2008年华中科技大学考研数学分析真题答案 2
更新时间:2023-10-22 14:21:01 阅读量: 综合文库 文档下载
2008年华中科技大学招收硕士研究生.
入学考试自命题试题数学分析
1111一、 求极限I?lim(1???...?)n
n??23n解: 一方面显然I?1
1111另一方面1???...??n,且limnn?1
n??23n由迫敛性可知I?1。
1nn??注:limn?1可用如下两种方式证明 1) 令nn?1?hn,则n?(1?hn)n?1?即limhn?0,从而limn?1
n??n(n?1)222hn?hn?(n?2) 2n1nn??2) 由nn?n234nn?1。 ...有limnn?limn??n??n?1123n?1二、证明(3x2y?8xy2)dx?(x3?8x2y?12yey)dy为某个函数的全微分,并求它的原函数。
证明:记P(x,y)?3x2y?8xy2,Q(x,y)?x3?8x2y?12yey,则
?P?P?Q?Q?3x2?16xy??3x2?16xy,? ?x?y?y?x?Pdx?Qdy是某个函数的全微分
设原函数为?(x,y),则d???xdx??ydy?Pdx?Qdy
??x?3x2y?8xy2??(x,y)?x3y?4x2y2??(y)
??y?x3?8x2y???(y)?x3?8x2y?12yey ???(y)?12yey??(y)?12(y?1)ey?C
?所求原函数为?(x,y)?x3y?4x2y2?12(y?1)ey?C(C为常数)?三、设?是空间区域且不包含原点,其边界?为封闭光滑曲面:用n表示?的单
??位外法向量,r?(x,y,z)和r?r?x2?y2?z2,证明:
dxdydz1???cos(n,r)dS ?????r2???xyz?证明:设n的方向余弦为cos?,cos?,cos?。因为r的方向余弦为,,,所以
rrrxyz??cos(n,r)?cos??cos??cos?,由于原点不在空间区域,根据高斯公
rrr式,有
11xyz??cos(n,r)dS?(cos??cos??cos?)dS??2??2rrr???1xyzdydz?dzdx?dxdy??2?rrr??x1?y?z??????()?()?()?dxdydz2???xr?yr?zr?dxdydz????r?
注:当原点也在该区域时,结论也成立,详细参考课本P296第8题答案。
by1bn(b?x)n?1f(x)dx 四、设f(t)为连续函数,证明:?dy?(y?x)f(x)dx??aan?1a证明:记F(x,y)?(y?x)nf(x),D?{(x,y)|a?x?y,a?y?b}
由于f(t)为连续函数,故F(x,y)在D上连续,从而在D上可积。
而对每个y?[a,b],从而累次积分?dy?F(x,y)dx也存在,?F(x,y)dx存在,
aaayby同理?dx?F(x,y)dy也存在。于是
aabx??F(x,y)dxdy??dy?F(x,y)dx??dx?F(x,y)dy
Daaaabybx即
?bady?ya1b(y?x)f(x)dx?(b?x)n?1f(x)dx ?n?1an五、设x1?2,xn?1?2?xn(n?1,2,3,...),证明{xn}收敛并求其极限。
证明:一方面由归纳法易知2?xn?2,即{xn}有界。
17另一方面xn?1?xn?2?xn?xn??(xn?2?)2??0
24于是{xn}单调,从而{xn}收敛。 设limxn?x,则2?x?x解得x?2
n???limxn?2
n??六、设反常积分?f(x)dx绝对收敛且limf(x)?0,证明?f2(x)dx收敛。
0x????0证明:由于limf(x)?0,故?A1?0,当x?A1时,f(x)?1,此时f2(x)?f(x)
x??再由?f(x)dx绝对收敛知,对???0,?A2?0有?0??A2f(x)dx??
取A?max{A1,A2},则?f2(x)dx??f(x)dx??AA???A2f(x)dx??
故?f2(x)dx收敛。
0?注:这里还差0不是 f(x)的瑕点这一条件,若不然讨论?xsinxdx
0??32由下题可知?xsinxdx绝对收敛,但?0??32?0sin2xdx发散。这是因为 x3??02?1?sinx?1sin2xdx?dxdx?dx收敛。 发散;333???0??x4xxx?七、讨论反常积分?中p?0为常数。 解:记I???00sinxdx的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散),其xp1sinx?sinxsinxdx?dx??0xp?1xpdx?I1?I2 xp1) 先讨论I1(可以用瑕积分收敛判别的推论)
sinx1sinx3?1可知,???0,当0?x??时,??
x?0x2x21sinx?sinx?sinx1sinxdxdx I1??dx?dx,是定积分,只需考虑pppp????00?xxxx??sinxsinx33dx(p?2)收敛知?dx收敛,且当0?p?2时,p?p?1,由?02xp?10x2xxp绝对收敛;
??sinxsinx11dx(p?2)dx发散。 当p?2时,p?p?1,由?发散知p?1p?00x2x2xx由lim2) 再讨论I2 当p?1时,
?1?sinxsinx1dxdx绝对收敛 ,由收敛知?ppp??p11xxxx当0?p?1时,
??1sinxdx条件收敛,这是由于对任意u?1,有px?u1sinxdx?cosu?cos1?2,而
?11单调趋于0(x??),由狄利克雷判别法xp知?sinxdx收敛。 px?cos2xsinxsin2x1cos2x1?costdx??dt满足狄另外p???(x?1),其中?122x2txx2x2x利克雷条件,是收敛的。但??11dx是发散的。 2x所以当0?p?1时,I2是条件收敛的。 综上所述,
当0?p?1时,I条件收敛; 当1?p?2时,I绝对收敛; 当p?2时,I发散。
八、将函数f(x)?x(??x)(x?[0,?])展开为余弦级数。 解:对f(x)作偶式周期延拓,则f(x)的傅里叶系数为:
bn?0,n?1,2,...
a0???22?0x(??x)dx??23
an????02x(??x)cosnxdx?n???0x(??x)dsinnx?2???x(??x)sinnx0??(??2x)sinnxdx??0??n??2??2?(??2x)dcosnxn?0?2??2?(??2x)cosnx0?2?cosnxdx??0??n??2??2(cosn??1)n
即a2k??1,a2k?1?0(k?1,2,...) k2?f(x)~?26??cos2kx 2kk?1?九、证明函数I(y)????0cosxdx在[0,??)上可微 21?(x?y)????cosx1?收敛 dx?dx??22证明:对?y?0,I(y)??01?(x?y)01?x2记f(x,y)?cosx(x?y1?(x?y)2,则fy(x,y)??)cosx?。 1?(x?y)2?2f(x,y)与fx(x,y)在[0,?)?[0,?)上均连续
由于对?x,y?0,1?(x?y)2?2(x?y),因此
??f1??cosx??1?0x(x,y)dx?2?01?(x?y)2dx??01?x2dx?2 即??0fx(x,y)dx在[0,??)上收敛
故I(y)????cosx01?(x?y)2dx在[0,??)上可微且 I?(y)?????(x?y)cosx0?1?(x?y)2?2dx,y?0
十、设f(x)在[0,1]上二阶可导,且在[0,1]上成立f(x)?1,[0,1]上成立f?(x)?3。
证明:根据泰勒公式,分别将f(0)与f(1)在x处展开:
f(0)?f(x)?f?(x)(?x)?f??(?)2x2(??[0,x])f(1)?f(x)?f?(x)(1?x)?f??(?)
2(1?x)2(??[x,1])两式相减得
f?(x)?f(1)?f(0)?f??(?)2x2?f??(?)2(1?x)2 ?f?(x)?f(1)?f(0)?f??(?)2f2x???(?)2(1?x)2?f(1)?f(0)?x2?(x?1)2
?2(x?152)?2?3f??(x)?2。证明在
正在阅读:
MHK等级考试30篇作文08-15
施工组织设计(前街一)02-01
财务指标分析及解释12-26
建厂申请书03-31
鼓形齿联轴器的设计01-14
小学散学典礼优秀作文06-15
微机组装习题三答案09-13
会计 毕业设计09-02
- 多层物业服务方案
- (审判实务)习惯法与少数民族地区民间纠纷解决问题(孙 潋)
- 人教版新课标六年级下册语文全册教案
- 词语打卡
- photoshop实习报告
- 钢结构设计原理综合测试2
- 2014年期末练习题
- 高中数学中的逆向思维解题方法探讨
- 名师原创 全国通用2014-2015学年高二寒假作业 政治(一)Word版
- 北航《建筑结构检测鉴定与加固》在线作业三
- XX县卫生监督所工程建设项目可行性研究报告
- 小学四年级观察作文经典评语
- 浅谈110KV变电站电气一次设计-程泉焱(1)
- 安全员考试题库
- 国家电网公司变电运维管理规定(试行)
- 义务教育课程标准稿征求意见提纲
- 教学秘书面试技巧
- 钢结构工程施工组织设计
- 水利工程概论论文
- 09届九年级数学第四次模拟试卷
- 数学分析
- 真题答案
- 中科
- 年华
- 考研
- 大学
- 2008
- 学生学年鉴定自我鉴定
- 2017年4月上海市初三语文二模定稿试卷B卷(含答案)
- 悼念饶毓黔先生
- 稀土永磁材料
- 外资并购法律制度
- 高频电路实验及Multisim仿真汇总 - 图文
- 线性代数 - 特殊行列式及行列式计算方法总结
- 分数加减法和分数乘法作业本练习 - 图文
- 洛桑酒店管理学院本科课程
- 八年级物理上学期期末复习 期末测试题 人教实验版
- 高分子物理(何曼君版)复旦大学出版社 - 课后习题答案
- 2016全国中职技能大赛电气安装与维修工作任务书
- C050202
- 四级词汇
- 如何正确看待民意与司法的距离
- 诚信二手车有限公司服务公约
- 短语类型导学案练习及答案
- 2014国家公务员考试广东省国家税务局系统拟录用公务员公示
- 不宜食用切碎后水洗或久浸泡于水中的萝卜
- 第三章 人类社会及其发展规律(习题)