初中数学_八年级数学下学期第七章 《勾股定理》教学设计学情分析教材分析课后反思

《勾股定理》教案

一、教学目标

?知识与技能：

掌握勾股定理，会用勾股定理解决与直角三角形有关的问题. ?过程与方法：

1.经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，积累数学活动经验.

2.尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性，发展推理能力.

?情感、态度与价值观：

通过对勾股定理历史的了解，增强同学们的民族自信心与自豪感，激发学习兴趣。

二、教学重点、难点

重点：掌握勾股定理，会运用勾股定理解决与直角三角形有关的问题. 难点：勾股定理的验证

三、教法、学法

教法：学生自主探索，合作交流.

学法：以创设情境，导入新课引导学生主动参与，通过不断地探究发现，在师生互动中，让学习过程成为主动的认知过程.

四、教学过程

（一）创设情境：

观看视频动态演示勾股定理的仪器

师：看视频，你是不是发现这种现象很神奇，很美妙呢？通过本节课的学习你就能解答这其中的奥妙！出示学习目标板书课题

(设计意图:激发学生的求知欲望.)

（二）探究发现

用8个全等的直角三角形纸片摆放在如图所示的2个正方形内，观察两个图形，思考下面问题：

1.图中两个大正方形的面积相等吗？

2.两幅图中彩色部分的四个直角三角形总面积相等吗？

3.两幅图中空白部分的面积有什么关系？你能用式子表示自己的发现吗？

得出结论

4. 对于这些直角三角形而言，a、b、c分别表示什么？你能用自己的语言叙述这个发现吗？

(设计意图:小问题、小台阶的设计使学生较容易的发现直角三角形三边存在的关系.)

（三）归纳概括

1.勾股定理

在直角三角形中，如果两条直角边分别为a、b,斜边为c，那么也就是说，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.这个结论称为勾股定理.

2.证明方法总结

这个结论的证明过程实际上是一种面积证法，它不同于八（上）学过的综合法。面积证法的基本依据是图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。这种证明方法简单、直观、易懂。这就是传说中毕达哥拉斯的证明方法。

(设计意图: 用动态图片鲜明、形象的解释验证了勾股定理的证明方法面积证法.)

（四）微课小视频勾股史话看视频回答下面问题：

1.我国是谁先发现勾股定理的？

2.在西方又是谁首先发现并证明呢？

3.我国和外国谁早呢？

在我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此就把这一定理称为勾股定理. 在公元前1000多年，据《周髀算经》的记载，商高（公元前11世纪西周时期人）与周公的一段对话中明确指出，如果一个直角三角形的勾为3，股为4，那么弦就是5.这是勾股定理应用的一个特例。因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。

在西方，古希腊的著名数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现并证明了这一定理，传说他杀了一百头牛以庆贺，所以西方人又称这个定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理”．

（设计意图：通过对勾股定理历史的了解，增强同学们的民族自信心与自豪感.）

（五）验证推导

勾股定理是数学中最著名、最重要的定理之一。勾股定理发现至今已有两千多年了，在这两千多年的时间里，世界各国喜爱数学的人们都愿意探讨和研究它的证明.目前世界上关于勾股定理的证明方法多达400多种，这是任何定理无法比拟的。下面让我们一起沿着古人的数学思想和方法来验证推导这一重要而著名定理吧！（设计意图：激发学生对验证勾股定理的兴趣.）

1.想一想（邹元治证法）

你能只利用图2解释勾股定理吗？

大正方形的面积可以表示为

也可以表示为

2.拼一拼

如果改变图2中直角三角形纸片的位置你还能拼成一个边长为c 的正方形吗？

3.试一试（赵爽勾股圆方图证法）

改变四个直角三角形纸片的位置，如图,那么它们组成的大正方

形面积怎么求？

（设计意图：通过想一想、拼一拼、试一试这一系列的活动，使学生经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，积累数学活动经验，体验解决问题策略的多样性，发展推理能力.）

微课小视频2看视频说出

1.我国最早证明出勾股定理的数学家是谁？

2.“青朱出入图证法”是我国哪一位数学家的？

介绍赵爽“勾股圆方图”刘徽青朱出入图

三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。

2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。

4.赏一赏（刘徽青朱出入图证法）

约公元263年，三国时代魏国数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，后人根据这段文字补了一张图。所以后世数学家

都称这图为「青朱入出图」

。

青朱出入图真是“无字的证明”啊！

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明在世界数学史上，具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想和方法更具有科学创新的重大意义。

（设计意图：通过对勾股定理历史的了解，增强同学们的民族自信心与自豪感.）

亲：现在知道其中的奥妙了吧！其实这是验证勾股定理的演示仪器，是不是更加形象、更加直观的验证了勾股定理。（设计意图：照应开头，问题解决.）

（六）勾股定理的应用

勾股定理是数学中最著名，最重要的定理之一，它的应用十分广泛。那么

1.勾股定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？

2.如果已知直角三角形中的任意两条边，怎样运用勾股定理

求第三边的长？

勾股定理揭示了直角三角形中三边之间的数量关系。把这一结论

变形得到：

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系

也就是说如果知道了直角三角形任意两边的长度，就可以利用勾股定理求第三边的长。

1.利用利用勾股定理求第三边的长

（1

）你能求出下面图中的

x吗？鼓励生说第一个，生做第二个

（2）、想一想

如果一个直角三角形它的两条边分别是3、4，那么第三条边是多少？生思考后回答

师：可能有的同学很快就算出了第三边的长是5，其实这个问题应分两种情况进行解答：因为题目中没有明确3和4是直角边还是斜边。

第一种情况：当3和4为直角边时，第三边为斜边答案是5

第二种情况：当3为直角边，4为斜边第三边为直角边。答案是

所以第三边的长是5或

因此，我们在应用勾股定理时，一定要注意分清直角边和斜边。（设计意图：体会数学分类思想.）

2.利用勾股定理解决生活中的实际问题

下面我们再通过两个例题来体会一下勾股定理应用的广泛性。你能解决第一个问题吗？生独立完成例1

例1如图7-4，电线杆AC的高为8m，从电线杆CA顶端A点处扯一根钢丝绳固定在地面上的B点，测得BC的长为6m。钢丝绳AB 的长度是多少？

教师总结：例1是一个实际问题，转化为数学问题就是已知直角三角形的两直角边的长求斜边的问题。勾股定理体现了：从“角”

的的特点，转化到“边”的关系。为我们求线段的长度，开拓了新的途径。解答实际问题时要注意按计算题的步骤和格式写出解答过程。

（设计意图：通过例1自主完成，引导学生在实际问题中提出数学信息，能用数学化的眼光来看问题，并讲后总结，提升了学生认识问题的高度，学生能解一题会一类）

例2.你能解决古代荡秋千的趣题吗？

看视频学习例2回答：

1.在利用勾股定理解决与直角三角形有关问题时，一般步骤

是什么？

2.关键是什么？

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