2013河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试数学53C答案(理)
更新时间:2023-09-25 13:37:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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2013河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试
数学试卷参考答案
4x1
1.B 因为M={x|x>x}={x|0<x<1},N={y|y=,x∈M}={y|<y<2},
22
2
1
所以M∩N={x|<x<1}.
2
1+2i(1+2i)(1+i)-1+3i13
2.C 因为z===,所以z=--i,所表示的点
2221-i(1-i)(1+i)在第三象限.
3.A 由“
-x+233
<1,得-1=<0,所以x<-1或x>2.因为“x>k”是x+1x+1x+1
3
<1”的充分不必要条件,所以k≥2. x+1
-52πa·b1
4.D cos〈a,b〉===-,即向量a、b的夹角为.
|a||b|5×223
5.A 依题得a22=a1a4=(a2-3)(a2+6),解得a2=6,所以a10=a2+8×3=30.
6.A 由a+b+c=3得3-b=a+c两边平方得9-6b+b2=a2+2ac+c2≥2ac+2ac=4b2,即b2+2b-3≤0,解得-3≤b≤1.
7.D 函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,
ωπππ51
由-π+2kπ≤+<ωπ+≤2kπ,k∈Z,解得4k-≤ω≤2k-,
2442451137
又4k--(2k-)≤0且2k->0,得k=1,所以ω∈[,].
24424
8.D y′=x+1,所以切线在点(2,4)处的斜率为3,切线方程为y-4=3(x-2), 2
令x=0,得y=-2,令y=0,得x=,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为
3122S=×|-2|×=. 233
9.A 画出约束条件所表示的平面区域可知,该区域是由点A(1,2),B(3,1),C(4,3x+y3x+3+y-3y-3
2)所围成的三角形区域(包括边界),u===+3.记点P(-1,3),
x+1x+1x+1
3x+y11514
得kAP=kBP=-,kCP=-,所以u=的取值范围是[,].
2525x+1
2-31→→1
10.D ∵2accos B=a2+c2-b2,∴tan B=.∵BC·BA=,∴accos B=,
2accos B22∴tan B=2-3.
【数学试卷· 参考答案 第1页 共5页(理科)】 ·14-10-53C·
11.B ∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1), ∴导函数f′(x)的图象开口向上.
又∵a≠0,∴其图象必为第(3)个图.
由图象特征知f′(0)=0,且-a>0,∴a=-1, 111
∴f(x)=x3-x2+1,故f(-1)=--1+1=-.
333
11
12.C 数形结合:f(x)<?x2-<ax,在x∈(-1,1)时恒成立.在同一直角坐标
221
系中作出函数g(x)=x2-,φ(x)=ax的图象,如图.
2
11-
当a>1时,g(-1)=,依题意,φ(-1)=a1≥g(-1)=,
22∴1<a≤2;
11
当0<a<1时,φ(1)=a≥g(1)=,即a≥,
221
∴≤a<1. 2
1
综上,a的取值范围为[,1)∪(1,2],故选C.
2
ππ
?2π-2π-21-cos xx112
13. ∫20sindx=∫20dx=(x-sin x)?=.
422224?
π
0
14.20 由三视图可知三棱锥的高为3,
11
底面积为×(5+3)×5=20,所以其体积为V=×20×3=20.
23
????????????2→????1→????→?9→???15. 因为AE=2EB,AF=FC,所以AE=AB,AF=AC,所以BF·EF=232?????????????????1→2????1→22→25→→12
1→???(AF-AB)·(AF-AE)=(AC-AB)·(AC-AB)=AC+AB-AB·AC=×2
2234364
【数学试卷· 参考答案 第2页 共5页(理科)】 ·14-10-53C·
2519+×32-×2×3×=. 3622
16.4 当n=1时,2a1=S1+1,得a1=1,
an-
当n≥2时,2(an- an-1)=Sn-Sn-1=an,所以=2,所以an=2n1,
an-1
n1
又∵a1=1适合上式,∴an=2n1,∴a2. n=4
2
∴数列{a2n}是以a1=1为首项,以4为公比的等比数列.
-
-
1·(1-4n)1n222∴a1+a2+?+an==(4-1).
1-4
3
1+
所以(4n-1)<5×2n1,即2n(2n-30)<1,易知n的最大值为4.
3
B+Cπ-A77
17.解:(1)由4sin2-cos 2A=,得4sin2-(2cos2A-1)=,
22221+cos AA77
4cos2-(2cos2A-1)=?4×-2cos2A+1=,得(2cos A-1)2=0,
22221
即cos A=,因为0
2
43×5834abasin B
(2)由cos B=,得sin B=,由正弦定理=,得b===,
55sin Asin Bsin A53
2sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=
331433+4×+×=, 252510
11833+483+18
所以△ABC的面积S=absin C=×3××=.(10分)
2251025
1
18.证明:(1)取PD的中点F,连EF、CF,则EF∥AD且EF=AD,由题意四边
2形BCFE为平行四边形,
∴BE∥CF,又∵BE?平面PDC,CF?平面PDC,∴BE∥平面PDC.(6分) (2)由题意:∵AD2+PD2=AP2,∴PD⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD.又∵AB?平面ABCD,∴PD⊥AB, 又∵BD⊥AB,BD∩PD=D,∴AB⊥平面PBD.(12分)
++
19.解:(1)令4x-2x1-b=0,则b=4x-2x1=(2x)2-2×2x=(2x-1)2-1, ∴当2x=1,即x=0时,b取到最小值,最小值为-1, ∴b≥-1,即实数b的取值范围为[-1,+∞).(4分) (2)由(1)知b≥-1,令f(x)=0,得(2x-1)2-1-b=0. ①当b=-1时,f(x)=(2x-1)2,
【数学试卷· 参考答案 第3页 共5页(理科)】 ·14-10-53C·
由f(x)=0得(2x-1)2=0,∴有唯一解x=0.
②当b>-1时,由f(x)=0得(2x-1)2=1+b,∴2x=1±1+b,
∵2x>0,1+1+b>0,∴2x=1+1+b的解为x=log2(1+1+b); 令1-1+b>0?1+b<1?-1
∴当-1
综合①、②,得当-1
20.解:(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,
∵底面ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∴AC⊥平面PBD, ∵DE?平面PBD,∴AC⊥DE.(5分)
(2)以D为原点,DP,DA,DC所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
设BC=3,则CP=32,DP=3,因为2BE=EP,
易知D(0,0,0),A(0,3,0),C(0,0,3),P(3,0,0),E(1,2,2). →→→
所以CA=(0,3,-3),CP=(3,0,-3),CE=(1,2,-1), →→
设平面ACP的法向量为u=(x,y,z),则u·CA=0,u·CP=0,
??3y-3z=0,即?令x=1,得u=(1,1,1),同理可取平面ACE的法向量v=(-1,1,?3x-3z=0,?
u·v111),所以cos==,所以二面角E—AC—P的余弦值为.(12分)
|u||v|33
21.解:(1)当α=1时,an+1=f(an)=
an11
,两边取倒数,得-=1, 1+anan+1an
11
故数列{}是以=2为首项,1为公差的等差数列,
ana111=n+1,an=,n∈N*.(5分) ann+1(2)当α=2时,an+1=f(an)=
2an, 1+a2n
1+an2an则an+1-an=, 2-an=an(1-an)1+an1+a2n∵0
1+anan+1-an21+an∴an+1-an=an(1-an)≤()· 21+a21+a2nn1+an1
=· 4(1+an)2-2(an+1)+2
【数学试卷· 参考答案 第4页 共5页(理科)】 ·14-10-53C·
2+11111
=·≤·=. 42422-28an+1+-2
an+1∵an=1-an与an+1=
2
不能同时成立,∴上式“=”不成立, an+1
2+1
.(12分) 8
即对?n∈N*,an+1-an<112(x+1)(x-2)
22.解:(1)当a=时,y=f(x)-2g(x)=x2-x-2ln x,y′=x-1-=,
22xx因为x>0,所以当0
处取得极小值f(2)-2g(2)=-ln 4,函数y=f(x)-2g(x)没有极大值.(4分)
(2)令h(x)=f(x)-g(ax)=ax2-x-ln(ax),即h(x)min≥0.
2ax2-x-1
h′(x)=,令p(x)=2ax2-x-1,Δ=1+8a>0,
x1
所以p(x)=0有两个不等根x1,x2,x1x2=-<0,不妨令x1<0 2a 所以h(x)在(0,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增,所以h(x2)=ax22-x2-ln(ax2)≥0成立. 1+x21-x21+x2 因为p(x2)=2ax2,所以h(x2)=-ln≥0. 2-x2-1=0,所以ax2=2x222x21-x1+x1-x(x-1)(x+2)令k(x)=-ln=+ln 2x-ln(1+x),k′(x)=-, 22x22x(x+1)所以k(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以k(x2)≤k(1)=0,又h(x2)= 1-x21+x2 -ln≥0, 22x2 1+x2 所以x2=1代入ax2=得a=1, 2x2所以a∈{1}.(12分) 【数学试卷· 参考答案 第5页 共5页(理科)】 ·14-10-53C·
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