历年数学一试题及答案

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.

(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.

x?1 (3)与两直线 y??1?t

z?2?t 及

x?1y?2z?1都平行且过原点的平面方程为_____________. ??111L2(4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分?(2xy?2y)dx?(x?4x)dy= _____________. ?(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

x1t2二、(本题满分8分)求正的常数a与b,使等式limdt?1成立.

2x?0bx?sinx?0a?t三、(本题满分7分) (1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求

?u?v,. ?x?x?301???(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A?110,求矩阵B. ????014??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的

字母填在题后的括号内)

f(x)?f(a)(1)设lim??1,则在x?a处 2x?a(x?a)(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大值 (C)f(x)取得极小值 (D)f(x)的导数不存在

(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值

?n (3)设常数k?0,则级数?(?1)nk?n2n?1(A)发散

(C)条件收敛

(A)依赖于s和t (C)依赖于t、x,不依赖于s

(B)依赖于s、t和x (D)依赖于s,不依赖于t

st0 (B)绝对收敛 (D)散敛性与k的取值有关

(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a

1(B)

a(D)an

(C)an?1

六、（本题满分10分）

?求幂级数?1nxn?1的收敛域，并求其和函数.

2n?1n?七、（本题满分10分） 求曲面积分I?x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,

?????z?y?1 1?y?3?其中?是由曲线f(x)??绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.

2x?0??八、（本题满分10分） 设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.

九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组

x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件

A至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

1?x2?2x?1(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?e,则X的数学期望为____________,X的方差为

?____________. 十一、（本题满分6分）

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

?yy?010?x?1e,fY(y)? , 求ZfX(x)?

y?0其它00?2X?Y的概率密度函数

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(x?3)n(1)求幂级数?的收敛域. nn3n?1?(2)设f(x)?ex,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域.

333(3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分I????xdydz?ydzdx?zdxdy.

?2二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)

1(1)若f(t)?limt(1?)2tx,则f?(t)= _____________.

x??x(2)设f(x)连续且?x3?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.

2x2(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)? 收敛于_____________.

(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?β[γ,2γ,3γ,4

?1?x?00?x?1,则的傅里叶(Fourier)级数在x?1处

其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式],A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)可导且f?(x0)?(A)与?x等价的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小

1,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是 2 (B)与?x同阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小

(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处 (A)取得极大值

(C)某邻域内单调增加

(B)取得极小值 (D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域?1:x2?y2?z2?R2,z?0,?2:x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0,则 (A)(C)

???xdv?4???dv

?1?2

(B)(D)

???ydv?4???ydv

?1?2?1?2

???zdv?4???zdv

?1?2?n?1???xyzdv?4???xyzdv

(4)设幂级数?an(x?1)n在x??1处收敛,则此级数在x?2处 (A)条件收敛 (C)发散

(B)绝对收敛

(D)收敛性不能确定

(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使k1α1?k2α2???ksαs?0 (B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关

(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

?u?uxy四、(本题满分6分)设u?yf()?xg(),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x2?y.

?x?x?yyx五、(本题满分8分) 设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线

22y?x2?x?1在该点处的切线重合,求函数y?y(x).

六、（本题满分9分） 设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为

k(k?0为常数,r为A质点与M之间的距2r离),质点M沿直线y?2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.

?100??100?????七、（本题满分6分）已知AP?BP,其中B?000,P?2?10,求A,A5. ???????00?1???211???200??200?????八、（本题满分8分）已知矩阵A?001与B?0y0相似. ???????01x???00?1??(1)求x与y. (2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.

九、（本题满分9分） 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在唯一的?,使曲线y?f(x)与两直线

y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的3倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于现的概率是____________.

19,则事件A在一次试验中出276(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于”的概率为____________.

5(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知?(x)?则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)??x??1?u2edu,?(2.5)?0.9938, 2?213Y?1?X的概率密度函数fY(y). 求随机变量,2?(1?x)1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f?(3)?2,则limh?0f(3?h)?f(3)= _____________.

2h(2)设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则f(x)=_____________.

L(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分?(x2?y2)ds=_____________. (4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.

?300??100?????(5)设矩阵A?140,I?010,则矩阵(A?2I)?1=_____________. ???????003???001??二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的

字母填在题后的括号内)

(1)当x?0时,曲线y?xsin1 x(A)有且仅有水平渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线

(B)有且仅有铅直渐近线

(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线

(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是 (A)(1,?1,2) (C)(1,1,2)

(B)(?1,1,2) (D)(?1,?1,2)

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A)c1y1?c2y2?y3

?

(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3

(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3 (D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3

(4)设函数f(x)?x2,0?x?1,而S(x)??bnsinn?x,???x???,其中

n?1bn?2?f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,?,则S(?1)等于

102(A)?1 2

(B)?1 41(C)

41(D)

2(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(B)必有两列元素对应成比例 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合

?2z(1)设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求.

?x?y(2)设曲线积分?xy2dx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算

c(1,1)(0,0)?xy2dx?y?(x)dy的值.

(3)计算三重积分

???(x?z)dv,其中?是由曲面z??x2?y2与z?1?x2?y2所围成的区域.

四、(本题满分6分)将函数f(x)?arctan五、(本题满分7分)设f(x)?sinx?1?x展为x的幂级数. 1?x?x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

?x??1?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根. 0e七、（本题满分6分） 问?为何值时,线性方程组

六、（本题满分7分）证明方程lnx?x1?x3??

4x1?x2?2x3???2

6x1?x2?4x3?2??3 有解,并求出解的一般形式.

八、（本题满分8分） 假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明

A1(1)为A?1的特征值. (2)为A的伴随矩阵A*的特征值.

??九、（本题满分9分） 设半径为R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面内部的那部分的面积最大?

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件A?B的概率P(A?B)=____________.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2??x?1?0有实根的概率是____________.

十一、（本题满分6分） 设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) x??t?2 (1)过点M(1,2?1)且与直线 y?3t?4垂直的平面方程是_____________. z?t?1 (2)设a为非零常数,则lim(x??x?ax)=_____________. x?a

(3)设函数f(x)? 10

x?1x?1,则f[f(x)]=_____________.

(4)积分

?20dx?e?ydy的值等于_____________.

x22(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),

则该向量组的秩是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)是连续函数,且F(x)??(A)?e?xf(e?x)?f(x) (C)e?xf(e?x)?f(x)

e?xxf(t)dt,则F?(x)等于

(B)?e?xf(e?x)?f(x) (D)e?xf(e?x)?f(x)

(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是 (A)n![f(x)]n?1 (C)[f(x)]2n

?

(B)n[f(x)]n?1 (D)n![f(x)]2n

)1 (3)设a为常数,则级数?[sin(na?]2nnn?1(A)绝对收敛 (C)发散

(B)条件收敛 (D)收敛性与a的取值有关

(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,lim(A)不可导

f(x)?2,则在点x?0处f(x)

x?01?cosx(B)可导,且f?(0)?0

(D)取得极小值

(C)取得极大值

(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、

k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是

β1?β2 2β?β2(C)k1α1?k2(β1?β2)?1

2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

1ln(1?x)(1)求?dx.

0(2?x)2(A)k1α1?k2(α1?α2)?β1?β2 2β?β2(D)k1α1?k2(β1?β2)?1

2(B)k1α1?k2(α1?α2)?

?2z(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求.

?x?y(3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).

四、(本题满分6分) 求幂级数?(2n?1)xn的收敛域,并求其和函数.

n?0?五、(本题满分8分) 求曲面积分I?yzdzdx?2dxdy 其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.

??S六、（本题满分7分） 设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0.

七、（本题满分6分） 设四阶矩阵

?1?100??2?01?10??0?,C??B???001?1??0????0001??0134?213?? 且矩阵A满足关系式A(E?C?1B)?C??E 021??002?其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.

22八、（本题满分8分） 求一个正交变换化二次型f?x12?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.

力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.求变力F对质点P所作的功.

2?九、（本题满分8分）

质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变

???

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

1(1)已知随机变量X的概率密度函数f(x)?e?x,???x???

2则X的概率分布函数F(x)=____________.

(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率

P(AB)=____________.

2ke?2(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即P{X?k}?,k?0,1,2,?,则随机变量

k!Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.

十一、（本题满分6分） 设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z?2X?1的方差D(Z).

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

x?1?t2d2y(1)设 ,则2=_____________.

dxy?cost(2)由方程xyz?

x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=_____________.

(3)已知两条直线的方程是l1:_____________.

x?1y?2z?3x?2y?1z??;l2:??.则过l1且平行于l2的平面方程是10?1211(4)已知当x?0时,(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.

123?5?2(5)设4阶方阵A???0??00?100??,则A的逆阵A?1=_____________. 01?2??011?20二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)曲线y?1?e?x1?e2?x2

2?(A)没有渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (B)仅有水平渐近线

(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)??(A)exln2 (C)ex?ln2

?n?1

?n?1

tf()dt?ln2,则f(x)等于 02 (B)e2xln2 (D)e2x?ln2

?n?1(3)已知级数?(?1)n?1an?2,?a2n?1?5,则级数?an等于 (A)3

(C)8

(B)7 (D)9

(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则

??(xy?cosxsiny)dxdy等于

D(A)2(C)4??cosxsinydxdy

D1

(B)2??xydxdy

D1??(xy?cosxsiny)dxdy

D1(D)0

(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACB?E (C)BAC?E

? (B)CBA?E (D)BCA?E

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求lim(cosx)2. ?x?0

?(2)设n是曲面2x2?3y?z?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u?226x2?8y2?在点P处沿方向nz的方向导数.

(3)

???(x?2?y?z)dv,其中?是由曲线

2y2?2z绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围城的立体. x?0四、(本题满分6分) 过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分

?(1?y)dx?(2x?y)dy的值最小.

L3?五、(本题满分8分) 将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数?12的和.

n?1n六、（本题满分7分）

设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且32f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f?(c)?0.

?31七、（本题满分8分） 已知α1?(1,0,2α,3),2?(1α,13?,3,?5)a,?(α1,?41,及a2?,1),(1β?(1,1,b?3,5). (1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?

(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式.

八、（本题满分6分） 设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1.

九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2的正态分布,且P{2?X?4}?0.3,则P{X?0}=____________. (2)随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为____________.

4十一、（本题满分6分） 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

f(x,y)?

?2e?(x?2y) x?0,y?00 其它

求随机变量Z?X?2Y的分布函数.

1992年全国硕士研究生入学统一考试

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则

dy=_____________. dxM(2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度gradu(3)设f(x)?

?1=_____________.

???x?0,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于_____________.

21?x0?x??(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.

?a1b1?ab21(5)设A??????anb1a1b2a2b1?anb2?a1bn??a2bn??,其中a?0,b?0,(i?1,2,?,n).则矩阵A的秩r(A)=_____________.

ii?????anbn?二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

x2?1x1(1)当x?1时,函数e?1的极限

x?1(A)等于2 (C)为?

?(2)级数?(?1)n(1?cosa)(常数a?0)

nn?1

(B)等于0

(D)不存在但不为?

(A)发散 (C)绝对收敛 (B)条件收敛

(D)收敛性与a有关

(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 (A)只有1条 (C)至少有3条

(B)只有2条 (D)不存在

(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为 (A)0 (C)2

(B)1 (D)3

?1??0?????(5)要使ξ1??0?,ξ2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A为

?2???1?????(A)??212?

(B)??20?1??

011??(C)???102? ??01?1?

?01?1???(D)4?2?2 ????011??三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

?2z(1)求lim. . (2)设z?f(esiny,x?y),其中f具有二阶连续偏导数,求

2x?0?x?y1?1?xex?sinx?1x22(3)设f(x)?1?x2x?0 ,求e?xx?0?31f(x?2)dx.

四、(本题满分6分) 求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解. 五、(本题满分8分) 计算曲面积分

??(x?3222?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球面z?a?x?y的上侧.

六、（本题满分7分） 设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).

????x2y2z2七、（本题满分8分） 在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2?2?2?1上

abc第一卦限的点M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.

八、（本题满分7分） 设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:

(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分） 设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为

??1??1??1??1?????????ξ1??1?,ξ2??2?,ξ3??3?,又向量β??2?.

?1??4??9??3?????????

(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

11(1)已知P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?,则事件

46____________.

A、

B、C全不发生的概率为

(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X?e?2X}=____________. 十一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的概率分布密度

1(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中?(x)?2??x??e?t22dt).

1993年全国硕士研究生入学统一考试

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

x1(1)函数F(x)??(2?)dt(x?0)的单调减少区间为_____________.

1t22(2)由曲线 3x?2y?12绕

z?0_____________.

y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为

(3)设函数f(x)??x?x2(???x??)的傅里叶级数展开式为a0??(ancosnx?bnsinnx),则其中系数b3的值

2n?1为_____________.

(4)设数量场u?lnx2?y2?z2,则div(gradu)=_____________.

(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组AX?0的通解为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)???sinx0sin(t2)dt,g(x)?x3?x4,则当x?0时,f(x)是g(x)的

(B)同价但非等价的无穷小 (D)低价无穷小

(A)等价无穷小 (C)高阶无穷小

(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为 (A)2?cos2?d?

40?

(B)4?4cos2?d?

0??1(C)2?4cos2?d? (D)?4(cos2?)2d?

020x?y?6x?1y?5z?8(3)设有直线l1:与l2: 则l1与l2的夹角为 ??2y?z?31?21?(A)

6(C)

3?

x

(B)

4(D)

2???(4)设曲线积分等于

?[f(t)?e]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)?0,则f(x)Le?x?ex(A)

2ex?e?x(C)?1

2

ex?e?x(B)

2ex?e?x(D)1?

2?123???(5)已知Q?24t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则 ????369??(A)t?6时P的秩必为1

(C)t?6时P的秩必为1 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(B)t?6时P的秩必为2 (D)t?6时P的秩必为2

xex21x(1)求lim(sin?cos). (2)求?dx.

xx??xxe?1(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件y四、(本题满分6分) 计算

x?1?1的特解.

????2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中?是由曲面z??x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的表面外侧.

(?1)n(n2?n?1)五、(本题满分7分) 求级数?的和. n2n?0

六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一个零点. (2)设b?a?e,证明ab?ba.

22七、（本题满分8分） 已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形

22f?y12?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.

八、（本题满分6分） 设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.

九、（本题满分6分）

设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.

(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________. 十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率分布密度为f(x)?

1?xe,???x???. 2(1)求X的数学期望EX和方差DX. (2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?

1994年全国硕士研究生入学统一考试

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)limcot?(x?011?)= _____________. sinxx

(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

?u1x(3)设u?esin,则在点(2,)处的值为_____________.

?x?y?y?x2x2y2(4)设区域D为x?y?R,则??(2?2)dxdy=_____________.

abD22211(5)已知α?[1,2,3],β?[1,,],设A?α?β,其中α?是α的转置,则An=_____________.

23二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

??sinx434(1)设M??2?cosxdx,N??2?(sinx?cosx)dx,P??2?(x2sin3x?cos4x)dx,则有 2?1?x??222?(A)N?P?M

(C)N?M?P (B)M?P?N (D)P?M?N

(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件

?2n

?

n(B)必要条件而非充分条件

(D)既非充分条件又非必要条件

(3)设常数??0,且级数?a收敛,则级数

n?1?(?1)n?1ann??2 (A)发散 (C)绝对收敛 (4)limx?0

2 (B)条件收敛

(D)收敛性与?有关

atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)

?2,其中a2?c2?0,则必有

(B)b??4d (D)a??4c

(A)b?4d (C)a?4c

(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关

x?cos(t2)

(1)设 y?tcos(t2)??t212u1?dyd2y,求、2在t?的值.

2cosududxdx

(2)将函数f(x)?11?x1dxln?arctanx?x展开成x的幂级数. (3)求?. 41?x2sin(2x)?2sinx四、(本题满分6分)

xdydz?z2dxdy,其中S是由曲面x2?y2?R2及z?R,z??R(R?0)两平面所围成立体表面的外侧. 计算曲面积分??222x?y?zS五、(本题满分9分) 设

f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且

[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.

?f(x)1六、(本题满分8分) 设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且lim?0,证明级数?f()绝对x?0xnn?1收敛. 七、（本题满分6分）

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.

八、（本题满分8分）

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1?x2?0x2?x4?0,

又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).

(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.

(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分） 设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________. (2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为

X 0 1 P

1 21 2则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________. 十一、（本题满分6分）

1XY设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数?xy??,设Z??,

232

(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差. (2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?

1995年全国硕士研究生入学统一考试

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim(1?3x)x?02sinx

=_____________.

d0 xcost2dt= _____________. 2?dxx(3)设(a?b)?c?2,则[(a?b)?(b?c)]?(c?a)=_____________.

(2)

(4)幂级数?nx2n?1的收敛半径R=_____________. nnn?12?(?3)??1?3??1(5)设三阶方阵A,B满足关系式ABA?6A?BA,且A??0???0??0140?0??0?,则B=_____________. ??1?7??二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

x?3y?2z?1?0(1)设有直线L: ,及平面?:4x?2y?z?2?0,则直线L

2x?y?10z?3?0(A)平行于? (C)垂直于? (2)设在[0,1]上f??(x)?0,则f?(0),(A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)

(B)在?上 (D)与?斜交

f?(1),f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是 (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)

(3)设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则f(0)?0是F(x)在x?0处可导的 (A)充分必要条件 (C)必要条件但非充分条件

1(4)设un?(?1)nln(1?),则级数

n(A)?un与?u2都收敛

n?1?n?1n (B)充分条件但非必要条件

(D)既非充分条件又非必要条件

??

(B)?un与?u2都发散

n?1n?1n??(C)?un收敛,而?u发散

2n?1n?1n?(D)?un收敛,而?u2发散

n?1n?1n???a11a12?(5)设A?a21a22???a31a32(A)AP1P2=B (C)P1P2A=B

a13??a11a12?aa23?,B???21a22?a33???a31a32

a13??010??100??100?,P??010?,则必有

a23?,P?1???2????a33???001???101??

(B)AP2P1=B (D)P2P1A=B

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?都具有一阶连续偏导数,且(2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设

du???0.求.

dx?z?10f(x)dx?A,求?dx?f(x)f(y)dy.

0x11四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

(1)计算曲面积分??zdS,其中?为锥面z??x2?y2在柱体x2?y2?2x内的部分.

(2)将函数f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为4的余弦函数.

五、(本题满分7分) 设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已

33知MA?OA,且L过点(,),求L的方程.

22六、(本题满分8分)

设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分?2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有

L(t,1)(0,0)?2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x,y).

七、（本题满分8分）

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0,试证:

f(?)f??(?)(1)在开区间(a,b)内g(x)?0. (2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使?.

g(?)g??(?)

?0???八、（本题满分7分） 设三阶实对称矩阵A的特征值为?1??1,?2??3?1,对应于?1的特征向量为ξ1?1,求A. ????1??九、（本题满分6分） 设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转置矩阵),A?0,求A?I. 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望

E(X2)=____________.

(2)设X和Y为两个随机变量,且P{X?0,Y?0}?34,P{X?0}?P{Y?0}?, 77

则P{max(X,Y)?0}?____________.

十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为

?xfX(x)? e x?0, 求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).

x?001996年全国硕士研究生入学统一考试

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设lim(

x?2ax )?8,则a=_____________.

x??x?a(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________.

(3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________. (4)函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为_____________.

?102???(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B?020,则r(AB)=_____________. ?????103??二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的

字母填在题后的括号内)

(x?ay)dx?ydy(1)已知为某函数的全微分,a则等于 2(x?y)(A)-1 (C)1

(B)0 (D)2

(2)设f(x)具有二阶连续导数,且f?(0)?0,limx?0f??(x)?1,则 x(A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值

(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点

(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点

??(3)设an?0(n?1,2,?),且?an收敛,常数??(0,),则级数?(?1)n(ntan?)a2n

?n?12n?1n(A)绝对收敛

(C)发散

(B)条件收敛

(D)散敛性与?有关

(4)设有f(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??x0(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时,F?(x)与xk是同阶无穷小,

则k等于

(A)1 (C)3

(B)2 (D)4

a1000a2b2(5)四阶行列式

0a3b3b400(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4

b10的值等于 0a4

(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)

(C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数. (2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,?),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分

其中S为有向曲面z?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角. (2x?z)dydz?zdxdy,??S

?z?z?zu?x?2y?2z(2)设变换 可把方程62??2?0简化为?0,求常数a.

?x?x?y?y?u?vv?x?ay五、(本题满分7分) 求级数?六、(本题满分7分)

2221的和. 2nn?1(n?1)2?

设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于

1xf(t)dt,求f(x)的一般表达式. ?0x七、（本题满分8分） 设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)?a,f??(x)?b,其中a,b都是非负常数

,c是(0,1)内任意一点.证明

bf?(c)?2a?.

2八、（本题满分6分） 设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明 (1)A2?A的充分条件是ξTξ?1. (2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）

22已知二次型f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2,

(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.

12(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,())的随机变量,则随机变量???的数学期望

2E(???)=____________.

十一、（本题满分6分）

设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?1,i?1,2,3. 3又设X?max(?,?),Y?min(?,?).

(1)写出二维随机变量的分布率: X 1 2 3 Y 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X). 1997年全国硕士研究生入学统一考试

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

1x=_____________. (1)limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos?n

?

(2)设幂级数?anx的收敛半径为3,则幂级数?nan(x?1)n?1的收敛区间为_____________.

n?1n?1(3)对数螺线??e在点(?,?)?(e2,???2)处切线的直角坐标方程为_____________.

?12?2???,B为三阶非零矩阵,且

3(4)设A?4tAB?O,则t=_____________. ????3?11??(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个

人取得黄球的概率是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

xy (x,y)?(0,0)22(1)二元函数f(x,y)? x?y,在点(0,0)处

0 (x,y)?(0,0)(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存在 (2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.令

S1??f(x)dx,S2?f(b)(b?a),S3?ab1[f(a)?f(b)](b?a), 2则

(A)S1?S2?S3 (C)S3?S1?S2 (3)设F(x)?

(B)S2?S1?S3 (D)S2?S3?S1

?x?2?xesintsintdt,则F(x)

(B)为负常数 (D)不为常数

(A)为正常数 (C)恒为零

?a1??b1??c1???????(4)设α1?a2,α2?b2,α3?c2,则三条直线 ??????????a3???b3???c3??a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0, a3x?b3y?c3?0(其中ai2?bi2?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是 (A)α1,α2,α3线性相关

(B)α1,α2,α3线性无关

(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2) (D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关

(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差是 (A)8 (B)16 (C)28 (D)44 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

y2?2z绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z?8所围成的区域. 22(1)计算I?其中为平面曲线 ?(x?y)dv,???x?0?(2)计算曲线积分

??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中c是曲线

cx2?y2?1x?y?z?2从z轴正向往z轴负向看c的方

向是顺时针的.

(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).

四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)

x?y?b?0 (1)设直线l: 在平面?上,而平面?与曲面z?x2?y2相切于点(1,?2,5),求a,b之值.

x?ay?z?3?0

?2z?2z(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(esiny)满足方程2?2?e2xz,求f(u).

?x?yx五、(本题满分6分)设f(x)连续,?(x)?连续性.

六、(本题满分8分) 设a1?0,an?1?10f(xt)dt,且limf(x)?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)在x?0处的

x?0xa11an存在. (2)级数(n?1)收敛. ?(an?)(n?1,2,?),证明 (1)limx??2ann?1an?1??七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)

(1)设B是秩为2的5?4矩阵,α1?[1,1,2,3]T,α2?[?1,1,4,?1]T,α3?[5,?1,?8,9]T是齐次线性方程组Bx?0的解向

量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.

?1??2?12?????的一个特征向量.

a3(2)已知ξ?1是矩阵A?5????????1????1b?2??1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值. 2)问A能否相似于对角阵?说明理由.

八、（本题满分5分） 设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆. (2)求AB?1. 九、（本题满分7分）

2从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.设

5X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.

十、（本题满分5分） 设总体X的概率密度为

?0?x?1(??1)x f(x)?

其它0其中???1是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.

1998年全国硕士研究生入学统一考试

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)limx?0

1?x?1?x?2=_____________.

x2

2

?z1(2)设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则=_____________.

?x?yxx2y2(3)设l为椭圆??1,其周长记为a,则?(2xy?3x2?4y2)ds=_____________. ?43L(4)设A为n阶矩阵,A?0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A*)2?E必有特征值_____________.

1及直线y?0,x?1,x?e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则x(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________.

(5)设平面区域D由曲线y?二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

dx(1)设f(x)连续,则tf(x2?t2)dt= ?dx0(A)xf(x2)

(B)?xf(x2)

(C)2xf(x2) (D)?2xf(x2)

(2)函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

(3)已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?y(1)等于

y?x??,且当?x?0时,?是?x的高阶无穷小,y(0)??,则21?x(A)2? (B)?(C)e (4)设矩阵

?4?(D)?e4

?a1b1c1??abc?是满秩的,则直线x?a3y?b3z?c3与直线x?a1y?b1z?c1

????222??a1?a2b1?b2c1?c2a2?a3b2?b3c2?c3??abc?333?(A)相交于一点

(B)重合

(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为

f(x) O 0 -1 -2 则函数F?x??1 2 3 x

?f?t?dt的图形为

0xf(x) 1 0 -1 f(x) 1 -2 (A)

1 2 3 x

(B)

-2 -1 0 1 2 3 x

f(x) 1 0 f(x) 1 -1 (C)

1 2 3 x

n??-2

(D)

-1 0 1 2 3 x

(4)设有两个数列?an?,?bn?,若liman?0,则 (A)当

?bn?1??n收敛时,

?abn?1??nn收敛. (B)当

?bn?1??n发散时,

?abn?1??nn发散.

(C)当

?bn?1n收敛时,

?abn?122nn收敛. (D)当

?bn?1n发散时,

?abn?122nn发散.

(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R的一组基,则由基α1,311α2,α3到基α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡矩阵为 23

?101?

??(A)?220?

?033???

?120?

??

(B)?023? ?103???

第 46 页 共 123 页

?1?2?1(C)???2?1???214141?41???6?1? 6??1??6?

?1?2?1(D)??4?1????6?1214161?2??1?? 4??1??6?**(6)设A,B均为2阶矩阵,A,B分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩阵??OA??的伴随矩阵为

?BO??O(A)?*?2A?O(C)?*?2B3B*?? O?3A*?? O?

?O(B)?*?3A?O(D)?*?3B2B*?? O?2A*?? O?

(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7??(A)0 (C)0.7

?x?1??,其中??x?为标准正态分布函数,则EX? ?2?

(B)0.3 (D)1

(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为P?Y?0??P?Y?1??1,记2FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断点个数为

(A)0 (C)2 二、填空题

(B)1 (D)3

?2z(9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则? . ?x?y(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e,则非齐次方程y???ay??by?xx满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? .

(11)已知曲线L:y?x(12)设??2?0?x?2?,则?xds? . L??x,y,z?x2?y2?z2?1,则???z2dxdydz? . ?T?(13)若3维列向量α,β满足αβ?2,其中α为α的转置,则矩阵βα的非零特征值为 . (14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S分别为样本均值和样本方差.若

2TTX?kS2为np2的无偏估计量,则k? .

三、解答题

22(15)(本题满分9分) 求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值.

??第 47 页 共 123 页

(16)(本题满分9分) 设an为曲线y?x与y?x求S1与S2的值.

nn?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1??an,S2??a2n?1,

n?1n?1??x2y2(17)(本题满分11分) 椭球面S1是椭圆??1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆

43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成. (1)求S1及S2的方程. (2)求S1与S2之间的立体体积. 43(18)(本题满分11分) (1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在???a,b?,使得f?b??f?a??f?????b?a?.

f??x??A,则f???0?存在,且f???0??A. (2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且lim?x?0(19)(本题满分10分) 计算曲面积分I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y?z2322?,其中

?是曲面2x?2y?z?4的外侧.

222?1?1?1???1?????1?,ξ1??1? (20)(本题满分11分)设A???11??2??0?4?2?????(1)求满足Aξ2?ξ1的ξ2.A2ξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3. (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关. (21)(本题满分11分)设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.

22222(1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范形为y1,求a的值. ?y2(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1)求pX?1Z?0. (2)求二维随机变量?X,Y?概率分布.

????2xe??x,x?0(23)(本题满分11 分) 设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…Xn是

?0,其他来自总体X的简单随机样本. (1)求参数?的矩估计量. (2)求参数?的最大似然估计量.

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分.)

??x2lim??x??(x?a)(x?b)??= (1)极限

(A)1

(B)e

a?be(C)

b?ae(D)

x第 48 页 共 123 页

?z?zyzx?yF(,)?0F??0,则?xz?z(x,y)?y= xx(2)设函数由方程确定,其中F为可微函数,且2(A)x

(C)?x

1m

(B)z (D)?z

(3)设m,n为正整数,则反常积分

?

ln2(1?x)n0x

dx的收敛性 (B)仅与n取值有关 (D)与m,n取值都无关

(A)仅与m取值有关

nn

(C)与m,n取值都有关

(4)

lim??x??i?1n22j?1(n?i)(n?j)=

1dy2(1?x)(1?y)

1(A)

?10dx?x0 (B)

?10dx?x01dy(1?x)(1?y)

(C)

?10dx?1dy0(1?x)(1?y)

(D)

?10dx?1dy0(1?x)(1?y2)

1(5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则 (A)秩(A)?m,秩(B)?m (C)秩(A)?n,秩(B)?m

(B)秩(A)?m,秩(B)?n (D)秩(A)?n,秩(B)?n

2A?A?0,若A的秩为3,则A相似于 A(6)设为4阶对称矩阵,且

?1???1????1??0? (A)?

?1???1????1???0? (B)???1????1????1???0? (D)?

?1????1????1???0? (C)?

0 x?01 0?x?1,2?x(7)设随机变量X的分布函数F(x)? 1?e x?2则P{X?1}=

(A)0

(B)1 (D)1?e

?1

1?1?e(C)2

(8)设

f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,

第 49 页 共 123 页

af1(x)x?0f(x)? bf2(x) x?0 (a?0,b?0)

为概率密度,则a,b应满足 (A)2a?3b?4 (C)a?b?1

(B)3a?2b?4 (D)a?b?2

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分.)

(9)设(10)

x?e,y??ln(1?u2)du,0?tt求

d2ydx2t?0= .

??20xcosxdy= .

(11)已知曲线L的方程为则曲线积分?Ly?1?x{x?[?1,1]},= .

起点是(?1,0),终点是(1,0),

xydx?x2dy22??{(x,y,z)|x?y?z?1},则?的形心的竖坐标z= . (12)设

TTT,α3形成的向量空间的维数是2,则α?(1,2,?1,0),α?(1,1,0,2),α?(2,1,1,?),若由α1,α2123(13)设

?= .

(14)设随机变量X概率分布为

P{X?k}?C(k?0,1,2,?),2k!则EX= .

三、解答题(15－23小题,共94分.)

x???y?3y?2y?2xe(15)(本题满分10分)求微分方程的通解.

(16)(本题满分10分) 求函数

(17)(本题满分10分) (1)比较(2)记

f(x)??(x2?t)e?tdt1x2的单调区间与极值.

?10lnt[ln(1?t)]ndt10与

?10tnlntdt(n?1,2,?)求极限x??的大小,说明理由.

un??lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,?),?limun.(?1)n?12nx?(18)(本题满分10分) 求幂级数n?12n?1的收敛域及和函数.

(19)(本题满分10分)

222S:x?y?z?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面积分P设为椭球面

I????(x?3)y?2z4?y?z?4yz22dS,其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分.

(20)(本题满分11分)

第 50 页 共 123 页

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