2018年秋新课堂高中数学人教A版必修五学案：第2章 2.5 第 2 课时

第2课时 等比数列前n项和的性质及应

用

学习目标：1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．等比数列前n项和的变式

a1?1－qn?

当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝

1－q－

a1na1a1·q＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等1－q1－q1－q

比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．

思考：在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？

[提示] 由题{an}是等比数列， ∴3n的系数与常数项互为相反数， 11而3n的系数为3，∴k＝－3. 2．等比数列前n项和的性质

性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．

性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则 S偶

①在等比数列中，若项数为2n(n∈N)，则＝q.

S奇

*

②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．

思考：在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求S6的值？ [提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.

[基础自测]

1．思考辨析

(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.( )

(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.( )

(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．( ) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 提示：(1)

S偶

12011

＝q＝240＝2；(2)由等比数列前n项和的特点知3a＝1得a＝3；(4)S奇

由S3，S6－S3，S9－S6成等比数列知(4)错误．

2．已知数列{an}为等比数列，且前n项和S3＝3，S6＝27，则公比q＝________. S6－S327－3

2 [q＝S＝3＝8，所以q＝2.]

3

3

21

3．若数列{an}的前n项和Sn＝3an＋3，则{an}的通项公式是an＝________.

【导学号：91432227】

21

(－2)n－1 [当n＝1时，S1＝3a1＋3，所以a1＝1. 1?21?2a＋当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3an＋3－?3n－13? ??2an＝3(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即＝－2，

an－1所以{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2， 所以an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.]

4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. 35 [设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35，即a5＋b5＝35.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

等比数列前n项和公式的函数特征应用

已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数

列{an}( )

【导学号：91432228】

A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 B [当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当n＝1时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. an＋1

∴a＝a，

n

∴数列{an}是等比数列．] [规律方法] （1）－Sn－1. （2）若数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－比数列. [跟踪训练] 1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________. 1

－ [显然q≠1， 3此时应有Sn＝A(qn－1)，

，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等?S1，n＝1，已知Sn通过an＝?求通项an，应特别注意n≥2时，an＝SnS－S，n≥2?nn－1 1n

又Sn＝3·3＋t， 1∴t＝－3.]

等比数列前n项和性质的应用

[探究问题]

1．在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？

提示：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn， ∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，

S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.

同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，

在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．

2．若数列{an}为项数为偶数的等比数列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4S偶

＋a6＋…，那么等于何值？

S奇

S偶S奇

S奇·qS奇

提示：由等比数列的通项公式可知＝＝q.

(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( ) A．28 B．32 C．21 D．28或－21

(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________

【导学号：91432229】

思路探究：(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解． (2)利用

S偶

＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解． S奇

(1)A (2)24 [(1)∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7,91－S4成等比数列，

∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28. (2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，

S1

S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则S＝q＝3，即S1＝3S2.

24

又S1＋S2＝S80＝32，∴3S1＝32，解得S1＝24. 即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.]

母题探究：1.(变条件)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”求S4n的值．

[解] 设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2,14－x，y－14成等比数列，所以

2???x－2?＝2?14－x?，

?

2

???14－x?＝?x－2??y－14?，

???x＝6，?x＝－4，所以?或?(舍去)，所以S4n＝30.

???y＝30?y＝－40

2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶数的等113

比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2，又它的首项为2，且中间两项的和为128”求此等比数列的项数．

[解] 设等比数列为{an}，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，1则q＝2，

33

又an和an＋1为中间两项，则an＋an＋1＝128，即a1qn－1＋a1qn＝128， 11

又a1＝2，q＝2， 1?1??2?∴2·??

n－1

S偶S奇

＝q.

1?1?31?1??2?＝?·??＋2·??1282?2?

n

n－1

1?3?1＋??·＝2?128?n＝6. ?

∴项数为2n＝12. 则此等比数列的项数为12. [规律方法] 1．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项S偶S奇－a1数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)． S奇S偶2．等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1).

分组求和法

已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此

1

数列是首项为1，公比为3的等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn.

思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转1

化为首项为1，公比为3的等比数

列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了． [解] (1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

[解] 设等比数列为{an}，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，1则q＝2，

33

又an和an＋1为中间两项，则an＋an＋1＝128，即a1qn－1＋a1qn＝128， 11

又a1＝2，q＝2， 1?1??2?∴2·??

n－1

S偶S奇

＝q.

1?1?31?1??2?＝?·??＋2·??1282?2?

n

n－1

1?3?1＋??·＝2?128?n＝6. ?

∴项数为2n＝12. 则此等比数列的项数为12. [规律方法] 1．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项S偶S奇－a1数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)． S奇S偶2．等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1).

分组求和法

已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此

1

数列是首项为1，公比为3的等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn.

思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转1

化为首项为1，公比为3的等比数

列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了． [解] (1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

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