自动控制原理教案-自控学习与解题指导

<<自动控制理论>>

课程学习指导

与解题指导

理工学院自动化系

二零零三年七月

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第一章 自控理论基本概念

本章作为绪论，已较全面地展示了控制理论课程的全貌，叙述了今后在课程的学习中要进行研究的各个环节内容和要点，为了今后的深入学习和理解，要特别注意本章给出的一些专业术语及定义。

1、基本要求

（1）明确什么叫自动控制，正确理解被控对象、被控量、控制装置和自控系统等概念。

（2）正确理解三种控制方式，特别是闭环控制。

（3）初步掌握由系统工作原理图画方框图的方法，并能正确判别系统的控制方式。

（4）明确系统常用的分类方式，掌握各类别的含义和信息特征，特别是按数学模型分类的方式。

（5）明确对自控系统的基本要求，正确理解三大性能指标的含义。 2．内容提要及小结

（1） 几个重要概念

自动控制 在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象的被控量自动地按预先给定的规律去运行。

自动控制系统 指被控对象和控制装置的总体。这里控制装置是一个广义的名词，主要是指以控制器为核心的一系列附加装置的总和。共同构成控制系统，对被控对象的状态实行自动控制，有时又泛称为控制器或调节器。

?被控对象??给定元件????测量元件??自动控制系统???比较元件 控制装置（控制器）???放大元件??执行元件??????校正元件?负反馈原理 把被控量反送到系统的输入端与给定量进行比较，利用

偏差引起控制器产生控制量，以减小或消除偏差。

（2） 三种基本控制方式

实现自动控制的基本途径有二：开环和闭环。 实现自动控制的主要原则有三：

主反馈原则——按被控量偏差实行控制。

补偿原则——按给定或扰动实行硬调或补偿控制。 复合控制原则——闭环为主开环为辅的组合控制。 （3）系统分类的重点

重点掌握线性与非线性系统的分类，特别对线性系统的定义、性质、

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判别方法要准确理解。

??常系数微分方程??时域法????传递函数???根轨迹法分析法?定常????????频率特性????频率法描述???线性系统???状态方程??状态方程 ??????变系数微分方程分析法?时域法?时变????????状态方程?状态空间法?

?非本质?分析法???线性化法??非线性微分方程分类??描述函数法?????????非线性系统?描述 ?分析法?状态方程?本质?????相平面法?状态空间法???（4）正确绘制系统方框图

绘制系统方框图一般遵循以下步骤：

①搞清系统的工作原理，正确判别系统的控制方式。

②正确找出系统的被控对象及控制装置所包含的各功能元件。 ③确定外部变量（即给定值、被控量和干扰量），然后按典型系统方框图的连接模式将各部分连接起来。 （5）对自控系统的要求

对自控系统的要求用语言叙述就是两句话： 要求输出等于给定输入所要求的期望输出值； 要求输出尽量不受扰动的影响。

恒量一个系统是否完成上述任务，把要求转化成三大性能指标来评价： 稳定——系统的工作基础；

快速、平稳——动态过程时间要短，振荡要轻。 准确——稳定精度要高，误差要小。

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解题示范

例1-1 图1—1为液位自动控制系统示意图。在任何情况下，希望液面高度C维持不变。试说明系统工作原理，并画出系统原理方框图。

气动阀门控制器（比较、放大）注入Q1H浮子Q2流出（I） 原理图图1—1液位自动控制系统

解：1、工作原理：闭环控制方式。

当电位器电刷位于中点位置时，电动机不动，控制阀门有一定的开度，使水箱中流入水量和流出水量相等，从而液面保持在希望高度上。当进水或出水量发生变化，例如液面下降，通过浮子和杠杆检测出来，使电位器电刷从中点位置上移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机通过减速器开大阀门开度，使液位上升，回到希望高度。电位器电刷回到中点，电动机停止。

2、被控对象是水箱，被控量是水箱液位，给定量是电位器设定位置（代表液位的希望值）。主扰动是流出水量。

系统的方框图如图1—2所示。

控制器 希望液位放大元件气动阀门水 箱 注入实际液位浮 子（II） 控制系统方块图图1—2 液位自动控制系统方框图。

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例1—2 图1—3为自动调压系统。试分析系统在负载电流变化时的稳压过程，并绘出系统方框图。

图 1－3 自动调压系统

解：1、工作原理：顺馈控制。

当负载电流IF变化时，发电机G的电枢绕组压降也随之改变，造成端电压不能保持恒定，因此，负载电流变化对稳压控制来说是一种扰动。采用补偿措施，将电流IF在电阻RF上的压降检测出来，通过放大，来改变发电机的励磁电流IF，以补偿电枢电压的改变，使其维持恒定。

2、被控对象是发电机G，被量是电枢端电压UF，给定值是励磁电压UF，扰动量是负载电流IF。

系统方框图为1—4所示。

图1－4自动调压系统方框图

例1－3 直流稳压电源原理图为图1—5所示，试画出方框图，分析工作原理。

图1—5 直流稳压电源原理图

解：1、工作原理：反馈控制

实际输出电压U2由R3和R4组成分压器检测出来，与给定值Uw进行比较，

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产生的偏差电压BG1进↙行BG2。由BG2对输出电压进行调整，

这里的偏差电压仅随U2变化。由BG1反相放大后产生Uc，这是系统的控制量。通过BG2进行输出电压自动调节，维持U2恒定。

假如U2↙，Ua↙，Ib1↙, Uc↗，Ib2↗，UED↙，U2↗。 若U2↗→Ua↗→Ib1↗→Uc↙→Ib2↙→UED↗→U2↙

图1—6 稳压电源方框图

U1是系统的供电输入电压，若电网波动，也会使U1变化。因此，对系统来说，U1的变化是造成U2电压波动的干扰因素，属于扰动信号，也可以通过反馈回路加以抑制。

2﹑控对象不是一个具体的设备，而是一个稳压过程，被控量是输出电压U2，给定值是Uw，扰动量是U1。当然，当系统输出接负载后，负载的变化，将对输出电压产生直接的影响，是主扰动。

例1-4 角位置随动系统原理图如图1—7所示。

系统的任务是控制工作机械角位置Qc，随时跟踪手柄转角Qr。试分析其工作原理，并画出系统方框图。

图1—7 角位置随动系统原理图

解：1、工作原理：闭环控制。

只要工作机械转角θc与手柄转角θr一致，两环形电位器组成的桥式电路处于平衡状态，无电压输出。此时表示跟踪无偏差。电动机不动，系统静止。

如果手柄转角θr变化了，则电桥输出偏差电压，经放大器驱动电动机转动。通过减速器拖动工作机械向θr要求的方向偏转。当θc=θr时，系统达到新的平衡状态，电动机停转,从而实现角位置跟踪目的。

2、系统的被控对象是工作机械，被控量是工作机械的角位移。给定量

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是手柄的角位移。控制装置的各部分功能元件分别是：手柄完成给定，电桥完成检测与比较，电动机和减速器完成执行功能。 系统方框图见图1—8。

图1-8 位置随动系统方框图。

第二章自控系统的数学模型

本章讲述的内容很多,牵扯到数学和物理系统的一些理论知识,有些需要进一步回顾,有些需要加深理解，特别是对时间域和复频率域的多种数学描述方法，各种模型之间的对应转换关系，都比较复杂。学习和复习好这些基础理论，对下一步深入讨论自控理论具体方法至关重要。

1、基本要求

（1）确理解数字模型的特点，对系统的相似性、简化性、动态模型、静态模型、输入变量、输出变量、中间变量等概念，要准确掌握。

（2）了解动态微分方程建立的一般方法及小偏差线性化的方法。

（3）掌握运用拉氏变换解微分方程的方法，并对解的结构，运动模态与特征根的关系，零输入响应，零状态响应等概念，有清楚的理解。

（4）会用MATLAB方法进行部分方式展开。对低阶的微分方程，能用部分分式展开法或留数法公式进行简单计算。

（5）正确理传递函数的定义、性质和意义，特别对传递函数微观结构的分析要准确掌握。

（6）正确理解由传递函数派生出来的系统的开环传递函数，闭环传递函数，前向传递函数的定义，并对重要传递函数如：控制输入下闭环传递函数，扰动输入下闭环传递数函数，误差传递函数，典型环节传递函数，能够熟练掌握。

（7）掌握系统结构图和信号流图两种数学图形的定义和组成方法，熟练地掌握等效变换代数法则，简化图形结构，并能用梅逊公式求系统传递函数。 （8）正确理解两种数学模型之间的对应关系，两种数学图型之间对应关系，以及模型和图形之间的对应关系，利用以上知识，熟练地将它们进行相互转换。

2、内容提要及小结

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本章主要介绍数学模型的建立方法，作为线性系统数学模型的形式，介绍了两种解析式和两种图解法，对于每一种型式的基本概念，基本建立方法及运算，用以下提要方式表示出来。 （1）微分方程式

基本定律?物理、化学及专业上的??中间变量的作用 基本概念??简化性与准确性要求?小偏差线性化理论???原始方程组???直接列写法?线性化???消中间变量??化标准形????C（s)M(s)M(s)?基本方法?由传递函数??C(s)?R(s)? N(s)C(s)?M(s)R(s)??R(s)N(s)N(s)??dp?-1?转换法?Ldt? ???N(p)c(t)?M(p)r(t)????微分方程????由结构图?传递函数?微分方程??由信号流图?传递函数?微分方程???

??零状态解分方程??方程求解?掌握拉氏变换法求解微?零输入解??应用? ?电枢控制直流电动机??常用重要例题建模?磁场控制直流电动机??直流电机调速系统???(2)传递函数

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?????线性定常系统?C(s)??定义：?比值?零初始条件?R(s)???一对确定的输入输出??零点????? 基本概念?微观结构?极点 （零极点分布图与运动模态对应）???传递函数???????方程式??标准解析式???传递函数???典型环节?零极点分布图??单位阶跃响应特性???????d?s?dt??传递函数?定义法?由微分方程??? 基本方法? ?由结构图?化简???传递函数??图解法?梅逊公式??由信号流图?????传递函数???G前?G(s)? （适用于单回路）??1?GK??公式???G(s)?G前 ?（适用于回路两两交叉）?1－L?a?常用重要公式 及传递函数 ? ?C(s)E(s)?控制输入下：G(s)?,G(s)?r?r??R(s)R(s)??重要传递函数???扰动输入下：G(s)?C(s),G?E(s)?d?d?D(s)D(s)???（3）结构图

示?数学模型结构的图形表?基本概念?可用代数法则进行等效变换?构图基本元素4种（方框、相加点、分支点、支路）??由原始方程组画结构图??串联相乘? ??并联相加???基本方法?用代数法则简化结构图 前向?反馈连接＝??1＋开环?????相加点和分支点移位?函数。?由梅逊公式直接求传递 9

注意几点：

1、相加点与分支点相邻，一般不能随便交换。

积保持不变?前向通路的传递函数乘2、等效原则两条 ?保持不变?各回路中传递函数乘积3、直接应用梅逊公式时，负反馈符号要记入反馈通路中的方框中去。

另外对于互不接触回路的区分，特别要注意相加点与分支点相邻处的情况。

4、结构图可同时表示多个输入与输出的关系，这比其它几种解析式模型方便的多，并可由图直接写出任意个输入下总响应。如：运用叠加原理，当给定输入和扰动输入同时作用时，则有C(s)＝Gr(s)R(s)＋Gd(s)D(s) （4）信号流图

?同结构图一致?基本概念??构图元素2种改进二点??数?有统一的公式求传递函?图?由原始方程组画信号流?基本方法?结构图翻译成信号流图?代数法则同结构图一致?

重要公式→梅逊公式 梅逊公式G??GK?1nK?K?

注意两点：1、搞清公式中各部分含义；

2、公式只能用于等输入节点与较出节点之间的传播，不能等不含输入节点情况下，任意两混合节点之间的传较。

四种模型之间的转换关系可用图2－81表示

微分方程 传递函数

图2－81 模型转换

结构图 信号流图 10

解题示范

例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。 解：(1) 设输入为yr，输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。

(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足于A点有

Ff?FK1?FK2?0

其中，Ff为阻尼摩擦力，FK1，FK2为弹性恢复力。 (3) 写中间变量关系式

Ff?f?d(yr?y0)dt?K1(Yr?Y0)

图2-1 机械位移系统

?F?0，则对

FK1(4) 消中间变量得 f(5) 化标准形 T其中:T? K?FK2?K2y0dydyr?f0?K1yr?K1y0?K2y0 dtdtdy0dy?y0?Tr?Kyr dtdt5为时间常数，单位[秒]。

K1?K2K1为传递函数，无量纲。

K1?K2例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。 (1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程

解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角? ，摆球质量为m。 （2）由牛顿定律写原始方程。

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d2? m(l2)??mgsin??h

dt其中，l为摆长，l? 为运动弧长，h为空气阻力。

（3）写中间变量关系式 h??(ld?) dtd?为运动线速度。 dt

图2-2 单摆运动

式中，α为空气阻力系数l（4）消中间变量得运动方程式

d2?d??mgsin??0 （2-1) ml2?aldtdt此方程为二阶非线性齐次方程。

（5）线性化

由前可知，在? ＝0的附近，非线性函数sin? ≈? ，故代入式（2-1）可得线性化方程为

d2?d??mg??0 ml2?aldtdt例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。

解：（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度? 。 （2）列写运动方程式 J

图2-3 机械旋转系统

d???f??Mf dt式中， f?为阻尼力矩，其大小与转速成正比。

（3）整理成标准形为

Jd??f??Mf dt此为一阶线性微分方程，若输出变量改为?，则由于 ??代入方程得二阶线性微分方程式

d? dtd2?d??Mf J2?fdtdt

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例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。

图2-4 倒立摆系统

倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。

解：(1) 设输入为作用力u，输出为摆角? 。

(2) 写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为（XA，yA）于是 XA＝X＋lsin? Xy = lcos?

画出系统隔离体受力图如图2－5所示。

图2-5 隔离体受力图

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摆杆围绕重心A点转动方程为：

d2? J2?Vlsin??Hlcos? （2－2）

dt式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。 摆杆重心A沿X轴方向运动方程为：

md2xAdt2?H

d2即 m2(x?lsin?)?H （2－3）

dt摆杆重心A沿y轴方向运动方程为： m即 m小车沿x轴方向运动方程为：

d2yAdt2?V?mg

d2dt2(lcos?)?V?mg

d2x M2?u?H

dt方程（2－2），方程（2－3）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin? 和cos? 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。

(3) 当? 很小时，可对方程组线性化，由sin? ≈?，同理可得到cos≈1则方程式(2－2)式（2－3）可用线性化方程表示为：

?d2??J2?Vl??Hl?dt?d2xd2??m2?ml2?H?dtdt ?

0?V?mg??d2x?M2?u?H?dtd2用S?2的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、X得

dt2 (?Ml?将微分算子还原后得

M?mJ)s2??(M?m)g??u mlMJJd2?d??)2?(M?m)g??u (Ml?mlldtdt此为二阶线性化偏量微分方程。

例2-5 RC无源网络电路图如图2－6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。

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图2-6 RC无源网络

解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：

U(s)?Z(s) I(s)如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。

(1) 用复阻抗写电路方程式：

I1(S)?[Ur(S)?UC1(S)]?Uc1(S)?[I1(S)?I2(S)]?1R1

1C1s1I2(S)?[Uc1(S)?Uc2(S)]R2Vc2(S)?I2(S)?1C2s

(2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2－6（a）。 (3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图2－6（c）、(d)、(e)。

（a）

（b）

（c） （ d） 图2-6 RC无源网络结构图

(4) 用梅逊公式直接由图2－6(b) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。

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G?独立回路有三个：

?GK?K?

L1??L2??L3??11?1?? RC1SR1C1S11?1?? R2C2SR2C2S11?1?? C1SR2R2C1S1R1C1R2C2S2回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则 L12?L1L2?由上式可写出特征式为：

??1?(L1?L2?L3)?L1L2?1?

通向前路只有一条

1111???R1C1SR2C2SR2C1SR1C1R2C2S2G1?11111???? R1C1SR2C2SR1R2C1C2S2Δ1=1

由于G1与所有回路L1，L2， L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为 代入梅逊公式得传递函数

1G?G?11?? ? R1C1R2C2s211111???? R1C1sR2C2sR2C1sR1C1R2C2s21R1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2?R1C2)s?1例2-6 有源网络如图2－7所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图2－8所示PI调节器，写出传递函数。

图2-7 有源网络

图2-8 PI调节器

解：图2-7中Zi和 Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假

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设A点为虚地，即UA≈0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：I1 = I2 则有： 故传递函数为

Ui(s)?I1(s)Zi(s)Uc(s)??I2(s)Zf(s)

G(s)?Zf(s)Uc(s) （2－4） ??Ui(s)Zi(s)对于由运算放大器构成的调节器，式（2－4）可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8所示PI调节器，有

Zi(s)?R1

Zf(s)?R2?1 CS故

Zf(s)Zi(s)R2?1CS?R2CS?1 R1R1CS G(s)????(0)?3。 例2-7 求下列微分方程的时域解x（t）。已知x(0)?0,x

d2xdt2?3dx?6x?0 dt解：对方程两端取拉氏变换为：

?(0)?3SX(s)?3x(0)?6X(s)?0 S2X(s)?Sx(0)?x代入初始条件得到

(S2?3S?6)X(s)?3 解出X（s）为：

X(s)?323?S2?3S?65152152(S?1.5)2?()215t) 2

反变换得时域解为：

x(t)?235e1.5tsin( 17

例2-8 已知系统结构图如图2-9所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。

图2-9 系统结构图

解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-10（a）所示。

（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-10（b）。 （3）最后将两个方框串联相乘得图2-10（c）。

例2-9 已知系统结构图如图2-11所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。

解：

（1）将两条前馈通路分开，改画成图2-12（a）的形式。

（2）将小前馈并联支路相加，得图2-12（b）。

（3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2-12（c）。

图2-12 系统结构图

图2-11 系统结构图

图2-10 系统结构图的简化

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例2-10 已知机械系统如图2-13（a）所示，电气系统如图2-13（b）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。

（b）电气系统 （a）机械系统 图2-13 系统结构图

解：（1）若图2-13（a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。 微分方程组为：

?i?x?0)?K1(xi?x0)?F?F1?F2?f1(x??0?y?)?F?f2(x ?

F?Ky2?取拉氏变换，并整理成因果关系有：

???F(s)?(f1s?K1)[(xi(s)?x0(S)]?1?F(s)?y(s)? ? K2?1F(s)?y(s)?x0(s)??fs2?画结构图如图2－14：

图2-14 机械系统结构图

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求传递函数为：

ff11?)(1s?1)(2s?1)X0(s)k2f2sk1k2 ? ?11f1f2f2Xi(s)1?(k1?f1s)(?)(s?1)(s?1)?sk2f2sk1k2k1(k1?f1s)(（2）写图2-13（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。 运动方程可直接用复阻抗写出：

1?I(s)?Is?I(s)?[Ei(s)?Ei(s)]?C1s[(Ei(s)?E0(s)]12?R1?1?[E0(s)?Ec2(s)]?I(s)? R2??I(s)?C2s?EC2(s)??整理成因果关系：

1?I(s)?(?C1s)[(Ei(s)?E0(s)]?R1??1I(s)?Ec2(s)? ? C2S?E0(s)?IR2?EC2(s)??画结构图如图2-15所示：

求传递函数为：

图2-15 电气系统结构图

11?C1s)(R2?)E0(s)R1C2S(R1C1S?1)(R2C2S?1)? ?

111Ei(s)(R1C1S?1)(R2C2s?1)?R1C2S1?(?)(R2?)R1C1SC2S(对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/02t6.html