《数值分析》教学大纲

数值分析

《数值计算》教学大纲

【课程名称】数值计算（Numerical Computation）

【课程代码】 【学 分】

【参考学时】 48学时 【讲授学时】48学时

【试验学时】 20学时 【实习学时】

【课程性质】 专业必修课

第一部分 课程目的与任务

一、课程基础：

在学习计算方法之前，要求学生应掌握数学分析（或高等数学）、高等（或线性）代数等数学知识，应具备熟练运用C或C++、FORTRAN语言、Matlab语言等进行程序设计的能力。

二、适应对象：

软件工程专业、计算机科学与技术专业。数学相关专业等可以修读本课程。

三、教学目的：

由于计算机的迅速发展和全面普及，数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域，很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算，新的、有效的数值方法不断出现。科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。所以计算方法既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科（计算数学的主要部分），与其它学科的联系十分紧密。计算方法可作为计算机相关专业的专业基础课。学习本课程之后，以期学生能够在计算机上进行有关的科学与工程计算。

后续课程有计算机图形学、图像处理、模式识别等。

四、内容提要：

研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。数值计算的主要内容包括函数的插值和逼近、数值积分和微分、解线性代数方程组的直接和迭代方法、解非线性方程和方程组的数值方法、矩阵特征值问题计算方法、常微分和偏微分方程数值解等。

五、参考教材：

教 材：

数值分析（第4版），李庆扬、王能超、易大义，清华大学出版社`、施普林格出版社，

数值分析

2001；

参考书：

1.数值分析基础，关治、陆金甫，高等教育出版社，1998；

2.数值逼近，李岳生、黄友谦，人民教育出版社，1978；

3.计算方法引论，徐萃薇，高等教育出版社；

4.矩阵计算与方程求根（第二版），曹志浩、张玉德、李瑞遐，高等教育出版社，1984；

5.微分方程数值解法（第三版），李荣华、冯果忱，高等教育出版社，1996。

第二部分 内容及基本要求

第1章、绪论：

●基本要求：1、熟练掌握误差的基本概念与误差分析的若干原则。2、掌握有效数字的概念。3、了解数值分析的内容。4、实验教学要求：要求学生用三或四周时间自学FORTRAN语言，并要在顺序结构、选择结构、循环结构、数组和模块化设计等五个方面共做三个实验。

●参考学时：2学时

●参考资料：1.《数值分析基础》(关治、陆金甫，高等教育出版社，1998)

2. 《数值逼近》(李岳生、黄友谦，人民教育出版社，1978)

●主要教学内容：

§1、数值分析研究对象与特点

数值分析；数值分析的内容；数值分析的特点；数值分析的学习方法

§2、数值计算的误差

误差来源与分类；误差与有效数字；数值运算的误差估计。

第2章、插值法：

●基本要求：1、熟练掌握拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式。2、掌握埃尔米特插值多项式。3、了解三次样条的概念及样条插值函数的建立方法。4、实验教学要求：本章要求做以下两个实验:⑴ Lagrange插值多项式或Newton插值多项式；⑵ Hermite插值多项式。

●参考学时：10学时

●参考资料：《数值逼近》(李岳生、黄友谦，人民教育出版社，1978)

●主要教学内容：

§1、引言

插值问题及相关概念和术语

数值分析

§2、拉格朗日插值

线性插值与抛物插值；拉格朗日插值多项式；插值余项与误差估计

§3、均差与牛顿插值公式

均差（差商）及其性质；牛顿插值多项式

§4、埃尔米特插值

埃尔米特插值问题；埃尔米特插值多项式及其余项

§5、分段低次插值

高次插值的病态性质；分段线性插值；分段三次埃尔米特插值

§6、三次样条插值

三次样条函数；样条插值函数的建立

第3章、函数逼近与曲线拟和：

●基本要求：1、熟练掌握勒让德正交多项式、最佳平方逼近及其计算方法、最小二乘法。2、掌握切比雪夫正交多项式、最佳一致逼近。3、了解范数和内积的概念。4、实验教学要求：本章要求做一个实验：最小二乘法。

●参考学时：10学时

●参考资料：《数值逼近》(李岳生、黄友谦，人民教育出版社，1978)

●主要教学内容：

§1、函数逼近的基本概念

函数逼近与函数空间；范数与赋范线性空间；内积与内积空间

§2、正交多项式

正交函数族与正交多项式；勒让德多项式；切比雪夫多项式

§3、最佳一致逼近多项式

基本概念及其理论；一次最佳一致逼近多项式

§4、最佳平方逼近

最佳平方逼近及其计算；用正交函数族作最佳平方逼近

§5、曲线拟和的最小二乘法

最小二乘法及其计算；用正交多项式作最小二乘拟和

第4章、数值积分与数值微分：

●基本要求：1．熟练掌握牛顿-柯特斯公式、高斯求积公式。2．掌握代数精度的概念、复化求积公式。3．了解龙贝格算法、理查森外推加速法、数值微分。4．实验教学要求：本

数值分析

章要求做以下两个实验：⑴ 复化求积公式；⑵ Romberg求积公式。

●参考学时：10学时

●参考资料：《数值逼近》(李岳生、黄友谦，人民教育出版社，1978)

●主要教学内容：

§1、引言

数值积分的基本思想；代数精度的概念；插值型的求积公式

§2、牛顿-柯特斯公式

柯特斯系数；偶阶求积公式的代数精度；几种低阶求积公式的余项

§3、复化求积公式

复化梯形求积公式；复化辛普森求积公式

§4、龙贝格求积公式

梯形法的递推化；龙贝格算法；理查森外推加速法

§5、高斯求积公式

一般理论；高斯—勒让德求积公式；高斯—切比雪夫求积公式

§6、数值微分

中点方法与误差分析；插值型的求导公式；利用数值积分求导；三次样条求导；数值微分的外推算法

第5章、解线性方程组的直接方法：

●基本要求：1、熟练掌握高斯消去法、列主元素消去法。2、掌握直接三角分解法。3、了解特殊方程组的解法(解对称正定方程组的平方根法、解对角占优的三对角方程组的追赶法)。4、实验教学要求：本章要求一个实验:列主元Gauss消元法。

●参考学时：8学时

●参考资料：《数值分析基础》(关治、陆金甫，高等教育出版社，1998)

●主要教学内容：

§1、引言与预备知识

引言；向量与矩阵；特殊矩阵

§2、高斯消去法

高斯消去法；矩阵的三角分解

§3、高斯主元素消去法

列主元素消去法；高斯—若当消去法

数值分析

§4、矩阵三角分解法

直接三角分解法

§5、向量与矩阵的范数

第6章、解线性方程组的迭代法：

●基本要求：1、熟练掌握雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法。2、掌握一阶定常迭代法收敛性的基本定理。3、了解解大型稀疏线性方程组迭代法的逐次超松弛迭代法。4、实验教学要求：本章要求做一个实验：Jacobi或Gauss-Seidel迭代法

●参考学时：8学时

●参考资料：《数值分析基础》(关治、陆金甫，高等教育出版社，1998)

●主要教学内容：

§1、引言

迭代法的概念；迭代法收敛的概念

§2、基本迭代法

雅可比迭代法；高斯—塞德尔迭代法；解大型稀疏线性方程组迭代法的逐次超松弛迭代法

§3、迭代法的收敛性

一阶定常迭代法的基本定理；关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性

注：由于学时有限，不能讲到的内容有：

1、非线性方程求根

二分法；牛顿法；弦截法与抛物线法

2、矩阵特征值问题计算

幂法及反幂法；QR方法

3、常微分方程初值问题数值解法等

欧拉法与后退欧拉法；梯形方法；龙格-库塔方法

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