2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)

2018年高考数学理科试卷（江苏卷）

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．

． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ．

2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．

3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．

4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．

5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为

．

7．已知函数()??? ??<<-

+=22

2sin ππ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 2

3，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()???

????≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ．

10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．

11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122

3在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB

为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=?，则点A 的横坐标为 ．

13．在ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，ο120=∠ABC ，ABC ∠的平

分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．

14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|，{}*

∈==N n x x B n ,2|．将B A ?的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．

求证：（1）11AB A B C 平面∥；

（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．

16．（本小题满分14分）

已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；

（2）求tan()αβ-的值．

17．（本小题满分14分）

某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC

与MN 所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ

的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且

甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．

（1）求椭圆C 及圆O 的方程；

（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．

①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；

②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．

19．（本小题满分16分）

记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；

（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；

（3）已知函数2

()f x x a =-+，e ()x

b g x x =．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．

20．（本小题满分16分）

设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．

（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；

（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对

2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）

．

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

作答．．

．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，

过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC = BC 的长．

B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵2312??=????

A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；

（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标．

C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26

ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．

D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)

若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域

．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科#网

22．（本小题满分10分）

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，

BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

23．(本小题满分10分)

设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i L ，如果当s ，则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序，排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，

2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．

（1）求34(2),(2)f f 的值；

（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}

2．2

3．90

4．8 5．[2，+∞） 6．

310 7．π6

-

8．2 9．

2 10．

43

11．–3

12．3

13．9

14．27

二、解答题

15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象

能力和推理论证能力．满分14分．

证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ?平面A 1B 1C ，A 1B 1?平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．

（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．

又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．

又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ?平面A 1BC ，BC ?平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1?平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．

16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求

解能力．满分14分． 解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．

4tan 3α=

sin tan cos ααα=4

sin cos 3

αα=22sin cos 1αα+=29

cos 25

α=27cos22cos 125

αα=-=-

,αβ(0,π)αβ+∈

又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建

模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．

解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．

过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，

故OE =40cos θ，EC =40sin θ，

则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），

△CDP 的面积为12

×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．

令∠GOK =θ0，则sin θ0=

14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2

）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[

14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为

1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14

，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），

则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）

=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2

）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，

π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′

． 令()=0f θ′，得θ=π6

， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=

22tan 24tan 21tan 7

ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+

当θ∈（π6，π2

）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=

π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、

直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C

的焦点为12(),F F -，

可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>

．又点1)2

在椭圆C 上， 所以2222311,43,a b a b ?+=???-=?

，解得224,1,a b ?=??=?? 因此，椭圆C 的方程为2

214

x y +=． 因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．

（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，

所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即000

3x y x y y =-+． 由2

20001,43,x y x y x y y ?+=????=-+??

，消去y ，得 222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）

因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，

所以222222000000()()(

24)(44364820)4x x y y y x ?=--+-=-=． 因为00,0x y >

，所以001x y ==．

因此，点P

的坐标为．

②因为三角形OAB

，所以1 2AB OP ?=

AB ． 设1122,,()(),A x y B x y ，

由（*

）得001,2x =，

所以2222121()()x B y y x A =-+-

2220002222

00048(2)(1)(4)x y x y x y -=+?+． 因为22003x y +=， 所以22

022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012

y =，因此P

的坐标为． 综上，直线l

的方程为y =+

19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解

决问题以及逻辑推理能力．满分16分．

解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．

由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得

222122x x x x ?=+-?=+?

，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．

（2）函数21f x ax =-（

），()ln g x x =， 则12f x ax g x x

'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0），得

200001ln 12ax x ax x ?-=??=??

，即200201ln 21ax x ax ?-=??=??，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1

221e 2

2(e )a -==． 当e 2

a =时，1

20e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点． 因此，a 的值为e 2． （3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．

因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，

所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)

x x b x =-，则b >0． 函数2

e ()()x

b f x x a g x x =-+=，， 则2

e (1)()2()x b x

f x x

g x x -=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得

22e e (1)2x x b x a x b x x x ?-+=???-?-=??，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x x x x x a x x x x x x x ?-+=??-??-?-=??-?

（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S

点”．

因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．

20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、

转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．

解：（1）由条件知：．

因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，

即对n =1，2，3，4均成立，

即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 112(,)n n n a n d b -=-=1 12|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤

因此，d 的取值范围为． （2）由条件知：．

若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，

即， 即当时，d 满足． 因为，则，

从而，，对均成立． 因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．

下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． ①当时，， 当时，有，从而． 因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，

所以单调递减，从而

当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为． 75[,]32

111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111

|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+L 2,3,,1n m =+L 11

11211

n n q q b d b n n ---≤≤-

-q ∈112n m q q -<≤≤11201

n q b n --≤-1

101n q b n ->-2,3,,1n m =+L 2,3,,1n m =+L 12{}1n q n ---1

{}1

n q n --2,3,,1n m =+L 2n m ≤≤111 2222111()()()

n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---1

12m

q <≤2n m q q ≤≤1() 20n n n n q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1

n q n ---12{}1n q n ---2m q m

-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111

()()()n

n n q q n n f q n n n

n --=≤-=<-21n m ≤≤+1

{}1

n q n --1{}1n q n --m

q m

11(2)[,]m m

b q b q m m

-

数学Ⅱ(附加题)参考答案

21．【选做题】

A ．[选修4—1：几何证明选讲]

本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．

又因为PC =OC =2，

所以OP ．

又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2．

B ．[选修4—2：矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．

解：（1）因为2312??=????

A ，det()221310=?-?=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-??=??-??

． （2）设P (x ，y )，则233121x y ??????=????????????，所以13311x y -??????==??????-??????

A ， 因此，点P 的坐标为(3，–1)．

C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，

所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．

因为直线l 的极坐标方程为πsin()26

ρθ-=， 则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6

， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．

设另一个交点为B ，则∠OAB =π6

． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =

π2，

所以π4cos 6AB ==

因此，直线l 被曲线C

截得的弦长为．

D ．[选修4—5：不等式选讲]

本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．

因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333

x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．

22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查

运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网

解：如图，在正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以

1,{},OB OC OO u u u r u u u r u u u u r 为基底，建立空间直角坐标系O ?xyz ． 因为AB =AA 1=2，

所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --．

（1）因为P 为A 1B 1的中点，

所以

1,2)2P -，

从而11(,2)(0,2,22),BP AC ==-u u u r u u u u r ，

故111|||cos ,|||||BP AC BP AC BP AC ?===?u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ．

因此，异面直线BP 与AC 1

所成角的余弦值为．

（2）因为Q 为BC 的中点，

所以

1,0)2Q ，

因此3,0)2AQ =u u u r ，1

1(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==u u u u r u u u u r ． 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，

则10,0,AQ AC ?????

?=?=u u u r u u u u r n n

即30,2220.y y z +=?+=?

不妨取1,1)=-n ，

设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，

则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==??==u u u u r u u u u r u u u u r n n n ，

所以直线CC 1与平面AQC 1

所成角的正弦值为．

23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证

能力．满分10分．

解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，

所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．

（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．

逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．

为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1

在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．

当n ≥5时，

112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…

242(1)(2)4(2)2

n n n n f --=-+-+?++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222

n n --．

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学科:网

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A I B=

（A）{0，1} （B）{–1，0，1}

（C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2}

（2）在复平面内，复数

1

1i

的共轭复数对应的点位于

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）1

2

（B）

5

6

（C）7

6

（D）

7

12

（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三

个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为

（A

（B

（C ） （D ）

（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

（A ）1

（B ）2 （C ）3 （D ）4

（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的

（A ）充分而不必要条件

（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为

（A ）1

（B ）2 （C ）3 （D ）4

（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则

（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2，1）A ?

（C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ? （D ）当且仅当32a ≤

时，（2，1）A ? 第二部分（非选择题 共110分）

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