初中数学数与式

初中数学数与式

第一章实数

★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆

一、重要概念

1 ?数的分类及概念

数系表：

｛整数

数 （有限或无限循环性数

分数 实数V

.无理数（无限不循环小数）｛正无理数

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

2.

非负数：正实数与零的统称。 （表为：x > 0）

常见的非负数有：

2 a （a 为一切实数）

.I a I 、a （a > 0）

性质：若干个非负数的和为 0，则每个非负担数均为 0。

3 ?倒数：①定义及表示法

②性质：A.a 丰 1/a （土 1） ;B.1/a 中，a 丰 O;C.O v a v 1 时 1/a > 1;a

> 1 时，1/a v 1;D.积为 1。

4 ?相反数： ①定义及表示法

②性质：A.a 丰0时，-a;B.a 与-a 在数轴上的位置；C.和为0,商为-1。

5.数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小；B.明确体现绝对值意义；C.建立点与实数 的一一对应关系。 6 .奇数、偶数、质数、合数（正整数一自然数）

定义及表示： 厂正整数

Y 0 ）.负整数 -正分数 -负分数

有理数

无理数

?整数

一分数

「整数 有理数

无理数

分数

实数

奇数：2n-1

偶数：2n （ n 为自然数）

7 .绝对值：①定义

代数定义： 几何定义：数 a 的绝对值顶的几何意义是实数

a 在数轴上所对应的点到原点

的距离。 ②I a I > 0,符号“II”是“非负数”的标志 ；③数a 的绝对值只有一个；④ 处理任何类型的题

目，只要其中有“II”出现，其关键一步是去掉“II”符 号。

二、 实数的运算

1. 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2. 运算定律（五个一加法［乘法］交换律、结合律；［乘法对加法的］ 分配律）

3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算；B.（同级运算）从“左”

1

到“右”（如5十丄X 5） ;C.（有括号时）由“小”到“中”到“大”。

5

三、 应用举例（略） 附：典型例题

1. 已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：I x-a I + I x-b I

=b -a.

ax b

2. 已知：a-b=-2且ab<0, （a * 0, b 丰0）,判断a 、b 的符号。

第二章 代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内

容提要☆

一、重要概念 分类：

"整式Y 单项式 -有理式彳呑十1多项式

代数式彳千钿十分式 L 无理式

1. 代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2. 整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。— 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。—

3. 单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。

（数字与字母的积一包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开

;根据整式中有否加减运算，把单 项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，

是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代 数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， （两种） 「a(a > 0)

「a(a<0)

2

—=x, ... x2= I x I 等。

x

4. 系数与指数

区别与联系：①从位置上看；②从表示的意义上看

5. 同类项及其合并

条件：①字母相同；②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律

6. 根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理_

注意：①从外形上判断；②区别：,3、,7是根式，但不是无理式（是无理数）。

7. 算术平方根

⑴正数a的正的平方根（,a [a > 0—与“平方根”的区别]）;

⑵算术平方根与绝对值

①联系：都是非负数，a2= I a I

②区别：|a I中，a为一切实数；?一a中，a为非负数。

8. 同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9. 指数

⑴ a ? a…a=a n （a n—幂，乘方运算）

n个

①a>0时，a n>0；②a v0时，a n>0（n是偶数），a n v 0（n是奇数）

⑵零指数：a0=1（a工0）

负整指数：a p=1/a p（0,p是正整数）

二、运算定律、性质、法则

1 ?分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2.分式的性质

⑴基本性质：b= bm（m^ 0）

a am

⑵符号法则：b」卫

a a a

⑶繁分式：①定义；②化简方法（两种）

3?整式运算法则（去括号、添括号法则）

-a n= a mn;② a m十a n=a m n；③(a m)n= a mn

④(ab)n= a n b n；⑤(a)n

b

技巧：（b）p

a 5?乘法法则：

（b）P

⑴单X单；⑵单X多；⑶多X多。

6.乘法公式: （正、逆

用）

2 2 2

(a b) a 2ab b

(a

7?除法法则:

&因式分解：求根公式法。

(a+b) (a-b)=a2 b2

士b) (a2ab b2) =a3 b3

⑴单十单；⑵多十单。

⑴定义；⑵方法：A.提公因式法；B.公式法；C.十字相乘法；D.分组分解法；E.

9 ?算术根的性质：.a2=a ；(Va)2a(a 0) ^/ab Va -Jb (a > 0,b > 0)；

a . a

(a > 0,b > 0)(正用、逆用)

10.根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）；⑵乘、除法法则；⑶分母有理

化: A. 1；B. - b旦;C.

.a a a ma n, b

11.科学记数法：a 10n（K a v 10,n是整数=

三、应用举例（略）

四、数式综合运算（略）

4?幕的运算性质：① a m

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/01gj.html