青岛版初二数学上全等三角形等腰三角形测试卷

青岛版初二数学上全等三角形等腰三角形测试卷

2．如图，在正方形 ABCD 中， E 、 F 分别为 BC 、 CD 的中点，连接 AE， BF 交于点 G，将 ?BCF 沿 BF 对折，得到 ?BPF，延长 FP 交 BA 延长线于点

Q，下列结论正确的个数是 ???? ①AE?BF；② AE?BF； 4③ sin?BQP?；④ S四边形ECFG?2S?BGE 5A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于1AD的长为半径在AD两侧2作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则下列说法中正确的是（ ）

A. DF平分∠ADC B. AF=3CF C. BE=8 D. DA=DB

5．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，B点落在点B′处，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；

2③∠CB′D=135°；④BB′=BC；⑤AB?AE?AF.其中正确的个数为（ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论:①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△??????=S四边形????????．其中所有正

确结论的序号为( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

7．如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F． （1）如图1，求证：AE=DF；

（2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形

（3）如图3，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．判断△GEF的形状，并说明理由．

8．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）

（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G． ①求证：PG=PF；

②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF；

（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．

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10．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，F为AB边上的中点，延长CB至D，使得BD=BC，连接AD交CF的延长线于E．

（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：△CED为等腰三角形 （2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由． （3）如图3，当13．如图1，已知锐角△ABC中，CD．BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．

AB = 是（直接填空），△CED为等腰直角三角形． BC

11．如图，已知正方形ABCD，E为BC中点，AB=6，F点在CD上，连接EF，将△CDE

/

沿EF翻折，得到△EFC.

（1）如图1，若△ADF与△CEF相似，求CF的长度；

/

（2）如图2，若折叠后A、F、C共线，求CF长度；

//

（3）如图3，O为EF中点，连接OC、OC，若四边形OCFC为菱形，求CF的长度.

（1）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程； （2）求证：MN⊥DE；

（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，请说明理由．

14．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=11，AC=5，则BE=______________．

15．如图，在△ABC中．AB =5,AC=3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F．连接DH．则线段DH的长为___________．

16．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO＋∠CFO＝88°，则∠C的度数为=___________．

17．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB=____________．

12．如图，正方形ABCD中，点E为AB上一动点（不与A、B重合）．将△EBC沿CE翻折至△EFC，延长EF交边AD于点G． （1）连结AF，若 AF∥CE．证明：点E为AB的中点； （2）证明：GF=GD；

（3）若AD=10，设EB=x，GD=y，求y与x的函数关系式．

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参考答案

1．B

【解析】试题分析：由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可． 解：连接CC1.

在Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB=3，

∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,∠AEB1=∠AEB=60°， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，

∴∠C1AE=∠AEB=60°， ∴△AEC1为等边三角形，

同理△CC1E也为等边三角形， ∴EC=EC1=AE=2， ∴BC=BE+EC=3， 故选B. 2．B 【解析】?E， F 分别是正方形 ABCD 边 BC， CD 的中点， ?CF?BE . 在 ?ABE 和 ?BCF 中， ?AB?BC,? ??ABE??BCF, ?BE?CF.? ?Rt?ABE≌Rt?BCF . ??BAE??CBF， AE?BF，故①正确；

? ??BAE??BEA?90， ? ??CBF??BEA?90 . ??BGE?90 . ?AE?BF，故②正确； ?根据题意得， FP?FC， ?PFB??BFC， ?FPB?90 ?CD?AB， ??CFB??ABF， ??ABF??PFB， ?QF?QB， 令 PF?k?k?0?，则 PB?2k 在 Rt?BPQ 中，设 QB?x， 22 ?x??x?k??4k， 2? ?x?5k， 2BP4?，故③正确； QB5 ??BGE??BCF， ?GBE??CBF， ??BGE∽?BCF . ?sin??BQP?答案第1页，总10页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 ?BE?12BC， BF?52BC， ?BE:BF?1:5， ?S?BGE:S?BCF?1:5， ?S四边形ECFG?4S?BGE，故④错误． 3．A 【解析】

设AE=x,则BE=BF=2-x；DG=DH=x. ∵∠ABC=∠ADC=60°,

∴AC=AB=2， BD?2BO?23 ；BM=BE=2-x， BM?32?2?x? ；DH=DG=x，∴六边形AEFCHG面积的是： S六边形AEFCHG=S菱形ABCD-S△BEF-S△DHG ?12?2?23?13132?2?x??2?2?x??2x?2x ??32332?x?1??2 ∴当x=1时，六边形AEFCHG面积最大，最大面积是.

故选A. 4．C

【解析】根据作法可以知道:MN

是线段AD的垂直平分线,

,

，

，

平分

， ， ，

，

同理

，

四边形AEDF是菱形，

，

，

答案第2页，总10页

DN?32x .

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，

，

， ,，

.故C正确，其它选项无法证明正确性.

故选C.

5．D

【解析】因为点

,，

和点关于对称，所以与关于对称，根据图形对称的性质得：

，又因为四边形为正方形，所以，故。故①项正确。

因为点和点关于对称，所以，，因为、分别为、的中点，所以是

的中位线，所以，所以，即；因为，

，所以，所以

因为

故因为

，又因为

，在和中，，所以

，

，故为等腰直角三角形。故②项正确。

，所以在四边形中，

，所以。故③正确。

AFAB? , ?AB2?AE?AF. ABAE,所以?AB?BB? .又因为AB=BC,所以BB??BC .故④正确.

??BAE??FAB , ?ABE??AFB , ??ABF??AEB , ?故⑤正确.

故选D. 6．D

【解析】试题解析：连接OB， ∵AB=\，AD⊥BC，\

11

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=\，\∴OB=\，∠ABC=90°-∠BAD=30°，\ ∵OP=\，\ ∴OB=\，\

∴∠APO=\∠ABO，∠DCO=∠DBO，\

∴∠APO+∠DCO=\∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；\ 故①正确；

∵∠APC+∠DCP+∠PBC=\，\ ∴∠APC+∠DCP=\，\ ∵∠APO+∠DCO=\，\ ∴∠OPC+∠OCP=\，\

∴∠POC=\-（∠OPC+∠OCP）=60°，\ ∵OP=\，\

∴△OPC是等边三角形； 故②正确；

在AC上截取AE=PA，

答案第3页，总10页

2

2

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∵∠PAE=\-∠BAC=60°，\ ∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA=\∠APE=60°，PE=PA，\ ∴∠APO+∠OPE=\，\

∵∠OPE+∠CPE=\∠CPO=60°，\ ∴∠APO=\∠CPE，\ ∵OP=\，\

在△OPA和△CPE中，

????＝???? ∠??????＝∠??????

????＝????∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO=CE，

∴AC=AE+CE=AO+AP； 故③正确；

过点C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=\∠DAC=60°，AD⊥BC，\ ∴CH=CD，

1

∴S△ABC=ABCH，

2

S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=APCH+OACD=APCH+OACH=CH（AP+OA）=CHAC，

∴S△ABC=S四边形AOCP； 故④正确． 故选D．

考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等边三角形的判定与性质． 7．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△GEF是等边三角形．证明见解析. 【解析】试题分析：（1）证明△AEM≌△DFM即可得；

（2）如图2，过点G作GH⊥AD于H，通过证明△AEM≌△HMG从而得出

ME=MG，∠EGM=45°，再由△AEM≌△DFM得ME=MF．从而得到△GEF是等腰直角三角形． （3）如图3，△GEF是等边三角形．证明△AEM∽△HMG从而得2

2

2

2

2

2

111111

EMAM?． MGGH由tan∠MEG=3得到∠MEG=60°． 由△AEM≌△DFM得到ME=MF．再由MG⊥EF得GE=GF． 从而确定△GEF是等边三角形．

试题解析：（1）如图1,在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD． ∵M是AD的中点，∴AM=DM， ∴△AEM≌△DFM（ASA）． ∴AE=DF．

答案第4页，总10页

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（2）如图2，过点G作GH⊥AD于H，

∴∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边ABGH为矩形，∴∠AME+∠AEM=90°， ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°，∴∠AME+∠GMH=90°，∴∠AEM=∠GMH． ∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2，

∵四边ABGH为矩形，∴AB=HG=2，∴AM=HG，∴△AEM≌△HMG（AAS）． ∴ME=MG，∴∠EGM=45°，

由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF．

∵MG⊥EF，∴GE=GF，∴∠EGF=2∠EGM=90°，∴△GEF是等腰直角三角形．

（3）如图3，△GEF是等边三角形． 过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形． ∴GH=AB=23． ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°． ∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH． 又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG．∴ 在Rt△GME中，∴tan∠MEG=EMAM?． MGGHMGGH??3． EMAM∴∠MEG=60°． 由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF．∵MG⊥EF， ∴GE=GF． ∴△GEF是等边三角形．

点睛：此题考查了四边形的相关性质和定理，三角形全等的判定与性质等知识，在解有关四边形问题时，能结合三角形的有关知识帮助解题是关键. 8．（1）①证明见解析；②DG+DF= 2DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF= 2DP． 【解析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；

答案第5页，总10页

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②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得； （2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD= 2DP，再证△HPG≌△DPF可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF= 2DP． 解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°， ∴∠GPH=∠FPD， ∵DE平分∠ADC，

∴∠PDF=∠ADP=45°，

∴△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠PDF=45°， 在△HPG和△DPF中，

∵∠PHG=∠PDF，PH=PD，∠GPH=∠FPD， ∴△HPG≌△DPF（ASA）， ∴PG=PF；

②结论：DG+DF= 2DP，

由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF， ∴HD= 2DP，HG=DF， ∴HD=HG+DG=DF+DG， ∴DG+DF= 2DP；

（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF= 2DP， 如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，

∵PF⊥PG，

∴∠GPF=∠HPD=90°， ∴∠GPH=∠FPD，

∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°， ∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD= 2DP， ∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°， 在△HPG和△DPF中，

∵∠GPH=∠FPD，∠GHP=∠FDP，PH=PD， ∴△HPG≌△DPF， ∴HG=DF，

∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF， ∴DG﹣DF= 2DP．

“点睛”本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键． 9．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C，

∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB， ∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB， ∠DEF=∠B， ∴∠BDE=∠CEF，

答案第6页，总10页

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∴△BDE∽△CEF；

（2）∵△BDE∽△CEF， ∴，

∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∴，

∵∠DEF=∠B=∠C， ∴△DEF∽△CEF， ∴∠DFE=∠CFE， ∴FE平分∠DFC．

10．（1）证明见解析；（2）成立．理由见解析；（3）10． 2【解析】试题分析：（1）如图1，先证明△ABC为等边三角形得到∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，再证明∠D=∠DCE=30°，然后根据等腰三角形的判定定理得到△CED为等腰三角形；

（2）延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，先证明△AMF≌△BCF得到AM=BC，∠M=∠BCF，再证明△AMC≌△BDA得到∠M=∠D，所以∠D=∠DCE，于是可判断△CED为等腰三角形；

（3）作BH⊥CE于H，连接BE，如图3，由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，则EB⊥CD，设BH=x，则CH=EH=x，BC=2x，易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF=所以AB=2BF=5x，然后计算出115HE=x，再利用勾股定理计算出BF=x，222AB的值． BC试题解析：（1）如图1，

∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC， 而BC=BD，∴AB=BD，∴∠D=∠BAD， 而∠ABC=∠D+∠BAD，∴∠D=30°，

∵F点AB的中点，∴CF平分∠ACB，∴∠ACE=∠DCE=30°，∴∠D=∠DCE， ∴△CED为等腰三角形； （2）成立．

延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，

AF?BF在△AMF和△BCF中{?AFM??BFC ，∴△AMF≌△BCF，∴AM=BC，∠M=∠BCF，

MF?CF∵BC=BD，∴AM=BD，

∵∠M=∠BCF，∴AM∥CD，∴∠MAC+∠ACB=180°，

而∠DBA+∠ABC=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠MAC=∠DBA，

AM?BD在△AMC和△BDA中{?MAC??DBA ，∴△AMC≌△BDA，∴∠M=∠D，∴∠D=∠DCE，

AC?BA∴△CED为等腰三角形；

（3）作BH⊥CE于H，连接BE，如图3，

由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，

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∴EB⊥CD，

设BH=x，则CH=EH=x，BC=2x，易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF=2211HE=x， 22AB5x510?1?在△BFH中，BF=x??x? =x，∴AB=2BF=5x，∴==．

BC2?2?2x2故答案为10． 2

11．（1）CF=2；（2）CF=1.5；（3）CF=3或CF=33. 【解析】解：(1)CF=2；(2)CF=1.5；(3)CF=3或CF=33. 12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）y=100?10x 10?x【解析】（1）解：（1）由翻折的性质可知，∠BEC=∠FEC，EB=EF ∵AF∥CE

∴∠BEC=∠EAF，∠FEC=∠EFA ∴∠EAF=∠EFA ∴EA=EF

∴EA=EB，即点E为AB的中点 （2）如图所示，连接CG

在正方形ABCD中，∠D=∠B=90°，DC=BC 由翻折的性质可知：∠EFC=∠B=90°，BC=FC ∴∠GFC=∠D，FC=DC

在Rt△GDC和Rt△GEC中，FC=DC，GC=GC ∴Rt△GFC≌Rt△GDC（HL） ∴GF=GD

（3）在Rt△AEG中，AG=10-x，AE=10-y，GE=x+y

222222

由勾股定理可知：AG+AE=GE，即：（10-x）+（10-y）=（x+y） ∴y=

100?10x 10?x11BC，ME=BC，从而得2213．（1）∠DME=180°-2∠A；（2）证明见试题解析；（3）（1）的结论不成立，（2）中MN⊥DE成立． 【解析】试题分析：（1）连接DM、ME，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=

到DM=ME，再由等腰三角形三线合一的性质证明；（2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再由等腰三

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角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后由平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；（3）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再由等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后由平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．

试题解析：（1）如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=DM=ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；

、在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，

∴∠BMD+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）=360°﹣2（∠ABC+∠ACB） =360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A， ∴∠DME=180°﹣2∠A；

结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∵DM=ME=BM=MC，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°﹣∠A）=360°﹣2∠A， ∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A）=2∠A﹣180°．

11BC，ME=BC，∴22考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．

14．3 【解析】如图，连接CD，BD，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，即可得AE=AF，又因DG是BC的垂直平分线，所以CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD＝BD，DF＝DE，利用HL定理可判定Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质可得BE=CF，所以AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．

点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键． 15．1．

【解析】试题分析：∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF=AC，∵AC=3，∴AF=AC=3，HF=CH，∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线，∴DH=1BF，∵AB=5，∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2．∴DH=1，故答案为：1． 2考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质． 16．46° 【解析】如图，连接AO、BO，由题意得EA=EB=EO ,∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，FO=FB，

∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，∵∠CDO+∠CFO=88°，∴2∠DAO+2∠FBO=88°，∴∠DAO+∠FBO=44°，∵∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠FBO+∠OAB+∠OBA=134°，∴∠C=180°-134°=46°.

17．8

答案第9页，总10页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 【解析】∵AB=AC， AF⊥BC，∴∠AFB=90°，BF=CF，又∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠BEA=90°，∴EF=点，∴DE=DF=1 BC=3，又∵D为AB中21 AB，∵DE+DF+EF=11，∴DE+DF=8，∴AB=8. 2答案第10页，总10页

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