,在L2的焦面上能看到多少个亮条纹?其中半径最大条纹的干涉级和半径是多少?(2)若将一片折射率为1.5,厚为0.5mm的透明薄片插入其间至一半位1cm L1 L2 置,干涉环条纹应该怎么变化?

2?10?106解:?中心?2nh??m0? m0?＋0.5??0.5?33939 中心为亮斑2?589.3b/20.511 ?＝??rad?1.90986o Rmax???f'??15?5mmf'153030?2nh1n?1110?106 ?1N?N?1?q? q?1 N?1?q??4.3 N＝18

n'h3030589.3b/20.51? ?1N???rad?1.90986o ?边缘＝2nh?cos???m? f'153022nh?cos?2?10?106cos? m??0.5??0.5?33920?589.3 m1?33938 m1?(N?1)?33920 ? N＝1925。有一干涉滤光片间隔层的厚度为2?10?4mm，折射率n=1.5。求（1）正入射时滤光片在可见区内的中心波长;（2）??0.9时透射带的波长半宽度;（3）倾斜入射时，入射角分别为10o和30o时的透射光波长。

2nh2?1.5?2?10?4?106600解（1）正入射时 ?c???nm m?1时?c?600nmmmm?21??6002 (2) ??＝???20nm2?nh?2??1.5?2?10?4?106?0.9sin?1 （3） sin?1?n?sin?2 sin?2?n o 入射角为10时折射角为?2?6.65o 入射角为30o时折射角为?2＝19.47o 由公式2nhcos?2?m?得2?1.5?2?2?10?4cos6.65o595.96325o ?10角入射时?c?? m?1时?c?595.96325nmmm600cos19.47o565.68969o 30角入射时?c?? m?1时?c?565.68969nmmm

注意:光程差公式中的?2是折射角,已知入射角应变为折射角.

工程光学 第十二章习题解答

1． 波长??500nm的单色光垂直入射到边长为3cm的方孔，在光轴（它通过

30mm孔中心并垂直方孔平面）附近离孔z处观察衍射，试求出夫琅和费衍

21射区的大致范围。

30mm1解： ?夫琅和费衍射应满足条件

(x12?y12)maxk???2Z1

k(x12?y12)max(x12?y12)maxa29?107Z1????(cm)?900(m) 2??2?2?500?2?12． 波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单逢上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。 解：

?sin??I?I0?????2 ??kalka?y????asi?n 22f?（1）????a?500?0.02(rad)

0.025?106 d?10(rad)

（2）亮纹方程为tg???。 满足此方程的第一次极大?1?1.43? 第二次极大?2?2.459?

kla? ????a?sin?x

2?sin?x????a

500?1.43??0.0286(rad) x1?14.3?mm?

??0.025?106500?2.459??0.04918(rad) x1?24.59?mm? 二级次极大?x?sin?x?6??0.025?10一级次极大?x?sin?x?sin???sin1.43??（3）I1????????0.0472

I0????1.43??22

I2?sin???sin2.459?????????0.01648 I0????2.459??2210．若望远镜能分辨角距离为3?10?7rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？

1.22?解：?0?D

1.22?550?10?9D??2.24(m)

3?10?7

??60????60???969? ?760?60?180?10?311． 若要使照相机感光胶片能分辨2?m线距，（1）感光胶片的分辨率至少是没毫米多少线；（2）照相机镜头的相对孔径Df至少是多大？（设光波波长550nm） 解：N?

1?500(线mm) ?32?10D?N?0.3355 f?149012． 一台显微镜的数值孔径为0。85，问（1）它用于波长??400nm时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45,分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应该设计成多大？（设人眼的最小分辨率是1?） 解：（1）??

0.61?0.61?400??0.287(?m) NA0.850.61?0.61?400??0.168(?m) （2）???NA1.45?1.45?1.706 ???0.85

（3）设人眼在250mm明视距离初观察 y??250?160??180?72.72(?m) ??

y?72.72??430 y0.168????430

13． 在双逢夫琅和费实验中，所用的光波波长??632.8nm，透镜焦距f?50cm,

观察到两相临亮条纹间的距离e?1.5mm，并且第4级亮纹缺级。试求：（1）双逢的逢距和逢宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。 解：(1) ?d?sin??m?

xf(m?0,?1,?2???) m?fd 又?sin?? ?x?

?f

e??df

632.8?10?6?d???500?0.21(mm)

e1.5??1?4代入得 n?1? ??1?n?(d 将?a)

a?da1?0.053(mm)?? 4d4si?n1? （2）当m=1时 当m=2时 当m=3时

?d2?si?n2?

d3?si?n3?

d

代入单缝衍射公式

I?N2I0(sin??)2

?n ???asi?? ? 当m=1时

????1sin2?a??sin2(?a)I1??d??d?2?0.81 ?2?a2?2I0????()()?a??d4??d?

当m=2时

?2?a?si2n??I2d???1?0.40 5?22?2I0?2?a?()??4?d??3?sin2?I3?4?2I0?3?????4?????0.09

当m=3时

15． 一块光栅的宽度为10cm ,每毫米内有500条逢，光栅后面放置的透镜焦距为500nm。问：（1）它产生的波长??632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光线是波长为632.8nm和波长与之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？ 解：d?1?2?10?3(mm) 500 N?100?500?5?104

由光栅方程

sin?1?dsin??m? 知

，cos?1?0.9486

?d2?sin?2??0.6328

d?632.8?0.3164 ?362?10?10，cos?2?0.774

这里的?1，?2确定了谱线的位置 （1）??? ??1???2??Ndcos?（此公式即为半角公式）

?632.8?6.67?10?6(rad) 4?365?10?2?10?10?0.9486632.8?6?8.17?10(rad) 435?10?2?10?0.774?Ndcos?1?Ndcos?2? dl1?f??1?3.34?10?3(mm) dl2?f??2?4.08?10?3(mm) （2）由公式 可得

dlm?f?d?dcos?（此公式为线色散公式）

dl1?d??f?11?0.5?10?6?500??0.131(mm) ?3dcos?12?10?0.94860?1?212?1??1 dl2?d??f?22?0.5?10?6?500??0.32(mm) ?3dcos?22?10?0.77416． 设计一块光栅，要求：（1）使波长??600nm的第二级谱线的衍射角

??30?，（2）色散尽可能大，（3）第三级谱线缺级，（4）在波长??600nm的第二级谱线处能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？ 解：设光栅参数 逢宽a ，间隔为d 由光栅方程

d?dsi?n?m?

m?2?600nm??2400nm

1sin?2d?md?由于? 若使

d?dcos?d??d?2400nm

?m??d?a??

?n????m?尽可能大，则d应该尽可能小

?a??1d?800nm 3?600?15000 2?0.02?mNdsin??N??m???2400??4 600?

能看到5条谱线

19． 有多逢衍射屏如图所示，逢数为2N，逢宽为a，逢间不透明部分的宽度依次为a和3a。试求正入射情况下，这一衍射的夫琅和费衍射强度分布公式。 解：将多逢图案看成两组各为N条，相距d=6a

2a3a??d?sin??m?

6a22I(p)?I?sin???sinN2???0???????sin?? ???2??asi?n 其中??2??dsin??2?12???6a?sin???a?sin??12? 22代入得I(p)?I??sin???sin6N??0??????sin6???

两组光强分布相差的光程差???2asin? ???4??asin?

I?I1?I2?2I1I2?cosk??

?2I(p)?1?coks????4I(p)?co2s??2

?4I(p)?co2s??2???asi?n??? 22将??kasin?2????asin? 及

I(p)?I?sin???0??????sin6N???sin6???

代入上式

22I?4I?sin???sin6N??20???????sin6???cos2?

[解法I] 按照最初的多逢衍射关系推导

设最边上一个单逢的夫琅和费衍射图样是：

E~(p)?A??sin???

d4a???2?d1?2a 其中??kma2???a?sin?

d1对应的光程差为： ?1?d1sin?

?4? ?2?n??8? d2对应的光程差为： ?2?d2sin? ?2?4a?si??2?n? ?1?2a?si?~?sin??E(p)?A???1?expi(12?)?expi(24?)????expi(N?1)12?? ????expi(4?)?1?expi(12?)?expi(24?)?????expi(N?1)12???

1?exp[iN(12?)]?sin?? ?A???1?expi(4?)??1?expi(12?)???expiN(12?)??iN(12?)iN(12?)??exp?exp?222??

?i(12?)i(12?)??expi6??exp?exp?22??

?sin???A???1?expi(4?)?????

expi(6N?)sin6N??sin???A??expi(2?)?exp?i(2?)?expi(2?)??expi(6?)sin6????sin6N??sin???2A?expi(6N?4)? ?cos2?sin6????22

?sin???sin6N??I?I0??cos2??????????

[解法II] N组双逢衍射光强的叠加 设

????d?si?n?2a?si?n

?a?sin?? d?2a 4a2? ??k??2a?sin??4?

2a?

~?sin??E(p)?A???1?expi??

???i??i?i???sin???A??exp?exp??exp?

2?22????

?i??sin???2A??cosexp22???

?sin???2A??cos2?expi2?

???

~N组E(p)相叠加 d=6a ?2?6asin? ?2?12?

~~E(p)?E(p)?1?expi(12?)?expi(24?)????expi(N?1)12?? ?

iN(12?)sin6N?~1?expiN(12?)~2?E(p)?E(p)?i(12?)sin6?1?expi(12?)exp2expsin6N??sin???2A?cos2?expi(6N?4)? ?sin6????22

?sin???sin6N??I?I0??cos2??????????

20． 一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为77?12?。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长??500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围多大？（3）试同空气间隔为1cm，精细度为25的法布里?珀罗标准具的分辨本领和光谱范围做一比较。

N?260?300?7.8?104??解：?光栅常数 1?3d??3.333?10(mm)?300?（1） 由2dsin?m?2dsin??m?解得

?2sin77?12???13 ?6300?500?10A?m?N?13?7.8?104?1.014?106

（2）????m?500nm?38.46(nm) 13（3）2nh?m?

2?10?106m??4?104

500A?0.97ms?0.97?4?104?25?9.7?105

(??)S.R??22h?500?500?0.0125(nm)

2?1?107结论：此闪耀光栅的分辨率略高于F-P标准量，但其自由光谱区范围远大于F-P标准量。

21． 一透射式阶梯光栅由20块折射率相等、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，板厚t=1cm，玻璃折射率n=1.5，阶梯高度d=0.1cm。以波长??500nm的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级数；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。 解：（１）??(n?1)t?dsin??m? （＊） 将n?1.5 入上式得：

m?104

t?1cm d?0.1cmt?1cm? ??0 代

d?0.1cm （２）对（＊）式两边进行微分：

?d??m?d? d?co?s

d?mm104?2rad????10mmd?dcos?d0.1?107A???

??mN?2?105 ??23． 在宽度为b的狭逢上放一折射率为n、折射棱角为?的小光楔，由平面单色波垂直照射，求夫琅和费衍射图样的光强分布及中央零级极大和极小的方向。

解：将该光楔分成N个部分，近似看成是一个由N条逢构成的阶梯

bb光栅。则逢宽为N，间隔为N。

N??2sin???sin???2由多逢衍射公式：I?I0????????sin??2??2

b?b 其中I0为一个N宽的逢产生的最大光强值

k ??la?b???si?n 2?N ［a为逢宽，?为衍射角］

??2???2???(n?1)????bb? ?si?n?NN?

?2?b? ??(n?1)??si?n?N代

2入上式

nn得：

?b??s?is?n?s?i?N?I?I0??b??s??is????N????i?(n?1)n??s???i?nb??? b???1)??s???i?ni?(n?n??N? 当N??时

??s????2?b?si?n?0 ?N

?b?in?si?n??N??1 ?b?si?n??N?

sin?b?(n?1)??si?n???b?(n?1)??si?n? ?N?N

??s2I?NI0??????inb?(n?1)??si?n??? ???b?(n?1)??si?n??2 单逢衍射发生了平移。

第十四章习题答案

1．一束自然光以30o角入射到玻璃和空气界面

on1=1.54 30 n2?1 ?2

玻璃的折射率n=1.54，试计算： （1）反射光的偏振度

（2）玻璃空气界面的布儒斯特角

（3）以布儒斯特角入射时透射光的振幅。 解：（1）∵n1sin?1=n2sin?2

??arcsin0.77?50.35?

A1'rrs?A1ssin?2=1.54x

12=0.7

=-

0.3478sin(?1??2)＝0.9858＝0.352792

sin(?1??2)设入射光强为I0?Ios?Iop

A1's2 ?I?()Ios=0.12446Ios=0.06223Ios=0.06223Io

A1s's rp?A1'pA1p=

tg(?1??2)0.3709=-5.8811tg(?1??2)????2=-0.063066

' Ip=

?A1'p??A1p?Iop=3.9773x

10?3Iop=1.98866x

10?3Io

0.0602413?94%

0.06421871(2）tg?p?1.54p=

??p?32.9977。?

33o＝?1 sin?2?1.54?sin33o

??2?57o

(3)ts?2cos?1sin?2?1.4067

sin(?1??2)2cos33osin57o=

sin90ocos24o2sin?2cos?1 tp?sin(?1??2)cos(?1??2)=1.54

Imax?Imin1.542?1.412p=??9% Imax?Imin1.542?1.4122.自然光以?B入射到10片玻璃片叠成的玻璃堆上，求透射的偏

振度。 解:ts?

sin?B?nsin?2 tg?B?n ?B?56.3o ?2?33.7o

2cos?1sin?2sin(?1??2) ① tp?2sin?2cos?1 ②

sin(?1??2)cos(?1??2)在光线入射到上表面上时 ?1??B?56.3o ?2?33.7o 代入①②式得

2cos56.3osin33.72sin33.7ots??0.6157, tp?osin90sin90o=0.6669

光线射到下表面时 ?1?33.7o ?2?56.3o

2sin56.3ocos33.7o2cos33.7osin56.3o?1.4994 ts??1.384 tp?oocos22.6cos22.6透过一块玻璃的系数：ts'?0.8521 t'p?0.9999499 ?B 透过10块玻璃后的系数：ts''?0.20179 t'p'?0.9994987 p?'2t'p?ts''2t?t''2p''2s?0.9989977?0.0407?92%

0.9989977?0.0407?2 n=1.5

3.已知n1?2.38，n2?1.38 ??632.8nm 求n3和膜层厚度。 解：（1）n3sin45o?n1sin?p ① tg?p?n2n1n3n1 2.38 1.38 2.38 n2 ②

1.382.38sin30.1oo)?30.1 n3??1.688 由②式得 ?p?arctg(o2.38sin45（2）膜层厚度应满足干涉加强条件 即：

??2nhcos?2??2?m? （m为整数）

对于n2?1.38的膜层 有：n1sin?p?n2sin?2 代入数得

?2?59.87o

1?2?2ncos?20.5?632.82?1.38cos59.87oh2＝

＝228.4(nm)

对于n1?2.38的膜层

11?632.8?22h1???76.83(nm) 2ncos?p2?2.38?cos30.1o4.线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光蕨量的方向与晶体主截面成（1）30o(2)45o(3)60o的夹角 求o光和e光从晶体透射出来后的强度比？ 解： 设光矢量方向与晶体主截面成?角，入射

光轴 光振幅为A，且e光振幅

为Acos?,o光振幅为Asin?.在晶体内部 o光并不分开.

由公式

ts?2, h?1ts?tptp?2,h?1IoAsin?2?()?tg2?IeAcos?

①当?＝30o， ②当??45o，

IoIe＝tg230o＝0.3333

Io?tg245o＝1 Ie

③当??60o，Io?3

Ie10.解：设s1的光强为I1，s2的光强为I2。设从W棱镜射出后平行分量所占比例为?

垂直分量所占比例为1－?. 从s1出射的光强为?I1,从s2射出的光强为（1－?）I2. 它们沿检偏器的投影 ?I1自然光入射时?

12.已知：?o?3.6/cm ?e?0.8/cm 自然光入射 p=98% 求d 解：自然光入射，则入射光中o光与e光强度相等，设为I o光出射光强 Io?Ie?3.6d e光强度 Ie?Ie?0.8d

?0.8d?e?3.6dIe?Ioep???0.98 Ie?Ioe?0.8d?e?3.6dcos?=（1－?）I2.sin? 。 图面内 检偏器 ? ?0.5，

Itg??1I2垂直于图面

整理得：0.02e?0.8d?1.98e?3.6d e2.8d?99 d=1.64cm

除真空外，一切介质对光均有吸收作用。在均匀介质中，可用朗佰特定律来描述光的吸收定律。朗佰特定律的数学表达式是：

I?Ioe?kx

式中 Io是入射光强 I－出射光强 x是介质

厚度 k为吸收系数

14.已知：?＝589.3nm d=1.618?10?2nm no=1.54424

ne=1.55335

光轴沿x轴方向

11|1.54424?1.55335|?1.618?10?2?106? 589.34解：

???1?|no?ne|d?1??42 ??2?? 玻片的琼斯矩阵 G＝??

0,i???1,0??1?①入射光与x轴成45oE45?1??

21o???1,0??1??1? E出?GE45???1???1?? 左旋圆偏振

2?i??0,i?2?1?o光 ②E?45?o12?1???1? ???1,0??1??1? E出?GE?45???1???1?? 右旋圆偏振光

2??i??0,i?2??1?o③E30o?3??cos30???2? ?????osin30?????1???2??o

?3??3??1,0??2??2?1?3?E出????????????0,i??1??1i?2?i???2????2?? 左旋椭圆偏

振光

15.设计一个产生椭圆偏振光的装置，使椭圆的长轴方向在竖直

y

?

方向，且长短轴之比为2：1。详细说明各元件的位置与方位。 解：设起偏器与x轴的夹角为?

??Ax?Acos????Ay?Asin?Ay?2Ax,sin??2cos?tg??2,??63.43o再通过波片，使Ax,Ay的位相差相差42

??16.通过检偏器观察一束椭圆偏振光，其强度随着检偏器的旋转而改变。当检偏器在某一位置时，强度为极小，此时在检偏器前插一块片，转动片使它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转过20o就完全消光。试问（1）该椭圆偏振光是右旋还是左旋？（2）椭圆的长短轴之比？

解：设波片的快轴在x轴方向 70o o?4?4?4 20 根据题意：椭圆偏光的短轴在x轴上 的琼斯矩阵G???

0,i???1,0??A1?设E???i??，快轴在

?A2e???x方向上波片

?4

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