2013河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试数学53C答案（理）

2013河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试

数学试卷参考答案

4x1

1．B 因为M＝{x|x＞x}＝{x|0＜x＜1}，N＝{y|y＝，x∈M}＝{y|＜y＜2}，

22

2

1

所以M∩N＝{x|＜x＜1}．

2

1＋2i（1＋2i）（1＋i）－1＋3i13

2．C 因为z＝＝＝，所以z＝－－i，所表示的点

2221－i（1－i）（1＋i）在第三象限．

3．A 由“

－x＋233

＜1，得－1＝＜0，所以x＜－1或x＞2.因为“x＞k”是x＋1x＋1x＋1

3

＜1”的充分不必要条件，所以k≥2. x＋1

－52πa·b1

4．D cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a、b的夹角为.

|a||b|5×223

5．A 依题得a22＝a1a4＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝6，所以a10＝a2＋8×3＝30.

6．A 由a＋b＋c＝3得3－b＝a＋c两边平方得9－6b＋b2＝a2＋2ac＋c2≥2ac＋2ac＝4b2，即b2＋2b－3≤0，解得－3≤b≤1.

7．D 函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，

ωπππ51

由－π＋2kπ≤＋＜ωπ＋≤2kπ，k∈Z，解得4k－≤ω≤2k－，

2442451137

又4k－－(2k－)≤0且2k－＞0，得k＝1，所以ω∈[，]．

24424

8．D y′＝x＋1，所以切线在点(2，4)处的斜率为3，切线方程为y－4＝3(x－2)， 2

令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为

3122S＝×|－2|×＝. 233

9．A 画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点A(1，2)，B(3，1)，C(4，3x＋y3x＋3＋y－3y－3

2)所围成的三角形区域(包括边界)，u＝＝＝＋3.记点P(－1，3)，

x＋1x＋1x＋1

3x＋y11514

得kAP＝kBP＝－，kCP＝－，所以u＝的取值范围是[，]．

2525x＋1

2－31→→1

10．D ∵2accos B＝a2＋c2－b2，∴tan B＝.∵BC·BA＝，∴accos B＝，

2accos B22∴tan B＝2－3.

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11．B ∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)， ∴导函数f′(x)的图象开口向上．

又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．

由图象特征知f′(0)＝0，且－a＞0，∴a＝－1， 111

∴f(x)＝x3－x2＋1，故f(－1)＝－－1＋1＝－.

333

11

12．C 数形结合：f(x)＜?x2－＜ax，在x∈(－1，1)时恒成立．在同一直角坐标

221

系中作出函数g(x)＝x2－，φ(x)＝ax的图象，如图．

2

11－

当a＞1时，g(－1)＝，依题意，φ(－1)＝a1≥g(－1)＝，

22∴1＜a≤2；

11

当0＜a＜1时，φ(1)＝a≥g(1)＝，即a≥，

221

∴≤a＜1. 2

1

综上，a的取值范围为[，1)∪(1，2]，故选C.

2

ππ

?2π－2π－21－cos xx112

13. ∫20sindx＝∫20dx＝(x－sin x)?＝.

422224?

π

0

14．20 由三视图可知三棱锥的高为3，

11

底面积为×(5＋3)×5＝20，所以其体积为V＝×20×3＝20.

23

????????????2→????1→????→?9→???15. 因为AE＝2EB，AF＝FC，所以AE＝AB，AF＝AC，所以BF·EF＝232?????????????????1→2????1→22→25→→12

1→???(AF－AB)·(AF－AE)＝(AC－AB)·(AC－AB)＝AC＋AB－AB·AC＝×2

2234364

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2519＋×32－×2×3×＝. 3622

16．4 当n＝1时，2a1＝S1＋1，得a1＝1，

an－

当n≥2时，2(an－ an－1)＝Sn－Sn－1＝an，所以＝2，所以an＝2n1，

an－1

n1

又∵a1＝1适合上式，∴an＝2n1，∴a2. n＝4

2

∴数列{a2n}是以a1＝1为首项，以4为公比的等比数列．

－

－

1·（1－4n）1n222∴a1＋a2＋?＋an＝＝(4－1)．

1－4

3

1＋

所以(4n－1)<5×2n1，即2n(2n－30)<1，易知n的最大值为4.

3

B＋Cπ－A77

17．解：(1)由4sin2－cos 2A＝，得4sin2－(2cos2A－1)＝，

22221＋cos AA77

4cos2－(2cos2A－1)＝?4×－2cos2A＋1＝，得(2cos A－1)2＝0，

22221

即cos A＝，因为0

2

43×5834abasin B

(2)由cos B＝，得sin B＝，由正弦定理＝，得b＝＝＝，

55sin Asin Bsin A53

2sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝

331433＋4×＋×＝， 252510

11833＋483＋18

所以△ABC的面积S＝absin C＝×3××＝.(10分)

2251025

1

18．证明：(1)取PD的中点F，连EF、CF，则EF∥AD且EF＝AD，由题意四边

2形BCFE为平行四边形，

∴BE∥CF，又∵BE?平面PDC，CF?平面PDC，∴BE∥平面PDC.(6分) (2)由题意：∵AD2＋PD2＝AP2，∴PD⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.又∵AB?平面ABCD，∴PD⊥AB， 又∵BD⊥AB，BD∩PD＝D，∴AB⊥平面PBD.(12分)

＋＋

19．解：(1)令4x－2x1－b＝0，则b＝4x－2x1＝(2x)2－2×2x＝(2x－1)2－1， ∴当2x＝1，即x＝0时，b取到最小值，最小值为－1， ∴b≥－1，即实数b的取值范围为[－1，＋∞)．(4分) (2)由(1)知b≥－1，令f(x)＝0，得(2x－1)2－1－b＝0. ①当b＝－1时，f(x)＝(2x－1)2，

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由f(x)＝0得(2x－1)2＝0，∴有唯一解x＝0.

②当b>－1时，由f(x)＝0得(2x－1)2＝1＋b，∴2x＝1±1＋b，

∵2x>0，1＋1＋b>0，∴2x＝1＋1＋b的解为x＝log2(1＋1＋b)； 令1－1＋b>0?1＋b<1?－1

∴当－1

综合①、②，得当－1

20．解：(1)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，

∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD， ∵DE?平面PBD，∴AC⊥DE.(5分)

(2)以D为原点，DP，DA，DC所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

设BC＝3，则CP＝32，DP＝3，因为2BE＝EP，

易知D(0，0，0)，A(0，3，0)，C(0，0，3)，P(3，0，0)，E(1，2，2)． →→→

所以CA＝(0，3，－3)，CP＝(3，0，－3)，CE＝(1，2，－1)， →→

设平面ACP的法向量为u＝(x，y，z)，则u·CA＝0，u·CP＝0，

??3y－3z＝0，即?令x＝1，得u＝(1，1，1)，同理可取平面ACE的法向量v＝(－1，1，?3x－3z＝0，?

u·v111)，所以cos＝＝，所以二面角E—AC—P的余弦值为.(12分)

|u||v|33

21．解：(1)当α＝1时，an＋1＝f(an)＝

an11

，两边取倒数，得－＝1， 1＋anan＋1an

11

故数列{}是以＝2为首项，1为公差的等差数列，

ana111＝n＋1，an＝，n∈N*.(5分) ann＋1(2)当α＝2时，an＋1＝f(an)＝

2an， 1＋a2n

1＋an2an则an＋1－an＝， 2－an＝an(1－an)1＋an1＋a2n∵0

1＋anan＋1－an21＋an∴an＋1－an＝an(1－an)≤()· 21＋a21＋a2nn1＋an1

＝· 4（1＋an）2－2（an＋1）＋2

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2＋11111

＝·≤·＝. 42422－28an＋1＋－2

an＋1∵an＝1－an与an＋1＝

2

不能同时成立，∴上式“＝”不成立， an＋1

2＋1

.(12分) 8

即对?n∈N*，an＋1－an<112（x＋1）（x－2）

22．解：(1)当a＝时，y＝f(x)－2g(x)＝x2－x－2ln x，y′＝x－1－＝，

22xx因为x>0，所以当02时，y′>0，所以函数y＝f(x)－2g(x)在x＝2

处取得极小值f(2)－2g(2)＝－ln 4，函数y＝f(x)－2g(x)没有极大值．(4分)

(2)令h(x)＝f(x)－g(ax)＝ax2－x－ln(ax)，即h(x)min≥0.

2ax2－x－1

h′(x)＝，令p(x)＝2ax2－x－1，Δ＝1＋8a>0，

x1

所以p(x)＝0有两个不等根x1，x2，x1x2＝－<0，不妨令x1<0

2a

所以h(x)在(0，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增，所以h(x2)＝ax22－x2－ln(ax2)≥0成立．

1＋x21－x21＋x2

因为p(x2)＝2ax2，所以h(x2)＝－ln≥0. 2－x2－1＝0，所以ax2＝2x222x21－x1＋x1－x（x－1）（x＋2）令k(x)＝－ln＝＋ln 2x－ln(1＋x)，k′(x)＝－，

22x22x（x＋1）所以k(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 所以k(x2)≤k(1)＝0，又h(x2)＝

1－x21＋x2

－ln≥0， 22x2

1＋x2

所以x2＝1代入ax2＝得a＝1，

2x2所以a∈{1}．(12分)

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