兰州大学运筹学 - 目标规划 课后习题题解

第八章 目标规划

8.1请将下列目标规划问题数学模型的一般形式转换为各优先级的数学模型。 1、

+-+-min P1（dl-）＋P2（d2-）＋P2（d2）＋P3（d3）＋P3（ d3）＋P4（d4）

约束条件：

4 xl ≤680 4x2 ≤600

-2 xl＋3x2－d1+ +d1＝12

- xl－x2－d2++d2＝0

-2 xl＋2x2－d3++d3＝12

-xl＋2x2－d4++d4＝8

----xl，x2，d1+，d1，d2+，d2，d3+，d3，d4+，d4≥0。

解：

这是一个四级目标规划问题： 第一级：

min dl-

S.T. 4 xl ≤680

4x2 ≤600

-2 xl＋3x2－d1+ +d1＝12

-xl，x2，d1+，d1≥0

第二级：

-+

min d2＋ d2

S.T. 4 xl ≤680

4x2 ≤600

-2 xl＋3x2－d1+ +d1＝12

-xl－x2－d2++d2＝0 -d1＝第一级的最优结果

--xl，x2，d1+，d1，d2+，d2≥0

第三级：

-+

min d3＋ d3

S.T. 4 xl ≤680

4x2 ≤600

-2 xl＋3x2－d1+ +d1＝12

-xl－x2－d2++d2＝0

-2 xl＋2x2－d3++d3＝12 -d1＝第一级的最优结果

-d2+，d2＝第二级的最优结果

---xl，x2，d1+，d1，d2+，d2，d3+，d3≥0

第四级：

min d4

S.T. 4 xl ≤680

4x2 ≤600

-2 xl＋3x2－d1+ +d1＝12

-xl－x2－d2++d2＝0

-2 xl＋2x2－d3++d3＝12

-xl＋2x2－d4++d4＝8 -d1＝第一级的最优结果 - d2+，d2＝第二级的最优结果

- d3+，d3＝第三级的最优结果

----xl，x2，d1+，d1，d2+，d2，d3+，d3，d4+，d4≥0

2、

+- min P1（dl-）＋P2（d2-）＋P2（d2）＋P3（d3）

约束条件：

-12 xl＋9x2＋15x3－d1+ +d1＝125

-5xl＋3x2＋4x3－d2+ +d2＝40

-5 xl＋7x2＋8x3－d3+ +d3＝55

---xl，x2，x3，d1+，d1，d2+，d2，d3+，d3≥0。

解：

这是一个三级目标规划问题： 第一级：

min dl-

-S.T. 12 xl＋9x2＋15x3－d1+ +d1＝125

- xl，x2，x3，d1+，d1≥0 第二级：

+

min d2-＋d2

-S.T. 12 xl＋9x2＋15x3－d1+ +d1＝125

-5xl＋3x2＋4x3－d2+ +d2＝40

dl-＝第一级的最优结果

-- xl，x2，x3，d1+，d1，d2+，d2≥0 第三级：

- min d3

-S.T. 12 xl＋9x2＋15x3－d1+ +d1＝125

-5xl＋3x2＋4x3－d2+ +d2＝40

- 5 xl＋7x2＋8x3－d3+ +d3＝55

dl-＝第一级的最优结果

-d2+ ，d2＝第二级的最优结果

--- xl，x2，x3，d1+，d1，d2+，d2，d3+，d3≥0

8.2某企业生产A、B、C、三种不同规格的电子产品，三种产品的装配工作在同一生产

-

线上完成，各种产品装配时消耗的工时分别为5、9和12小时，生产线每月正常台时为1500小时；三种产品销售出去后，每台可获得利润分别为450、550和700元；三种产品每月销售量预计分别为300、80和90台。

该厂经营目标如下：

P1------利润目标为每月150000元，争取超额完成。 P2------充分利用现有生产能力。

P3------可以适当加班，但加班时间不要超过100小时。 P4------产量以预计销量为标准。

试建立该问题的目标规划数学模型，并求解最合适的生产方案。

解：

先将问题的数据分析如下表： 所需台时数（小时） 产品利润（元/台） 预计销售量（如） 50 300 0 产品A 产品B 产品C 机器正常台时 5 450 80 9 2 500 9 7 11500 设三种产品的产量分别为xl、x2、x3。

-首要目标是每月的利润为150000元。设偏差变量d1+、d1为每月利润高于或低于150000元的部分。

-所以有： min P1（d1）

- 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

其次目标是充分利用现有生产力，现有生产力只有提供的机器台时数。所以设偏差变

-量d2+、d2为使用机器台时数超过或少于1500小时的部分。

-有： min P2（d2）

- 5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2＝1500

-再次目标是可以适当加班，但加班时间不要超过100小时。所以设偏差变量d3+、d3为使用机器台时数超过或少于1600小时的部分。

+

有： min P3（d3）

- 5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3＝1600

---最后目标是产量以预计销量为标准。所以设偏差变量d4+和d4、d5+和d5、d6+和d6为分别代表产品A超过或少于120、产品B超过或少于80、产品C超过或少于90、的部分。

-+-+-+

有： min P4（d4＋d4＋d5＋d5＋d6＋d6）

- xl－d4+ +d4＝300

- x2－d5+ +d5＝80

-x3－d6+ +d6＝90

所以得本问题的目标规划数学模型：

--+-+-+-+

min P1（d1）＋P2（d2）＋P3（d3）＋P4（d4＋d4＋d5＋d5＋d6＋d6）

- S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

-5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2＝1500

5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3＝1600

- xl－d4+ +d4＝300

- x2－d5+ +d5＝80

-x3－d6+ +d6＝90 xi≥0 (i=1,2,3)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2,3,4,5,6)

这是一个四级目标规划问题： 第一级：

- min d1

- S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

xi≥0 (i=1,2,3)

-

d1+ 、d1≥0

代入求解模板得结果：

-即：最优解：（0，0，214.29）,最优值：min d1＝0 第二级：

- min d2

- S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

-5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2＝1500 - d1＝0

xi≥0 (i=1,2,3)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2)

代入求解模板得结果：

-

--即：最优解：（333.33，0，0）,最优值：min d1＝0，min d2＝0

第三级：

+

min d3

- S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

-5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2＝1500

-5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3＝1600 -d1＝0 - d2＝0

xi≥0 (i=1,2,3)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2，3)

代入求解模板得结果：

--+

即：最优解：（333.33，0，0）,最优值：min d1＝0，min d2＝0，min d3＝66.667

第四级：

-+-+-+

min d4＋d4＋d5＋d5＋d6＋d6

- S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

-5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2＝1500

-5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3＝1600

-xl－d4+ +d4＝300

- x2－d5+ +d5＝80

-x3－d6+ +d6＝90 -d1＝0 - d2＝0

+

d3＝66.667 xi≥0 (i=1,2,3)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2,3,4,5,6)

代入求解模板得结果：

即：最优解：（333.33，0.0001，0）,

---最优值：min d1＝0，min d2＝0，min d3＝66.667,

-+

min d4＝0, min d4＝33.33

-+

min d5＝80, min d5＝0

-+

min d4＝90, min d4＝0

即安排生产的方案：

生产产品A33.33件，产品B和产品C不生产最合适。

若再加上产品是整数的特殊要求： 第一级：

- min d1

- S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

xi≥0 (i=1,2,3)

-

d1+ 、d1≥0 得最优解：（0，0，215）

-最优值：d1＝0

第二级：

- min d2

- S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

-5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2＝1500 - d1＝0

xi≥0 (i=1,2,3)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2) 得最优解：（334，0，0）

--最优值：d1＝0，d2＝0

第三级：

+

min d3

- S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

-5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2＝1500

-5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3＝1600 -d1＝0 - d2＝0

xi≥0 (i=1,2,3)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2，3) 得最优解：（334，0，0）

---最优值：d1＝0，d2＝0，d3＝70

第四级：

-+-+-+

min d4＋d4＋d5＋d5＋d6＋d6

- S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1＝150000

-5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2＝1500

-5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3＝1600

-xl－d4+ +d4＝300

- x2－d5+ +d5＝80

-x3－d6+ +d6＝90 -d1＝0 - d2＝0

+

d3＝70

xi≥0 (i=1,2,3)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2,3,4,5,6) 得最优解：（334，0，0）

---最优值：d1＝0，d2＝0，d3＝70

-+

min d4＝0, min d4＝34

-+

min d5＝80, min d5＝0

-+

min d4＝90, min d4＝0

8.3现有一个四个产地、三个销地的运输问题，其供需数量及单位运费如下表所示：

销地 产地 A1 A2 A3 A4 需求量 0 1 2 6 8 1 2 3 `供应量 12 5 6 1

经营决策中要求所有产地的产量都必须全部运出，希望达到目标以及优先等级如下：

P1------销地B1、B2至少得到它需求量的50%。 P2------必须满足销地B3全部需求量。

P3------由于客观原因，要尽量减少A4到B2的货运量。 P4------若期望运费132元，并尽可能减少运输费用。

解：设决策变量如下表：

销地 产地 A1 A2 A3 A4 需求量 1 2 3 `供应量 12 5 6 1xl x4 x7 xl0 2 x2 x5 x8 xl1 6 x3 x6 x9 xl2 8 1

因为经营决策中要求所有产地的产量都必须全部运出所以得以下四个绝对约束：

xl＋x2＋x3＝12 x4＋x5＋x6＝5 x7＋x8＋x9＝6 xl0＋x11＋x12＝11

本问题的首要目标是销地B1、B2至少得到它需求量的50%。即B1至少得到6件，B2至少

--得到8件。设偏差变量d1+和d1、d2+和d2分别代表B1超过或少于6件、B2超过或少于8件的部分。

--有： min P1（d1＋d2）

- xl＋x4＋x7＋x10－d1+ +d1＝6

- x2＋x5＋x8＋x11－d2+ +d2＝8

-其次目标是必须满足销地B3全部需求量。设偏差变量d3+和d3代表B3超过或少于18件的部分。

-有： min P2（d3）

- x3＋x6＋x9＋x12－d3+ +d3＝18

-再次目标是要尽量减少A4到B2的货运量。设偏差变量d4+和d4代表A4到B2的货运量超过或少于0件的部分。

+

有： min P3（d4）

- x11－d4+ +d4＝0

-最后的目标是期望运费132元，并尽可能减少运输费用，设偏差变量d5+和d5代表总运费超过或少于132元件的部分。

+

有： min P4（d5）

4xl＋7x2＋5x3＋6x4＋4x5＋8x6＋3x7＋6x8＋10x9＋5x10＋4x11＋8x12 －d5+ +d5＝132

-

所以得本问题的目标规划数学模型：

---++

min P1（d1＋d2）＋P2（d3）＋P3（d4）＋P4（d5）

S.T. xl＋x2＋x3＝12

x4＋x5＋x6＝5 x7＋x8＋x9＝6 xl0＋x11＋x12＝11

- xl＋x4＋x7＋x10－d1+ +d1＝6

- x2＋x5＋x8＋x11－d2+ +d2＝8

- x3＋x6＋x9＋x12－d3+ +d3＝18

-x11－d4+ +d4＝0

-4xl＋7x2＋5x3＋6x4＋4x5＋8x6＋3x7＋6x8＋10x9＋5x10＋4x11＋8x12 －d5+ +d5＝132 xi≥0 (i=1,2…..12)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2,3,4,5) 这是一个四个优先及的目标规划问题：

--第一级： min d1＋d2

S.T. xl＋x2＋x3＝12

x4＋x5＋x6＝5 x7＋x8＋x9＝6 xl0＋x11＋x12＝11

-xl＋x4＋x7＋x10－d1+ +d1＝6

- x2＋x5＋x8＋x11－d2+ +d2＝8

xi≥0 (i=1,2…..12)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2)

得结果：最优解（0，0，12，0，0，5，0，3，3，6，5，0）

-- 最优值d1＝0，d2＝0

-第二级： min d3

S.T. xl＋x2＋x3＝12

x4＋x5＋x6＝5 x7＋x8＋x9＝6 xl0＋x11＋x12＝11

-xl＋x4＋x7＋x10－d1+ +d1＝6

- x2＋x5＋x8＋x11－d2+ +d2＝8

-x3＋x6＋x9＋x12－d3+ +d3＝18 -d1＝0 -d2＝0

xi≥0 (i=1,2…..12)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2，3)

得结果：最优解（0，0，12，0，0，5，0，5，1，8，3，0）

--- 最优值d1＝0，d2＝0，d3＝0

+

第三级： min d4

S.T. xl＋x2＋x3＝12

x4＋x5＋x6＝5 x7＋x8＋x9＝6 xl0＋x11＋x12＝11

- xl＋x4＋x7＋x10－d1+ +d1＝6

- x2＋x5＋x8＋x11－d2+ +d2＝8

-x3＋x6＋x9＋x12－d3+ +d3＝18

-x11－d4+ +d4＝0 -d1＝0 -d2＝0 -d3＝0

xi≥0 (i=1,2…..12)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2，3，4)

得结果：最优解（0，0，12，0，3，3，0，5，0，8，0，3）

---+

最优值d1＝0，d2＝0，d3＝0，d4＝0

+

第四级：min d5

S.T. xl＋x2＋x3＝12

x4＋x5＋x6＝5 x7＋x8＋x9＝6 xl0＋x11＋x12＝11

-xl＋x4＋x7＋x10－d1+ +d1＝6

- x2＋x5＋x8＋x11－d2+ +d2＝8

- x3＋x6＋x9＋x12－d3+ +d3＝18

-x11－d4+ +d4＝0

-4xl＋7x2＋5x3＋6x4＋4x5＋8x6＋3x7＋6x8＋10x9＋5x10＋4x11＋8x12 －d5+ +d5＝132

-d1＝0 -d2＝0 -d3＝0 +

d4＝0

xi≥0 (i=1,2…..12)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2,3,4,5)

得结果：最优解（0，0，12，0，5，0，3，3，0，5，0，6）

---++

最优值d1＝0，d2＝0，d3＝9，d4＝0，d5＝48 即：

销地 产地 A1 A2 A3 A4 需求量 1 2 6 8 1 2 3 `供应量 12 5 6 12

d4＝0 - d5＝0 +

d5＝75

-d6＝0 +

d6＝1

xi≥0 (i=1,2…..25)

-

di+ 、di≥0 (i=1,2，3，4，5，6，7)

代入求解模板可得结果：

即：最优解：（1，1，0，1，0，0，0，1，1，0，1，0，0，0，1，0，1，0，1，1，0，1，1，1，1）

-+

最优值： d1＝0，d1＝0

-+

d2＝0，d2＝0

-+

d3＝0，d3＝2 -+

d4＝14，d4＝0 -+

d5＝0，d5＝75 -+

d6＝0，d6＝1 -+

d7＝0，d7＝1

总的结果，按S1，S2，S4，S8，S9，S11，S15，S17，S19，S20，S22，S23，S24，S25分为G1分公司，S3，S5，S6，S7，S10，S12，S13，S14，S16，S18，S21分为G2分公司基本最合适。

+

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/02pa.html