2012中考数学第一轮总复习精品教案 十、解直角三角形
更新时间:2023-12-22 10:54:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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十、解直角三角形(3课时)
教学目标:
1.立足教材,打好基础,查漏补缺,系统复习,熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能. 2.让学生自己总结交流所学内容,发展学生的语言表达能力和合作交流能力. 3.通过学生自己归纳总结本部分内容,使他们在动手操作方面,探索研究方面,语言表达方面,分类讨论、归纳等方面都有所发展.
教学重点与难点
重点:将本部分的知识有机结合,强化训练学生综合运用数学知识的能力,. 难点:把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识. 教学时间:5课时
【课时分布】
解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要3课时,其中包括单元测试,下表为课时安排. 课时数 内容 直角三角形边角关系、锐角三角函数、1 简单的解直角三角形 2 解直角三角形的应用 解直角三角形单元测试及评析 教学过程: 【知识回顾】 1.知识脉络 已知斜边一锐 已知一边一锐角解直角三角 直角角解直角三角 解已知一直角边一解直三角直 角锐角解直角三角已知两边解直角三形的 三角三角形 角形 已知两直角边边角角 形解直角三角形 关系 添辅助线解直 角三角形 已知斜边一直角 边解直角三角形 直接构建直角 实际三角形 应用 建模出数学图形, 再添设辅助线求解 2.基础知识
直角三角形的特征
⑴直角三角形两个锐角互余;
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
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⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半;
⑷勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即: 在Rt△ABC中,若∠C=90°,则a2+b2=c2; A ⑸勾股定理的逆定理:如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,则这个三角形是直角三角形,即:在△ABC中,若a2+b2=c2,则∠C=90°;
⑹射影定理:AC2=AD?AB,BC2=BD?AB,CD2=DA?DB. A C 锐角三角函数的定义:
c 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
b ∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c, bab
则sinA= ,cosA= ,tanA= ,cotA=
ccbaD B aC a B
特殊角的三角函数值:(并会观察其三角函数值随?的变化情况) 1. ? sin? cos? tan? cot?
30133 3 ° 223
4522 1 1 ° 22
60133解 3 ° 223直
角
三角形(Rt△ABC,∠C=90°) ⑴三边之间的关系:a2+b2=c2.
⑵两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.. ⑶边角之间的关系:sinA=
?A 的对边斜边=acab,cosA=
?A 的邻边斜边=bcba.
tanA=
?A 的对边?A 的邻边=,cotA=
?A 的邻边?A 的对边=.
⑷解直角三角形中常见类型: ①已知一边一锐角. ②已知两边.
③解直角三角形的应用. 2.能力要求
例1 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD⊥AB于点D,求∠BCD的四个三角函数值.
【分析】求∠BCD的四个三角函数值,关键要弄清其定义,由于∠BCD是在Rt△BCD中的一个内角,根据定义,仅一边BC是已知的,此时有两条路可走,一是设法求出BD和CD,二是把∠BCD转化成∠A,显然走第二条路较方便,因为在
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Rt△ABC中,三边均可得出,利用三角函数定义即可求出答案. 【解】 在Rt△ABC中,∵ ∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACD=90°, ∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠A=90°,∴∠BCD=∠A. 在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB=AC?BC=10, 22D A ∴sin∠BCD=sinA=
BC4AC3 = ,cos∠BCD=cosA= = , AB5AB5
B C BC4AC3
tan∠BCD=tanA= = ,cot∠BCD=cotA= = .
AC3BC4
【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义,把握其本质,教师应强调转化
的思想,即本题中角的转换.(或可利用射影定理,求出BD、DC,从而利用三角函数定义直接求出) 例2 如图,在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪离AB为1.5米,求拉线CE的长.(结
C 果保留根号)
【分析】求CE的长,此时就要借助于另一个直角
A 三角形,故过点A作AG⊥CD,垂足为G,在Rt△30° G ACG中,可求出CG,从而求得CD,在Rt△CED中,
60° 即可求出CE的长.
B E D F 【解】 过点A作AG⊥CD,垂足为点G, 在Rt△ACG中,∵∠CAG=30°,BD=6,
CG3∴tan30°= ,∴CG=6× =23
AG3∴CD=23 +1.5,在Rt△CED中,sin60°=
CDCD2 ,∴EC= =ECsin60°3+1.532=4+3 .
答:拉线CE的长为4+3 米.
【说明】在直角三角形的实际应用中,利用两个直角三角形的公共边或边长之间
的关系,往往是解决这类问题的关键.老师在复习过程中应加以引导和总结. 例3 如图,某县为了加固长90米,高5米,坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡,它们是坡度均为1∶0.5,橫断面是梯形的防洪大坝,现要使大坝顺势加高1米,求⑴坡角的度数;⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土?
【分析】大坝需要的土方=橫断面面积×坝长;所以问题就转化为求梯形ADNM的面积,在此问题中,主要抓住坡度不变,即MA与AB的坡度均为1∶0.5. 1
【解】 ⑴∵i=tanB,即tanB= =2,∴∠B=63.43°. 0.5A ⑵过点M、N分别作ME⊥AD,NF⊥AD,
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M E N D F B C 文理∈教研网 czwljyw.com 文理教研您的好帮手
垂足分别为E、F. 由题意可知:ME=NF=5,∴∴AE=DF=2.5,
∵AD=4, ∴MN=EF=1.5, 1
∴S梯形ADNM= (1.5+4)×1=2.75.
2∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) .
【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题,坡度=
垂直高度
=坡
水平距离
ME1 = , AE0.5
角的正切值,虽然2007年中考时计算器不能带进考场,但学生应会使用计算器,
所以建议老师还是要复习一下计算器的使用方法.
例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B,小明想测量A、B之间的距离,他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上,测得B在北偏东32°方向上,且量得B、C间距离为100米,根据上述测量结果,请你帮小明计算A、B之间的距离.(结果精确到1米,参考数据:sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tan s32°≈0.6249,cot32°≈1.600)
【分析】本题涉及到方位角的问题,要解出AB的长,只要去解Rt△ADC 和Rt△BDC即可.
D 【解】过点C作CD⊥AB,垂足为D. 北 A 由题知:∠?=45°,∠?=32°. 在Rt△BDC中,sin32°=
??C B
BD ,∴BD=100sin32°≈52.99. BCCDcos 32°= ,∴CD=100 cos 32°≈84.80.
BC在Rt△ADC中,∵∠ACD=45°,∴AD=DC=84.80. ∴AB=AD+BD≈138米.
答:AB间距离约为138米.
【说明】本题中涉及到方位角的问题,引导学生画图是本题的难点,找到两个直角三角形的公共边是解题的关键,教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形.
例5 在某海滨城市O附近海面有一股台风,据监测,当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处,并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动,台风侵袭范围是一个圆形区域,当前半径为60千米,且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张.
(1)当台风中心移动4小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米;又台风中心移动t小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米.
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(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨城市?请说明理由(参考数据2?1.41,3?1.73).
【分析】⑴由题意易知. ⑵先要计算出OH和PH的长,即可求得台风中心移动时间,而后求出台风侵袭的圆形区域半径,此圆半径与OH比较即可. 【解】⑴100; (60?10t).
⑵作OH⊥PQ于点H,可算得
OH?1002?141(千米),设经过t小时时,台风中心从P移动到H,则
PH?20t?1002,算得t?52(小时),此时,受台风侵袭地区的圆的半径为:60?10?52?130.5(千米)<141(千米). ∴城市O不会受到侵袭.
【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题,对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决.
例6 如图所示:如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60° ,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45° ,已知OA=100米,山坡坡度为 11
,(即tan∠PAB= )且O、A、B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以22
及所在位置点P的铅直高度.(测倾器的高度忽略不计,结果保留). 【分析】很显然,电视塔OC的高在RtC △OAC中即可求得.
要求点P的铅直高度,即求PE的长,山坡 由坡度i=1:2,可设PE=x,则AE=2x.
P 此时只要列出关于x的的方程即可.而45F 60此时要借助于45°所在的Rt△来解决.
O B 水平地面 A E 故过点P作PF⊥OC,垂足为F.在Rt△PCF中,由PF=CF,得100+2x=1003 –x,即可求得PE的长. 【解】过点P作PF⊥OC,垂足为F.
在Rt△OAC中,由∠OAC=60°,OA=100,得OC=OA tan∠OAC=1003 米. 过点P作PE⊥AB,垂足为E.由i=1:2,设PE=x,则AE=2x. ∴PF=OE=100+2x,CF=1003 –x.
在Rt△PCF中,由∠CPF=45°,∴PF=CF,即100+2x=1003 –x, ∴x=100 3- 100
3即PE=
,
100 3- 100
3
100 3- 100
答:电视塔OC高为1003 米.点P的铅直高度为 米.
3
【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型,即解直角三角形时,当不能直
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接解出三角形的边时,可设未知数,利用方程思想来解决,这是解决数学问题中常用的方法,沟通了方程与解直角三角形之间的联系.
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