高考数学大一轮复习第九章第50课线面平行与面面平行要点导学

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课 线面平行与面面平行要点导学

要点导学 各个击破

线面平行的判定与证明

如图(1),在等边三角形ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是BC 的中点,AF 与

DE 交于点G,将△ABF 沿AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,求证:DE ∥平面

BCF.

图(1) 图(2)(例1) [思维引导]将平面图形折成空间图形要弄清折前折后不变的关系,如AD DB =AE

EC .

[证明]在等边三角形ABC 中,AD=AE, 所以AD DB =AE

EC ,在折叠后的三棱锥A-BCF 中也成立,所以DE ∥BC.

因为DE ?平面BCF,BC 平面BCF,

所以DE ∥平面

BCF.

(2014·山东卷)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AP ⊥平面PCD,AD ∥BC,AB=BC=1

2AD,E,F 分别

为线段AD,PC 的中点,求证:AP ∥平面

BEF.

(变式1)

[证明]设AC ∩BE=O,连接OF,CE.

由于E 为AD 的中点,

2 AB=BC=1

2AD,AD ∥BC.

所以AE ∥BC,AE=AB=BC,

因此四边形ABCE 为菱形,

所以O 为AC 的中点.

又F 为PC 的中点,

因此在△PAC 中,AP ∥OF.

又OF 平面BEF,AP ?平面BEF,

所以AP ∥平面BEF.

如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥底面ABCD,AD ⊥AB,CD ∥AB,AB=2,CD=3,点M,N 分别是PA,PB 的中点

.

(变式2)

(1) 求证:MN ∥平面PCD;

(2) 求证:四边形MNCD 是直角梯形.

[证明](1) 因为点M,N 分别是PA,PB 的中点,

所以MN ∥AB.

因为CD ∥AB,所以MN ∥CD.

又因为CD 平面PCD,MN ?平面PCD,

所以MN ∥平面PCD.

(2) 因为MN=1

2AB=1,ED=3,

所以MN ≠CD,又MN ∥CD,

所以四边形MNCD 是梯形.

因为AD ⊥AB,CD ∥AB,所以CD ⊥AD,

又因为PD ⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,

所以CD ⊥PD,又AD ∩PD=D,

所以CD ⊥平面PAD.

3 因为MD 平面PAD,所以CD ⊥MD,

所以四边形MNCD 是直角梯形.

线面平行的性质的应用

(2014·泰州模拟改编)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,E 是PC 的中点,F 为

线段AC 上一点.若EF ∥平面PBD,求AF

FC 的值

.

(例2)

[思维引导]通过线面平行的性质,将空间的问题转化到一个平面PAC 中,通过EF ∥PO 来确定

点F 的位置,求出AF

FC 的值.

[解答]设AC ∩BD=O,连接PO.

因为EF ∥平面PBD,底面ABCD 是正方形,平面PBD ∩平面PAC=PO,且EF

平面PAC,所以EF ∥

PO,

又E 是PC 的中点,所以OF=FC,AF=3FC, 即AF

FC =3.

在空间四边形ABCD 中,点E,F,G,H 分别在AB,BC,CD,DA 上,且四边形EFGH 为平行四边形,求证:AC ∥平面

EFGH.

(变式)

[证明]如图,因为四边形EFGH 是平行四边形,所以EF ∥HG.

4 又HG 平面ACD,EF ?平面ACD,

所以EF ∥平面ACD.

又EF 平面ABC,平面ABC ∩

平面ADC=AC,所以EF ∥AC.

又EF 平面EFGH,AC ?平面EFGH,

所以AC ∥平面EFGH.

面面平行的判定

(2014·江苏模拟)如图,在四棱锥E-ABCD 中,△ABD 为正三角形,EB=ED,且AB ⊥BC,M,N 分别为线段AE,AB 的中点,求证:平面DMN ∥平面

BEC.

(例3)

[思维引导]分别证MN ∥平面BCE 和BC ∥平面BCE,再利用面面平行的性质定理进行证明.

[证明]因为N 是AB 的中点,△ABD 为正三角形,

所以DN ⊥AB.

因为BC ⊥AB,所以DN ∥BC.

因为BC 平面BCE,DN ?平面BCE,所以BC ∥平面BCE.

又因为M 为AE 的中点,所以MN ∥BE.

因为MN ?平面BCE,BE 平面BCE,所以MN ∥平面BCE,

因为MN ∩DN=N,所以平面MND ∥平面BCE.

[精要点评]在利用面面平行的性质定理进行证明时,不能直接根据DN ∥BC 和MN ∥BE 得出平面DMN ∥平面BEC.

如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M,N,Q 分别是AA 1,BB 1,B 1C 1的中点,求证:平面ABC 1∥平面MNQ.

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(变式)

[证明]在△B 1BC 1中,因为N,Q 分别为B 1B,B 1C 1的中点,所以QN ∥BC 1,

又因为QN ?平面ABC 1,BC 1平面ABC 1,

所以QN ∥平面ABC 1.

在矩形A 1B 1BA 中,因为M,N 分别为AA 1,BB 1的中点,

所以MN ∥AB,又MN ?平面ABC 1,AB 平面ABC 1,

所以MN ∥平面ABC 1.

又因为QN ∩MN=N,QN,MN 平面MNQ,

所以平面MNQ ∥平面ABC 1.

直线与平面平行的探索问题

(2014·四川卷)在如图所示的多面体中,四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形.设D,E 分别是线段BC,CC 1的中点,在线段AB 上是否存在一点M,使直线DE ∥平面A 1MC?请证明你的结论

.

(例4)

[思维引导]对于求某个特殊位置上的点这类问题,一种办法是由猜想定下点的位置,后证明;另一种办法是可先假定存在这个点,然后再根据点的特点找到这个点所满足的条件.

[解答]线段AB 上存在点M,且M 为AB 的中点,使得直线DE ∥平面A 1MC.证明如下:

取线段AB 的中点M,连接A 1M,MC,A 1C,AC 1,连接MD,OE,OM.

设O 为A 1C,AC 1的交点,

则MD,OE 分别为△ABC,△ACC 1的中位线,

所以MD ∥AC,且MD=1

2AC,

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