重庆2013中考数学一轮复习5.一元二次方程根与系数的

中考复习之一元二次方程根与系

数的关系

知识考点：

21世纪教育网掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。 精典例题：

【例1】关于x的方程2x2?kx?4?10的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k＝ 。

分析：设另一根为x1，由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组，解之即得。

答案：

5，－1 2【例2】x1、x2是方程2x2?3x?5?0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）x1?x2 （2）x1?x2 （3）x1?3x2?3x2

略解：（1）x1?x2＝(x1?x2)?2x1x2＝7 （2）x1?x2＝

22222221 4(x1?x2)2?4x1x2＝

13 2 （3）原式＝(x1?x2)?(2x2?3x2)＝

222117?5＝12 44【例

3】已知关于

x的方程

x2?2(m?2)x?m2?5?0有两个实数根，并且这

两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。

分析：有实数根，则△≥0，且

x1?x2?x1x2?16，联立解得m的值。

22略解：依题意有：

?x1?x2??2(m?2)?2?x1x2?m?5 ?2 2?x1?x2?x1x2?16???4(m?2)2?4(m2?5)?0?由①②③解得：m??1或m??15，又由④可知m≥?9 4∴m??15舍去，故m??1 探索与创新：

【问题一】已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x?4(m?1)x?m?0的两个非零实数根，问：

22x1与x2能否同号？若能同号请求出相应的m的取值

范围；若不能同号，请说明理由。

略解：由???32m?16≥0得m≤

1。2x1?x2??m?1，x1x2?12m≥0 4 ∴x1与x2可能同号，分两种情况讨论： （1）若x1＞0，x2＞0，则??x1?x2?0，解得

xx?0?12m＜1且m≠0

∴m≤

1且m≠0 2（2）若x1＜0，x2＜0，则??x1?x2?0，解得

xx?0?12m＞1与m≤相矛盾

综上所述：当m≤根同号。

【问题二】已知x1、x2是一元二次方程

121且m≠0时，方程的两24kx2?4kx?k?1?0的两个实数根。

（1）是否存在实数

k，使

3求出k的(2x1?x2)(x1?2x2)??成立？若存在，

2值；若不存在，请说明理由。

（2）求使

x1x2??2的值为整数的实数k的整x2x1数值。

略解：（1）由k≠0和△≥0?k＜0 ∵x1?x2?1，x1x2? ∴

k?1 4k(2x1?x2)(x1?2x2)?2(x1?x2)2?9x1x2

??k?93?? 4k2 ∴k?9，而k＜0 5 ∴不存在。

x1x2(x1?x2)2??2＝?4＝（2）

x1x2x2x1?44，要使?的值为整数，而k为整数，k?1k?1k?1只能取±1、±2、±4，又k＜0

∴存在整数k的值为－2、－3、－5

跟踪训练： 一、填空题：

21世纪教育网

1、设x1、x2是方程x2?4x?2?0的两根，则①

11＝ ；②x1?x2 ＝ ；?x1x2③(x1?1)(x2?1)＝ 。

2、以方程2x2?x?4?0的两根的倒数为根的一元

二次方程是 。

3、已知方程x2?mx?45?0的两实根差的平方为

144，则m＝ 。

4、已知方程x2?3x?m?0的一个根是1，则它的

另一个根是 ，m的值是 。 5、反比例函数y?k的图象经过点P（a、b），x其中a、b是一元二次方程x2?kx?4?0 的两

根，那么点P的坐标是 。 6、已知x1、x2是方程x2?3x?1?0的两根，则

4x1?12x2?11的值为 。

二、选择题：

1、如果方程x2?mx?1的两个实根互为相反数，那么m的值为（ ）

A、0 B、－1 C、1 D、±1

2、已知ab≠0，方程ax2?bx?c?0的系数满足

2?b????ac，则方程的两根之比为（ ） ?2? A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3

3、已知两圆的半径恰为方程2x2?5x?2?0的两根，圆心距为3，则这两个圆的外公切线有（ ）

2 A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

4、已知，在△ABC中，∠C＝900，斜边长71，两直2角边的长分别是关于x的方程：

1x2?3(m?)x?9m?0的两个根，则△ABC的

2内切圆面积是（ ）

A、4? B、C、? D、?3? 27494来源:21世纪教育网

5、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：

x2?(2m?1)x?m2?3?0的根，则m的值为

（ ）

来源:21世纪教育网

A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3

三、解答题：

1、证明：方程x2?1997x?1997?0无整数根。 2、已知关于x的方程x2?3x?a?0的两个实数根的倒数和等于

3，关于x的方程

(k?1)x2?3x?2a?0有实根，且k为正整数，

求代数式3

、

k?1的值。 k?2知

关

于

已

x的方程

x2?(1?2a)x?a2?3?0……①有两个不相等

的实数根，且关于

x的方程

x2??2x?2a?1?0……②没有实数根，问：a取什么整数时，方程①有整数解？

4、已知关于x的方程x?2(m?1)x?m?3?0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且

22(x1?x2)2?(x1?x2)?12?0，求m的值。

5、已知关于x的方程kx?(2k?1)x?k?1?0只有整数根，且关于y的一元二次方程

2(k?1)y2?3y?m?0的两个实数根为y1、y2。

（1）当k为整数时，确定k的值。

（2）在（1）的条件下，若m＝2，求y1?y2的值。

6、已知x1、x2是关于x的一元二次方程

224x2?4(m?1)x?m2?0的两个非零实根，问：

x1、x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取

值范围；若不能同号，请说明理由。

参考答案

一、填空题：

1、①2；②22；③7；2、4x2?x?2?0；3、±18；4、2，2；5、（－2，－2） 6、43； 二、选择题：ABCDA 三、解答题：

21世纪教育网 1、略证：假设原方程有整数根，由

?x1?x2?1997可得x1、x2均为整数根， ?xx?1997?12 ∵x1x2?1997 ∴x1、x2均为奇数

但x1?x2应为偶数，这与

x1?x2?1997相矛盾。

2、k?1， 3、a?3

4、（1）m??2；（2）m?1

k?1?0 k?2 5、（1）k＝0，－1；（2）当k＝0时，

y1?y2?13；当k??1时，y1?y2? 6、能同号，m≤

222217 41且m≠0 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/00nr.html