极射赤平投影原理

实习三 极射赤平投影原理

概述 1、目的要求

学习赤平投影原理，了解赤平投影在构造地质学中的应用。 2、主要内容 赤平投影的原理 面、线的投影 β图解和π图解 等密度图 面和线的旋转

赤平投影在构造地质学中的应用 3、本章要点

赤平投影的原理（投影方法结合具体作业掌握） 赤平投影应用（节理、褶皱和断层分析） 4、要求掌握的要点和基本概念 面、线的投影方法

不同类型褶皱岩层极点图的特点（如紧闭，宽缓、等斜褶皱等；水平直立、平卧、倾竖褶皱等） 等密度图及古应力场分析

二、说明

极射赤平投影（Stereographic projection）简称赤平投影，主要用来表示线、面的方位，相互间的角距关系及其运动轨迹，把物体三维空间的几何要素（线、面）反映在投影平面上进行研究处理。它是一种简便、直观的计算方法，又是一种形象、综合的定量图解，广泛应用于地质科学中。运用赤平投影方法，能够解决地质构造的几何形态和应力分析等方面的许多实际问题，因此，它是研究地质构造的不可缺少的一种手段。

赤平投影本身不涉及面的大小、线的长短和它们之间的距离，但配合正投影图解，互相补充，则有利于解决包括角距关系在内的上述计量问题。

1、面和线的赤平投影 1-1投影原理

一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。

图2为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP为过球心的水平面，即赤平面。

图2 平面的投影 图3 直线的投影

平面的投影方法（图2）设一平面走向南北、向东倾斜、倾角40°，若此平面过球心，则其与下半球面相交为大圆弧PGF，以Ａ点为发射点，PGF弧在赤平面上的投影为PHF弧。PHF弧向东凸出，代表平面向东倾斜、走向南北，DH之长短代表平面的倾角。

直线的投影方法（图3）设一直线向东倾伏、倾伏角40°，此线交下半球面于G点。以A为发射点，球面上的G点在赤平面上的投影为H。HD的长短代表直线的倾伏角、D的方位角即直线的倾伏向。同理，一条直线向南西倾伏、倾伏角20°，此线交下半球面于J点，其赤平投影为K。

为了准确、迅速地作图或量度方向，可采用投影网。常用的有吴尔福网（简称吴氏网，也称等角距网）（图4A）和旋密特网（等面积网）（图4B），以及据其改换形式而成的极等角度网（图4C）和极等面积网（赖特网）（图4D）。吴尔福网与施密特网基本特点相同，下面以吴尔福网为例介绍投影网。

2吴尔福投影网（图4Ａ）

图4 投影网

A-吴尔福网 B-施密特网 C-极等角度网 D-极等面积网（赖特网）

1-2-1结构要素

基圆 即赤平面与球面的交线，是网的边缘大圆。由正北顺时针为0°－360°，每小格2°，表示方位角，如走向、倾向、倾伏向等。

两个直径 分别为南北走向和东西走向直立平面的投影。自圆心→基圆为90°→0°，每小格2°，表示倾角、倾伏角。 经线大圆 是通过球心的一系列走向南北、向东或向西倾斜的平面的投影，自南北直径向基圆代表倾角由陡到缓的倾斜平面。 纬线小圆 是一系列不通过球心的东西走向的直立平面的投影。它们将南北向直径、经线大圆和基圆等分，每小格2°。 1-2-2 操作

将透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，描绘基圆及“＋”字中心，固定网心，使透明纸能旋转。然后在透明纸上标上N、E、S、W。

平面的投影 标绘产状SE120°∠30°的平面（图5）。

将透明纸上的指北标记Ｎ与投影网正北重合，以北为0°，在基圆上顺时针数至120°得一点D，为平面的倾向（图6A）。

转动透明纸将D点移至东西直径上（转至南北直径也可），自D点向圆心数30°得C点，标绘C所在的经线大圆弧（图6B中之ACB），AB为平面的走向。

转动透明纸，使指北标记与投影网正北重合，ACB图5 产状120°∠30°平面的透视图

大圆弧即为SE120°∠30°平面的投影（图6C）。

图6 平面的投影步骤 （说明见正文） P-透明纸 M-吴氏网

直线的投影 标绘产状为NW330°∠40°的直线。

使透明纸上正北标记N与投影网正北重合，以N为0°，在基圆上顺时针数至330°得一点A，为直线的倾伏向（图7A）。

把A点转至东西直径上（转至南北直径也可），由A点向圆心数40°得A′点（图7B）。

把透明纸的指北标记转至与投影网正北重合，A′即为产状NW330°∠40°的直线的投影（图7C）。

图7 直线的投影步骤 P-透明纸 M-吴氏网

法线的赤平投影 是指平面法线的产状标绘。法线的投影是极点，平面的投影是圆弧，二者互相垂直，夹角相差90°。往往用法线的投影代表与其相对应的平面的投影，这样较为简单。

例 求产状为E90°∠40°的平面法线的投影（图8）

图8 法线的投影 A-透视图 B-赤平图

标绘出产状90°∠40°的平面投影大圆弧，自该平面倾斜线投影D′点在东西向直径上数90°，显然已越过圆心进入相反倾向，得P′点，该点即为产状90°∠40°平面的法线投影－极点。

也可自圆心向反倾向数40°，即得法线投影。

已知真倾角求视倾角 某岩层产状为NW330°∠40°，求在NW335°方向剖面上该岩层的视倾角（图9）。

据岩层面产状作其投影弧EHF。

在基圆上数至NW335°得D′点。

作D′点与圆心O的连线，交EHF于H′点。Ｈ′为岩层面与NW335°方向剖面的交线在下半球的投影。 D′H′间的角距即为NW335°方向上的视倾角。 求两平面交线的产状（图10）

据已知的两平面产状，在吴氏网上分别求出其投影大圆弧EHF和JHK。两大圆弧的交点Ｈ即为两平面交线与下半球面交点的投影。

图9 已知真倾角，求视倾角 图10 求两平面交线的产状

作Ｈ与圆心O的连线，交基圆于G点，G点的方位角即两平面交线的倾伏向，GH间的角距为交线的倾伏角。

求两相交直线所决定的平面的产状

已知两相交直线的产状分别为SE120°∠36°和S180°∠20°，求其所决定的平面的产状（图11）。

图11 两相交直线所决定的平面的投影

A-透视图 B-投影图

据已知产状作出两直线的投影点D′、F′。

转动透明纸使D′、F′两点位于同一经线大圆弧上，AＦ′D′B大圆弧即为两相交直线所共平面的投影。

求平面上直线的投影 已知一平面产状S180°∠37°，该平面上一直线侧伏向E，侧伏角44°，求直线的倾伏向、倾伏角（图12）。 依平面产状作出其投影大圆弧，并标出其朝东的走向A。

将大圆弧转至SN方向，自A点数经线大圆与纬线小圆的交点，读出侧伏角44°（θ），标出该点C″，C″为直线在平面上的投影。 C″C′间的角距γ即为直线的倾伏角，C′的方位角则为直线的倾伏角。 1-3小结

一切面状构造、如岩层面、断层面、劈理、流面、褶图12 平面上直线的投影 皱轴面等的投影方法，都可采用空间平面的投影方法。一切线状构造、如二平面的交线、走向线、倾斜线、擦痕、流线、褶皱的枢纽、轴迹等的投影方法，都与直线的投影相同。这些面状和线状构造的产状要素都可以借助于前述赤平投影的方法求得。利用这些方法可以解决以下构造问题。

已知岩层产状，求某一方向剖面上的岩层视倾角；

已知岩层在两剖面方向上的视倾角，求岩层的走向、倾向和倾角； 求断层面与岩层面交迹线的产状；

已知断层面产状及其上擦痕的侧伏角，求擦痕的倾伏向、倾伏角； 求一对共轭剪节理的交线（即变形椭球体的B轴）的产状。

2、β图解和π图解 2-1 β图解

β图解是指以褶皱面各点的切面所作的经线大圆图解。在理想的圆柱状褶皱中，各切面交线相互平行，并与褶皱枢纽平行。这些经线大圆应交于一点（β），该点称为β轴，即褶皱枢纽的投影（图13）。

对非圆柱状褶皱，可按其变化情况划分成若干区段，各个区段的褶皱形态是近于圆柱状的。采用这种方法也可用β图解法研究非圆柱状褶皱的形态和产状。

图13 β图解

A- 立体图 B-赤平投影图

2-2 π图解

π图解是指褶皱面各部位法线的赤平投影图解。对圆柱状褶皱来说，同一褶皱面的极点在赤平投影网上将落在一个特定的大圆弧上或其附近。这个大圆弧即π圆，π圆的极点代表β轴，与褶皱的褶轴平行（图14）。

3、两面夹角的测量及面的旋转方法 3-1 两面夹角及角平分线的测量

作一平面垂直于两相交平面的交线，即为同时垂直于两平面的公垂面，此平面的投影大圆弧与两平面投影大圆弧相交，其间夹角即所求的夹角，夹角的一半为角平分线。

例：如图15，已知两平面的产状分别为SW245°∠30°及SE145°∠48°，求两平面的夹角及及平分线。操作步骤如下： 标绘两平面AB和CD及其交线P点。

旋转透明纸使交点Ｐ落在投影网的东西直径上，标绘出以P点为极点的大圆弧FG。该大圆弧与两已知平面的投影相交，其间的角距即为两平面的夹角。

图14 π图投影法及求褶皱枢纽（褶轴）的原理

两平面夹角的１／２处Q点，即为角平分线的投影。

如上述两平面代表一对共轭剪节理时，则P为变形椭球体B轴，其钝角及锐角平分线分别为变形椭球体的A轴和C轴。

3-2 面的旋转方法

图15 两相交平面的夹角及角平分线 已知某平面的产状，求依某一方向旋转一定角度后

此面的投影。 3-2-1 操作

平面与球面的交线为一大圆，这一大圆是由许多点组成的，因此，大圆的旋转实际上是组成此大圆的许多点的旋转。球面任一点绕定轴旋转，如果这一旋转轴与南北直径重合，则该点的旋转迹为一圆，此圆为东西向的直立平面，其投影与吴尔福网的纬线小圆重合。因此，只要求出大圆上各点绕定轴旋转后的位置，即可得到旋转后平面的投影。

例 已知平面FE向东倾斜，如这个平面绕走向南北的水平轴旋转30°，求旋转后的平面产状（图16）。操作步骤如下：

图16 平面绕定轴旋转的方法

（１）将FE大圆弧上的若干点沿其所在的纬线小圆逆时针旋转30°（见粗箭头所示）到新位置。

（２）在吴尔福网上旋转，将逆时针旋转30０°后各点的新位置转至同一经线大圆弧上，得新的大圆弧F′E′，F′E′即为旋转后

平面的投影。

3-2-2 应用

已知一角度不整合上覆新地层的产状为SW240°∠30°，下伏老地层产状为SE120°∠40°，求新地层水平时，下伏老地层的产状（图17）。

JNM大圆弧为老地层产状的投影，EHF大圆弧为上覆新地层产状的投影。

将新地层产状恢复水平。使EHF大圆弧与南北向经线大圆弧重合，将弧上各点按30°（倾角）角距沿纬线小圆向基圆转动，得到与基圆相合的EKF，即为呈水平状态的新地层的投影。

（２）将老地层向相同方向旋转相同角度，使JNM大圆弧上各点沿纬线小圆向W移30°，如图箭头所示各点的新位置，将各点新位置转至同一经线大圆上，所得之J′N′M′大圆弧即是当新地层水平时老地层的产状。

图17 沿水平轴的旋转投影

3-3 小结

在构造研究中各种面状构造的夹角及其角平分线和面状构造的旋转都可运用上述方法求解。这类问题有： 求两节理面的交角及交线。

据共轭剪节理求主应力轴产状。

已知不整合面上、下地层的产状，求年轻地层沉积时老地层的产状。 在倾斜岩层中，求交错层理或砾石在沉积时的产状。 恢复早期节理受后期构造变动影响前的产状等。 三、练习题 练习题（1）

投影平面SW245°∠30°。 ２．投影直线NE42°∠62°。

３．投影平面NW318°∠26°的法线（即极点）。

４．投影包含直线SW258°∠40°及NE42°∠60°的平面。

已知铁矿层产状为SE154°∠40°，求下列各方向剖面上的视倾角：NE80°、NW330°、SW190°、SW240°。

在公路转弯处的两陡壁上，测得板状含金石英脉的视倾斜线产状分别为SE120°∠16°和SW227°∠22°，求该板状含金石英脉的真倾斜。

岩层面产状为SE150°∠40°，岩层面上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦痕线的倾伏向和倾伏角（提示：作出岩层面大圆弧后，由大圆弧走向的SW端沿大圆弧数30°，即得擦痕线的投影点，该点的产状即为所求）。

求平面SW245°∠30°及SE145°∠48°的交线。 练习题（2）

一褶皱的石灰岩层产状如下：NE74°∠61°、ＮＷ318°∠70°、NE41°∠51°、NW348°∠55°、NE15°∠49°。

用β图解求出其枢纽的倾伏向、倾伏角。 用π图解求出其枢纽的倾伏向、倾伏角。

根据图18平面地质图上向斜两翼的产状数据，推断鞍状矿层的倾伏向和倾伏角（即向斜枢纽产状），并指出钻孔应布置在地表铁矿层露头的什么方向线上才能探到地下的铁矿层，沿图上AA′的线布置钻孔是否适宜？

图上的地层产状是①SE143°∠37°，②SE104°∠30°，③直立、走向104°，④SE154°∠44°。

一个背斜两翼产状为NE46°∠50°和NW344°∠20°，在一个产状为SW184°∠80°的陡壁面上测得该背斜轴迹的侧伏角为60°W，求该背斜的轴面产状（提示：先作出两翼的交线得到枢纽，再作轴迹投影，枢纽与轴迹所共的大圆弧即轴面投影）。

练习题（3）

１．求平面NW335°∠30°与平面SW235°∠48°的夹角，以及夹角平分线的产状。

２．一圆柱状背斜北西翼产状为NW330°∠45°，北东翼产状为NE65°∠35°。求：①东西向直立剖面上两翼的视倾角及两翼的翼间夹角；②横截面（垂直枢纽的剖面）的产状、横截面上两翼的侧伏角及两翼的翼间夹角。

3. 某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组产状为SW190°∠76°，另一组为NW278°∠53°，求三个主应力轴产状（假定两组剪节理锐角等分线方向为σ１方向）。

某岩层具有同期三组节理，统计结果如表1，试求各主应力轴方位。

图18 平面地质图

表1

节理组 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 节理产状 NE16°∠64° NW353°∠62° NW336°∠63° 特 征 剪节理 张节理 剪节理 一条左行断层，产状为SW220°∠60°，在断层面上量得擦痕侧伏角16°Ｗ，设该岩石内摩擦角φ为30°。求σ１、σ２、σ３的产状，如有共轭断层，其产状多少？

一断层产状270°∠70°，派生张节理产状为SW240°∠40°，求二者夹角，并分析断层滑移方向及断层类型。 一砂岩层产状为SE120°∠30°，其中发育交错层理，前积纹层产状为SE150°∠50°，求前积纹层原始产状。 不整合面产状为SW200°∠30°，下伏地层产状NW315°∠60°，求当上覆地层水平时，下伏地层的产状。

不整合面产状为SW220°∠20°，其下伏地层中发育的背斜东翼产状SE132°∠23°、西翼产状SW250°∠46°，求在上覆地层沉积时背斜两翼地层及枢纽的产状。

四、思考、讨论题

l 与正投影相比，赤平投影有何特点？

l 与玫瑰花图相比，赤平投影图有何优点或缺点？

一条左行断层，产状为SW220°∠60°，在断层面上量得擦痕侧伏角16°Ｗ，设该岩石内摩擦角φ为30°。求σ１、σ２、σ３的产状，如有共轭断层，其产状多少？

一断层产状270°∠70°，派生张节理产状为SW240°∠40°，求二者夹角，并分析断层滑移方向及断层类型。 一砂岩层产状为SE120°∠30°，其中发育交错层理，前积纹层产状为SE150°∠50°，求前积纹层原始产状。 不整合面产状为SW200°∠30°，下伏地层产状NW315°∠60°，求当上覆地层水平时，下伏地层的产状。

不整合面产状为SW220°∠20°，其下伏地层中发育的背斜东翼产状SE132°∠23°、西翼产状SW250°∠46°，求在上覆地层沉积时背斜两翼地层及枢纽的产状。

四、思考、讨论题

l 与正投影相比，赤平投影有何特点？

l 与玫瑰花图相比，赤平投影图有何优点或缺点？

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