第七章 积分的应用教案

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课程 数学 2006 /2007 学年一学期 教师 张爱芹 授课日期 班 级 课 题： 第一节 定积分的几何应用 教学目标： 理解定积分应用的微元法 会用定积分求平面图形的面积、体积 了解平面曲线的弧长求法 重点难点： 用“微元法”确定所求量的“微元”，求平面图形的面积是重点； 用微元法将问题归结为定积分问题是难点 教学方法： 综合法 教 具： 三角板 教学参考书： 无 课后作业： 习题 P 138 2 、 10 教学札记： 通过练习，学生利用定积分法的微元法求平面图形的面积时，画出平面图形感觉难度大，故应复习有关旧知识。另外，找所求量的微元部分学生感觉有难度。 编写日期： 滨州职业学院教案附页

第一节 定积分在几何上的应用 一、定积分的微元法 将实际问题转化为定积分定义中的“分割、近似代替、求和、取极限”的方法称为定积分的微元法，简称为微元法．用微元法解决实际问题可归结为： （1）选取积分变量：根据具体问题，适当选取坐标系，确定积分变量及其变化区间[a,b]． （2）确定被积式：在区间[a,b]内任取一个小区间[x,x?dx]，“以不变代变”求得整体量A相应于该区间[x,x?dx]上的部分量?A的近似值?A?f(x)dx， 其中f(x)dx称为量A的微元，记为dA，即dA?f(x)dx （3）求定积分：以所求量A的微元f(x)dx为被积式，在区间[a,b]上直接取定积分（即把求和与取极限两步合并），得 A??f(x)dx a b以上三步，关键是第二步，即要正确地列出所求量A的微元dA?f(x)dx 二、平面图形的面积 由曲线y?f1(x)，y?f2(x)(f1(x)?f2(x))和直线x?a,x?b(a?b)围成的平面图形（见图），求其面积A． 用微元法求解：在[a,b]内任取小区间[x,x?dx]，它所相应的窄图面积，近似等于高为?f1(x)?f2(x)?，底为dx的窄条矩形面积，故微元dA??f1(x)?f2(x)?dx，因此 A???f1(x)?f2(x)? dx a b同理，由曲线x?g1(y),x?g2(y)(g1(y)?g2(y))及y?c,y?d(c?d)围成的平面图形面积（见图）为A?? d c?g1(y)?g2(y)? dy 第 页

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例1 求由曲线y?2?x2和y?x2所围成图形的面积． ?y?2?x2解：先画出草图（见图），解方程组?2?y?x 得两曲线的交点（-1，1）和（1，1），积分变量x从?1变到1，面积 x318A??(2?x)?x dx??(2?2x)dx?4?(1?x)dx?4(x?)0?． ?1 ?1 033 1?22? 12 12例2 求抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成图形面积S（见图）． ?y2?2x解：解方程组? ?y?x?4得两曲线的交点为（2，-2）和（8，4）．取x为积分变量，则 S?2? 2 04222xdx?? 2x?(x?4)dx?x 23 8 4??320222x2?(x??4x)82?18 323?y2?y2y34另解：取y为积分变量，则S???(y?4)??dy?(?4y?)?2?18 ?22?26?显然，取y为积分变量的解法简便． x2y2例3 求椭圆2?2?1的面积S． ab解：由椭圆的对称性知，所求面积应为第一象限部分的4倍（见图）． bx?asintS?4? a2?x2dx 4ab?2cos2tdt 0a 0 a?1?cos2ttsin2t2?4ab?2dt?4ab(?)??ab 02240 ??当b?a时，便得圆的面积S??a2． 三、旋转体的体积 现在我们求由曲线y?f(x)与直线x?a,x?b(a?b)及x轴所围成的平面图形绕x 第 页

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旋转一周而成的旋转体（见图）的体积Vx． 在[a,b]内任取一小区间[x,x?dx]，对应于这个小区间上的旋转体的体积可用底半径为f(x)、高为dx的薄圆柱体的体积来近似代替，即 体积微元dVx???f(x)?dx．于是Vx????f(x)?2dx或Vx??? y2dx． 2 b b a a同理，由曲线x??(y)与直线y?c , y?d (c?d)及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为Vy?????(y)?2dy或Vy???x2dy． c c d dx2y2例1 求由椭圆2?2?1绕x轴旋转而成的椭球体的体积． abx2b2解：Vx???ydx???b(1?2)dx?2?2 ?a ?aaa a2 a2? 0(a a2?x2) dx b22x3a4?2?2(ax?)0??ab2 33a 四、平面曲线的弧长 设曲线y?f(x)在?a,b?上有一阶连续导数,仍用微元法，取x为积分变量，在?a,b?上任取小区间?x,x?dx?，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小?的长度，得弧长微元为ds?MT?(dx)2?(dy)2?1?y?2dx, 弧MN这里ds?(dx)2?(dy)2?x?2(t)?y?2(t)dt 学生练习： 1．求下列曲线所围成的图形的面积： （1）y?4?x2，y?3x （2）y2?x,y?x2 2．求曲线y?sinx在[0,2π]上与x轴所围成图形的面积． 教师与学生一起小结，并使学生明确可用定积分表述量的特征是具有可加性的非均匀分布的整体量，微元与部分量之间的关系是相差一个高阶无穷小。 第 页

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课程 数学 2006 /2007 学年一学期 教师 张爱芹 授课日期 班 级 级机电班 课 题： 第二节 定积分在物理上的应用 教学目标： 了解定积分法的微元法在物理上的应用 会用定积分的微元法求物理问题及一些简单实际问题（变力所作的功及液体的压力 重点难点： 会用定积分的微元法求物理问题及一些简单实际问题 教学方法： 讲授法 教 具： 三角板 教学参考书： 无 课后作业： 习题 P 138 习作题 1 2 教学札记： 通过练习，学生利用定积分法的元素法解决物理上的有关问题的积极性 较高，效果好。 编写日期：

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复习提问: 平面图形的面积及旋转体的体积公式. 第二节 定积分在物理上的应用 一、自学内容： 1、了解定积分在物理上的简单应用（教材P198-201） 2、会利用定积分求变力所作的功及液体的压力。 二、求变力做功的方法 例1 设有一弹簧，假定被压缩0.5cm时需用力1N（牛顿）,现弹簧在外力的作用下 被压缩3cm，求外力所做的功. 解 根据胡克定理，在一定的弹性范围内，将弹簧拉伸（或压缩）所需的力F与伸长量（压缩量）x成正比，即 F =kx （k?0为弹性系数） 按假设 当 x=0.005m时 ，F=1N， 代入上式得 k=2N/m,即有 F=200x, 所以取x为积分变量，x的变化区间为[0，0.03]，功微元为 dW=F(x)dx=200xdx, 于是弹簧被压缩了3cm时，外力所做的功为 W=?0.030.03=0.09（J）. 200xdx=(100x2)00求液体对侧面的压力的方法 例2 一梯形闸门倒置于水中，两底边的长度分别为2a，2b（a?b）,高为h，水面与闸门顶齐平，试求闸门上所受的压力F. a?bx?b, 取水深x为积分变量，x的变化h区间为[0，h]，在[0，h]上任取一子区间[x，x +dx]，与这个小区间相对应的小梯形上各点解 取坐标系如图所示,则AB的方程为 y?处的压强P=?x (?为水的比重), 小梯形上所受 a?bx?b）的水压力dP=(2ydx)?x=2?x（hdx小梯形上所受的总压力为 O x x+dx h x y P??h02?x(a?bx?b)dx ha?bba?bx3x2h?）?b)0=2?（=2?(32h321h2=（2a?b） 3第 页

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课程 数学 2006 /2007 学年一学期 教师 张爱芹 授课日期 班 级 级机电班 课 题： 习题课 教学目标： 通过小结与练习. 了解定积分的应用 重点难点： 是重点也是难点 教学方法： 练习法 教 具： 无 教学参考书： 无 课后作业： 习题见附页 教学札记：通过小结与练习，学生已基本掌握好，但不够 熟练，应多做练习。 编写日期： 滨州职业学院教案附页

本章内容小结 1．本章的重点是定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.学好本章内容的关键是如何应用微元法，解决一些实际问题，这也是本章的难点. 2．首先要弄清楚哪种量可以用积分表达，即用微元法来求它，所求的量F必须满足 （1）与分布区间有关，且具有可加性；（2）分布不均匀，而部分量可以表示出来. 3．用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达式，即微元.如面积微元，功微元.微元一般是部分量的线性主部，求它虽有一定规律，可以套用一些公式，但我们不希望死套公式，而应用所学知识学会自己去建立积分公式,这就需要多下工夫了. 4．用微元法解决实际问题应注意： （1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题； （2）取好微元f(x)dx，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定?A的线性主 部，这关系到结果正确与否的问题. （3）核对f(x)dx的量纲是否与所求总量的量纲一致. 5. 定积分的简单应用 利用定积分的微元法可求平面图形的面积和旋转体的体积，还能解决物理学上的一些实际问题． 检测题 （1）y?f(x)表示奇函数或偶函数，它在区间[?a,a]上与x轴形成的曲边梯形的面积为A?2?f(x)dx 0 a（2）?f(x)dx是y?f(x),x?a,x?b,y?0所围成图形的面积． a b（3）求由曲线y?4?x2，直线x??2,x?2及x轴围成的图形绕x轴旋转所产生的旋转体的体积． 第 页

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