复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案

复变函数测验题

第五章 留 数

一、选择题： 1．函数

cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )

2z?3（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z) 的( )

（A）可去奇点 （B）本性奇点

（C）m级极点 （D）小于m级的极点 3．设z?0为函数

1?e的m级极点，那么m?( ) 4zsinzx2（A）5 （B）4 (C)3 （D）2 4．z?1是函数(z?1)sin1的( ) z?1(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 一级零点 （D）本性奇点

3?2z?z35．z??是函数的( )

z2(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 二级极点 （D）本性奇点 6．设f(z)??anzn在z?R内解析，k为正整数，那么Res[n?0?f(z),0]?( ) kz（A）ak （B）k!ak （C）ak?1 （D）(k?1)!ak?1 7．设z?a为解析函数f(z)的m级零点，那么Res[f?(z),a]?( ) f(z)(A)m （B）?m （C） m?1 （D）?(m?1) 8．在下列函数中，Res[f(z),0]?0的是（ ）

1

复变函数测验题

ez?1sinz1（A） f(z)? （B）f(z)??

zzz2（C）f(z)?sinz?cosz11? (D) f(z)?zze?1z9．下列命题中，正确的是( ) （A） 设f(z)?(z?z0)极点．

（B） 如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),?]?0 （C） 若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]?0 （D） 若

?m?(z)，?(z)在z0点解析，m为自然数，则z0为f(z)的m级

?f(z)dz?0，则f(z)在c内无奇点

c10． Res[zcos32i,?]? ( ) z（A）?2222 （B） （C）i （D）?i

333321z?i11．Res[ze（A）?,i]? ( )

1515?i （B）??i （C）?i （D）?i 666612．下列命题中，不正确的是( )

（A）若z0(??)是f(z)的可去奇点或解析点，则Res[f(z),z0]?0 （B）若P(z)与Q(z)在z0解析，z0为Q(z)的一级零点，则Res[（C）若

P(z0)P(z) ,z0]?Q(z)Q?(z0)z0为

f(z)的m级极点，n?m为自然数，则

1dnRes[f(z),z0]?limn[(z?z0)n?1f(z)]

n!x?x0dz

2

复变函数测验题

（D）如果无穷远点?为f(z)的一级极点，则z?0为f()的一级极点，并且

1z1Res[f(z),?]?limzf()

z?0z13．设n?1为正整数，则

1dz?( ) ?nz?1z?2(A)0 （B）2?i （C）

2?i （D）2n?i nz914．积分?10dz?( )

z?13z?2（A）0 （B）2?i （C）10 （D）

?i 515．积分

12zsindz?( ) ?zz?1（A）0 （B）?二、填空题

?i1 （C）? （D）??i

36331．设z?0为函数z?sinz的m级零点，那么m? ．

2．函数f(z)?11cosz在其孤立奇点zk?1k???2(k?0,?1,?2,??)处的留数

Res[f(z),zk]? ．

3．设函数f(z)?exp{z?21}，则Res[f(z),0]? z2 3

复变函数测验题

4．设z?a为函数f(z)的m级极点，那么Res[f?(z),a]? ． f(z)5．双曲正切函数tanhz在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设f(z)?2z，则Res[f(z),?]? ． 1?z27．设f(z)?1?cosz，则Res[f(z),0]? ． z5edz? ．

1z8．积分

z?1?z39．积分

1dz? ． ?sinzz?1??xeixdx? ． 10．积分???1?x2三、计算积分

z?zsinz?1(ez?1?z)2dz．

4四、利用留数计算积分

??0d?a2?sin2?(a?0)

五、利用留数计算积分

?????x2?x?2dx 42x?10x?9六、利用留数计算下列积分： １．

???0??cos(x?1)xsinxcos2xdxdx ２．?22??x?1x?1七、设a为f(z)的孤立奇点，m为正整数，试证a为f(z)的m级极点的充要条件是

lim(z?a)mf(z)?b，其中b?0为有限数．

z?a八、设a为f(z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则Res[f(z),a]?Res[f(z),?a]；

4

复变函数测验题

若f(z)是偶函数，则Res[f(z),a]??Res[f(z),?a]． 九、设f(z)以a为简单极点，且在a处的留数为A，证明limz?af?(z)21?f(z)?1. A十、若函数?(z)在z?1上解析，当z为实数时，?(z)取实数而且?(0)?0，f(x,y)表示

?(x?iy)的虚部，试证明?2?tsin?01?2tcos??t2f(cos?,sin?)d????(t)

5

(?1?t?1)

答案

复变函数测验题

第五章 留 数

一、1．（D） 2．（B） 3．（C） 4．（D） ５．（B）

６．（C） ７．（A） ８．（D） ９．（C） 10．（A） 11．（B） 12．（D） 13．（A） 14．（B） 15．（C）

1．9 2．(?1)k二、(k???22) 6．?2 7．?124 三、?163?i. 四、

?aa2?1.

五、

512?. 六、１．?4(e?e3e4) 3．0 8．?i12 ?co1se

6

4．?m9．2?i 5．1

10．?ie ２．

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