《高等代数》韩山师范学院专插本历年真题(2)

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韩山师范学院专升本插班生考试样卷

数学与应用数学 专业 高等代数 A卷

一、填空题（每小题2分，共12分） 1. 一个素数p 有 个因数.

2. 多项式f(x)无重因式的充要条件是 .

3. 两个实二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩和 . 4. 最大的数域是 .

5. 次数大于零的多项式在复数域C中只能有 次的不可约多项式. 6. 一个向量空间V的基所含向量的个数叫做V的 . 二、判断题（每小题2分，共10分） 1. 4267351 是奇排列.（ ）

322. 2是多项式x?6x?15x?14的二重根.（ ）

323. 多项式x?6x?16x?14在有理数域上是不可约的.（ ）

4. 任意一个齐次线性方程组都有基础解系.（ ） 5. 在欧氏空间C[-1，1]中，向量1与x正交.（ ） 三、选择题（每小题3分，共18分） 1．若

a11a12a21a22b1b2?ax?ax?b?0, 的解. ?1, 则下列（ ）是方程组?1111221?a21x1?a22x2?b2?0.a12a22,x2?a11b1;

（A）x1?a21b2（B）x1??b1?b2b1b2a12a22a12a22,x2?a11b1a21b2b1;

（C）x1?,x2??a11?a21b2;

（D）x1?b1b2?a12?a22,x2??a11b1?a21b2.

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n02.

000010200000300000n?10?（ ）.

000（A） (-1)n-3 n! ; （B） (-1) 2n n! ; （C） (-1)n-2 n! ; （D）n! . 3. 设A,B,C都是n阶方阵，且ABC =I, 则（ ）成立.

（A）CAB = I （B）BAC = I （C）ACB = I （D） CBA = I 4. 设A是n阶可逆矩阵，则下面推断正确的是（ ）

（A） 交换A的i, j两行得到B，则交换A-1的i, j两行就得到B -1. （B） 交换A的i, j两行得到B，则交换A-1的i, j两列就得到B -1.

（C） 把A的第 j行的k倍加到第i行得到B，则把A-1的第i行的k倍加到第j行就

得到B -1.

（D） 把A的第 j行的k倍加到第i行得到B，则把A-1的第i列的k倍加到第j列就

得到B -1.

5. 设Q为有理数域，R为实数域，C为复数域，则下述结论正确的是（ ）. （A）Q构成R上的向量空间； （B）Q构成C上的向量空间； （C）R构成C上的向量空间； （D）C构成R上的向量空间. 6. 已知欧氏空间R3的线性变换?(x,y,z)?(x?y,y,y?z)，则（ ）成立. （A）? 是正交变换，但不是对称变换； （B）? 是对称变换，但不是正交变换； （C）? 是正交变换，也是对称变换； （D）? 不是正交变换，也不是对称变换. 四、计算题（共30分） 1．（7分）计算行列式

abD?bbbbabbbbbabbbbbabbbb。 ba 2

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2．（7分）设A = ( a1 , a2 ,…, an )T, B=(b1 , b2 ,…, bn ) . 求 (AB)100 . 3. （8分）求线性方程组的一般解：

?x1?2x2?x3?x4?1,??x1?2x2?x3?x4??1, ?x?2x?x?5x?5.234?14. （8分）设数域F上三维向量空间的线性变换?关于基{α1 , α2 , α3}的矩阵是

?15?115???20?158??，求?关于基 ?8?76????1?2?1?3?2??3,?2?3?1?4?2??3, ?3??1?2?2?2?3的矩阵.

五、证明题（共30分）

1. （7分）设f : A→B, g : B→C是映射，又令h =g也是单射.

2. （7分）设V是数域F上一个一维向量空间.证明V到自身的一个映射?是线性映射的充要条件是: 对任意??V，都有

f. 证明：如果h是单射, 那么f

?(?)?a?,

这里a是F中一个定数.

3. （8分）设向量组{α1 , α2 ,…, αs}线性无关, 向量β可由它线性表示,而γ不能可由它线性表示, 证明{α1 , α2 ,…, αs, β+γ }线性无关.

4. （8分）设A是n阶实矩阵, i 2 = 1. 证明: A + i I 为可逆矩阵的充分必要条件是: ±i 都不是A的特征根.

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