辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试 数学理试题

辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试 数学理试题说明：1.

测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

x????1??1.已知全集为R,集合A??x???1?,B??x|x2?6x?8?0?,则A?CRB?( )

????2??A.?x|x?0? B.?x|2?x?4? C. ?x|0?x?2或x?4? D. ?x|0?x?2或x?4?

2. 如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7?（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 35 3.设a?log36,b?log510,c?log714,则（ ） A．c?b?a

B．b?c?a

C．a?c?b

D．a?b?c

4. ?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，asinBcosC?csinBcosA?1b, 2且a?b,则?B?（ ）

A.

?2?5?? B． C． D．

3366x?1?5.关于x的方程|log0.5x|???的解的个数为（ ）

?2?A. 1 B. 2

C. 3

D. 4

6. 将函数y?sin(2x??)的图象沿x轴向左平移

A.

?的一个可能取值为（ ）

3??4 B.

?个单位后,得到一个偶函数的图象,则84 C. 0 D.?22?4

7.过点(3,1)作圆(x?1)?y?1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为（ ）

A．2x?y?3?0 8. 设函数D(x)??B．2x?y?3?0

C．4x?y?3?0

D．4x?y?3?0

?1，x为有理数，则下列结论错误的是（ ）

?0，x为无理数

A. D（x）的值域为{0,1} B. D（x）是偶函数 C. D（x）不是周期函数 D. D（x）不是单调函数

9.双曲线x?y?1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是 （ ）

A. (－∞，0) B.(1，+∞) C.(－∞，0)∪(1，+∞) D.(－∞，－1)∪(1，+∞)

22??????????????????10.已知两点M(?3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且MN?MP?MN?NP?0，

则动点P(x,y)到点M(?3,0)的距离的最小值为（ ） A.2 B.3 C. 4 D. 6 11.若实数x,y满足x?4y?4，则

22xy的最大值为（ ）

x?2y?2A.

1?21?2 B.1?2 C. D.1?2 2212. ?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，给出下列三个叙述： ①a:b:c?sinA:sinB:sinC ②a:b:c?cosA:cosB:cosC ③a:b:c?A:B:C

以上三个叙述中能作为“?ABC是等边三角形”的充分必要条件的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.

????????213.已知e1,e2是夹角为?的两个单位向量，a?e1?2e2,b?ke1?e2, 若a?b?0，则k

3??的值为 .

14. 抛物线y?x在x?1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x?2y的取值范围是__________.

15. 已知e是自然对数的底数，若函数f?x??e?x?a的图象始终在x轴的上方，则实数

x2a的取值范围 16. 在正项等比数列{an}中，a5?最大正整数n的值为

1，a6?a7?3，则满足a1?a2???an?a1a2?an的2三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

2. 4在?ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，a?2，c?2，cosA??求sinC和b的值.

18. （本小题满分12分）

已知等差数列?an?满足a2?0，a6?a8??10. （I）求数列?an?的通项公式； （II）求数列??an?的前n项和. n?1?2??

19. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y?4x相交于不同的两点A，B.

2????????（I）如果直线l过抛物线的焦点，求OA?OB的值；

????????（II）如果OA?OB??4，证明直线l必过一定点，并求出该定点坐标．

20. （本小题满分12分）

小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从

A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(,如图)这8个点中

任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X?0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

（I）求小波参加学校合唱团的概率； （II）求X的分布列和数学期望.

21. （本小题满分12分）

如图，在x轴上方有一段曲线弧C，其端点A、B在x轴上（但不属于C），对C上任一点P及点F1(?1,0)，满足：F2(1,0)，

|PF1|?|PF2|?22．直线AP，BP分

别交直线l:x?a(a?点．

（Ⅰ）求曲线弧C的方程；

（Ⅱ）求|RT|的最小值（用a表示）；

22. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?lnx?a(x?1)，a?R. (I) 讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)当x?1时，f(x)≤

2)于R，T两

lnx恒成立，求a的取值范围． x?1

沈阳二中2013——2014学年度上学期期中考试 高三（14届）数学（理科）试题参考答案

一、选择题

1—5 DCDAB 6—10 BBCCB 11—12 CC 二、填空题 13.

1?5? 14．??2,? 15. (?1,??) 16. 12

2?4?三、解答题 17.解：sinA?14csinA7csinA7?sinC??，由正弦定理可得sinC? a4a44 ??5分

2222 由a?b?c?2bccosA，得b?b?2?0，由b?0，故b?1.

??10分

?a1?d?0,18. 解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得?

2a?12d??10,?1解得??a1?1,故数列{an}的通项公式为an?2?n. ??6分

?d??1. （II）设数列{anana2，即}的前n项和为SS?a????,故S1?1， nn1n?1n?1222Sna1a2a?????n. 2242n所以，当n?1时，

Sna?aaa?a1112?n?a1?21???nn?1n?1?n?1?(?????)2222n242n?12n

12?nn?1?(1?n?1)?n?n.222

所以Sn?annn 综上，数列{}的前n项和S?. ??12分 .nn?1n?1n?122219解：（I）由题意知，抛物线的焦点为(1,0)， 设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x中消去x得，

y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

????????OA?OB＝x1x2＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.??6分

（II）设l：x＝ty＋b，代入方程y2＝4x消去x得，

y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.

????????∵ OA?OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y

＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b ＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2. ∴直线l过定点(2,0)．??12分

20. 解：（I）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有C8?28种,X?0时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为P(X?0)?（II）两向量数量积X的所有可能取值为?2,?1,0,1 当X?0时，P(X?0)?282?. ??4分 28782?287

1 14当X??2时,有2种情形P?X??2??当X?1时,有8种情形P?X?1??27

5.??8分 140 2 7当X??1时,有10种情形P?X??1??所以X的分布列为: X P ?2 1 14?1 5 141 2 7 ??10分

EX?(?2)?15223+(?1)??0??1???. ??12分 1414771421. 解：（I）由椭圆的定义，曲线C是以F1(?1,0)，F2(1,0)为焦点的半椭圆，

c?1,a?2,b2?a2?c2?1.

x2?y2?1(y?0). ??4分 ∴C的方程为2（注：不写区间“y?0”扣1分）

x2?y2?1(y?0)，设P(x0,y0)， （II）由（I）知，曲线C的方程为22y0122?? ① 则有x0?2y0?2， 即 22x0?2又A(?2,0)，B(2,0)，从而直线AP,BP的方程为 AP：y?y0x0?2(x?2)； BP：y?y0x0?2(x?2) ??6分

令x?a得R，T的纵坐标分别为 yR?y0x0?2(a?2)； yT?y0x0?2(a?2).

2y01(a2?2)② 将①代入②， 得 yRyT?(2?a2).??8分 ∴ yR?yT?22x0?2 ∴ |RT|?|yR?yT|?22yR?yT?2yRyT≥2|yRyT|?2yRyT?2(a2?2).

当且仅当yR?yT，即yR??yT时，取等号． 即|RT|的最小值是2(a?2).??12分 22.解： (I)a?0，f?x?在?0,???单调递增

2?1??1?a?0，f?x?在?0,?单调递增，?,???单调递减??6分

?a??a? (Ⅱ)等价于h?x??lnx?a?x2?1?x?0在?x?1恒成立，

2212ax?a?x?1??ax2?x?ah??x????

xx2x2（1） 当a?0时，h??x??0，所以h?x?在?1,???单调递增，h?x??h?1??0，与题意

矛盾

（2） 当a?1时，h??x??0恒成立，所以h?x?在?1,???单调递减，所以2h?x??h?1??0

?1?1?4a21?1?4a21??1，（3） 当0?a?时，x??所以h?x?在?1,x??单调递

?2a2a2增，h?x??h?1??0，与题意矛盾

综上所述：a?

1??12分 2

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