2020-2021学年天津市高三二模数学(理)试卷及答案解析

天津市 高三二模数学（理）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

参考公式：

● 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．

● 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ?=．

● 如果在1次试验中某事件A 发生的概率是

p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是()(1)k k n k n n P k C p p -=-．

● 柱体体积公式：V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高．

● 锥体体积公式：13

V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 球体表面积公式：24πR S =, 其中R 表示球体的半径．

● 球体体积公式：34π3

V R =，其中R 表示球体的半径． 第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合{}2|10,A x x x =-∈R ≥，{|03,}B x x x =<∈R ≤，则A B =I

（A ）{|13}x x x <<∈R ， （B ）{|13}x x x ∈R ≤≤， （C ）{|13}x x x <∈R ≤， （D ）{|03}x x x <<∈R ，

（2）若实数x y ，满足202204.x y x y y --??+-??+?≥，≤，≥0

则目标函数43z x y =+的最大值为 （A ）0 （B ）103 （C ）12 （D ）20 （3）某程序框图如下图所示，若输出的26S =， 则判断框内为

（A ）3?k > （B ）4?k >

（C ）5?k > （D ）6?k >

（4）下列结论中，正确的是

（A ）“2x >” 是“220x x ->”成立的必要条件

（B ）已知向量,a b ，则“//a b ”是“+a b =0”的充要条件

（C ）命题“2:,0p x x ?∈R ≥”的否定形式为“200:,0p x x ??∈R ≥”

（D ）命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为假命题 （5）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>，以C 的右焦点(,0)F c 为圆心，以a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于,A B 两点，若23AB c =

，则双曲线C 的离心率为 （A ）

326 （B ）35 （C ）6 （D ）32

（6）在钝角．．

ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知7a =，5c =，53sin C =，则ABC △的面积等于

（A

（B

（C

（D ）154

（7）若函数3()2(0)x f x e x a a -=-+>有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是

（A ）[0,1] （B ）(0,1) （C ）[1,)+∞ （D ）(0,)+∞

（8）已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数，且f(x ＋1)＝1f （x ）

，若f(x)在[－1，0]上是减函数，记0.5(log 2)a f =，2(log 4)b f =，0.5(2)c f =则

（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写．．．．在答题卡上．．．．．

。 2．本卷共12题，共110分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

（ 9 ）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(2i)(1i)i b a +-=+，则a b += ．

（10）设变力()F x 作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从0x =运动到6x =，已知2()1F x x =+且方向和x 轴正向相同，则变力()F x 对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ；力的单位：N )．

（11）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l

的参数方程为1x y ?=????=+??

(l 为参数)，直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，则线段AB 的长为 ．

（12）如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图

均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为 ．

（13）如图，已知圆内接四边形ABCD ,边AD 延长线交BC 延长线于点P ，连结AC ，BD ，若6AB AC ==，9PD =则AD = ．

（14）已知等腰ABC ?，点D 为腰AC 上一点，满足2BA BC BD +=u u u v u u u v u u u v ，且||3BD =u u u v ，则

ABC ?面积的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分） 已知231()2cos ,2

f x x x x =+-∈R （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π??????

的最大值； (Ⅱ)若01()3f x =．0,612x π5π??∈????

，求0sin 2x 的值 （16）（本小题满分13分）

甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会(每人抢答机会均等)，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，13，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响.

(Ⅰ) 若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；

（Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望； （Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．

（17）（本小题满分13分）

已知数列{}n a 是递增．．等差数列，12a =，其前n 项为n S （n *∈N ）．且145,,2

a a S +成等比数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足1221n a n b -=+，计算{}n b 的前n 项和n T ，并用数学归纳法证明：当5n ≥时，n *∈N ，n n T S >．

（18）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=o ，侧面PBC 是边长为2的等边三角形，点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD .

(Ⅰ) 求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值；

(Ⅱ) 若点F 在PC 边上移动，是否存在点

F 使平面BFD 与平面APC 所成的角为90o ？

若存在，则求出点F 坐标，否则说明理由．

（19）（本小题满分14分）

设椭圆:C 22221(0)x y a b a b

+=>>，过点(2,1)Q ，右焦点(2,0)F , （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，且与椭圆C 交于,M N 两点，若CN MD =u u u r u u u u r ,求k 值；

（Ⅲ）自椭圆C 上异于其顶点的任意一点P ,作圆22:2O x y +=的两条切线切点分别为12,P P ,若直线12P P 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：

22121m n

+= ．

（20）（本小题满分14分） 已知函数21()ln 2

f x a x bx x =++，（,a b ∈R ） （Ⅰ）若函数()f x 在121,2x x ==处取得极值，求,a b 的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；

（Ⅱ）若函数()f x 在（1,(1)f ）处的切线的斜率为1，存在[1,]x e ∈，使得

21())2

f x x a x x -+≤(+2)(-成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ) 若2()()(1)2b h x x f x x +=+-，求()h x 在[1,e]上的最小值及相应的x 值.

数学（理）参考答案一、选择题：每小题5分，共40分

二、填空题：每小题5分，共30分．

三、解答题：共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

已知21()2cos 2

f x x x +- （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π??????

的最大值； (Ⅱ)若01()3f x =．0,612x π5π??∈????

，求0sin 2x 的值 解 (Ⅰ)∵f(x)＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ? ????2x ＋π6 ∴()sin(2)6

f x x π=+， ∴最小正周期为π，

∵x ∈??????0，π2，∴sin ?

????2x ＋π6∈??????－12，1， 所以f(x)在区间?

?????0，π2的最大值是1. (Ⅱ)∵()sin(2)6f x x π=+，01()3f x =，∴01sin(2)63x π+=，又0,612x π5π??∈????

所以0262x ππ??+∈,π????，故0cos(2)6x π+= 所以0000sin 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 666666

x x x x ππππππ=+

-=+-+

1132?=?= ?? （16）（本小题满分13分）

甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，13，12

，且各人回答正确与否相互之间没有影响.

(Ⅰ) 若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；

（Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．

解：(Ⅰ) 6个选手中抽取两名选手共有26651521

C ?==?种结果， 抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：2326C =种结果， 用A 表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”

62()155

P A ==. 故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率为25

.

(Ⅱ)解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且

P(ξ＝0)＝C 03

×? ????1－233＝127， P(ξ＝1)＝C 13

×23×? ????1－232＝29， P(ξ＝2)＝C 23

×? ????232×? ????1－23＝49， P(ξ＝3)＝C 33

×? ????233＝827. 所以ξ的分布列为

ξ的数学期望E(ξ)＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝2.

解法二：根据题设可知ξ～B ? ??

??3，23， 因此ξ的分布列为

P(ξ＝k)＝C k 3

×? ????23k ×? ????1－233－k

＝C k 3×2k

33，k ＝0，1，2，3. 因为ξ～B ? ????3，23，所以E(ξ)＝3×23＝2. （Ⅲ）用B 表示事件:两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，

用1A 表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分。

312121212111421140()()[][]33323233239323243P A =??+??+??+??= 用2A 表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分

322211818()()3332279243

P A =???=?= 1240848()()()243243243P B P A P A =+=+= 所以两队得分之和大于4的概率为

48243

． （17）（本小题满分13分） 已知数列{}n a 是递增．．

等差数列，12a =，其前n 项为n S （n *∈N ）．且145,,2a a S +成等比数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足1221n a n b -=+，计算{}n b 的前n 项和n T ，并用数学归纳法证明：当5n ≥时，n *∈N ，n n T S >．

（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =和145,,2a a S +成等比数列，得 (2＋3d)2＝2(12＋10d)，

解得d ＝2或109d =-

. 当109

d =-时，与增数列矛盾，舍去． 所以d ＝2，

所以2(1)22n a n n =+-?=即数列{}n a 的通项公式为2n a n = 2n S n n =+ （Ⅱ）1122121n a n n b --=+=+，

021*********(122)21n n n n T n n --=++++++++=+++=+-L L 要证n n T S >，即证明：221n n >+

当5n =时，522322651=>=+

假设当n k =时，221k k >+成立，

则1n k =+时，1222222k k k +=?>+

而2222222[(1)1]22222(2)k k k k k k k k k +-++=+---=-=- 因为5k >，所以2222[(1)1]0k k +-++>，

故1222222k k k +=?>+2(1)1k >++．

综上得当5n ≥时，n n T S >，n *∈N ．

（18）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=o ，侧面PBC 是边

长为2的等边三角形，点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD .

(Ⅰ) 求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值； (Ⅱ) 若点F 在PC 边上移动，是否存在点F 使平面BFD 与 平面APC 所成的角为90o ？若存在，则求出点F 坐标，否则 说明理由．

(Ⅰ) 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=o ，故2AB BC AC PC PB ===== 取BC 中点O ，则AO BC ⊥，,PO BC PO AO ⊥⊥

以O 为坐标原点，OP 为x 轴，OC 为y 轴建立平面直角坐标系， (0,0,0)O ，3)A ,(0,1,0)B -,(0,1,0)C

(3,0,0)P ,3)D ,31(

,0)2

E (Ⅰ) (3,2,3)PD =u u u r ，(0,1,3)AC =u u u r ， 则34310PD =++u u u r ，132AC =+=u u u u r ，231PD AC ?=-=-u u u r u u u r

设异面直线PD 与AC 所成角为θ,110cos 210PD AC PD AC

θ?-==u u u r u u u r u u u r u u u r 所以异面直线PD 与AC 10 (Ⅱ)设存在点F ，使平面BFD 与平面APC 所成的角为90o ，

设(,,0)E a b ，因为,,P C F 三点共线，PF PC λ=u u u r u u u r ，(3,,0)PF a b =u u u r ，(3,1,0)PC =-u u u r 所以，(1)3,a b λλ=-=，((1)3,,0)F λλ-，

设平面BFD 的一个法向量为()1111,,x y z =m

，1111110300(1(1)0BD y BF y λλ???==??????=-++=???

?m m u u u r u u u r

令1y =

1131λλ+??=- ?-??

m

.1=m 设平面APC 的一个法向量为()2222,,x y z =m

，2222220000AP PC y ??==????=+=???

?m m u u u r u u u r 令21x =

，()2=m

.2==m ,又12113311

λλλλ++?=+-=--m m 若平面BFD 与平面APC 所成的角为90o ，则12121

cos90λλ+?=m m m m o 故101

λλ+=-，即1λ=-

，此时(1,0)E -，点F 在CP 延长线上， 所以，在PC 边上不存在点F 使平面BFD 与平面APC 所成的角为90o

（19）（本小题满分14分）

设椭圆:C 22221(0)x y a b a b

+=>>

，过点Q

，右焦点F , （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，且与椭圆C 交于,M N 两点，若CN MD =u u u r u u u u r ,求k 值；

（Ⅲ）自椭圆C 上异于其顶点的任意一点P ,作圆22:2O x y +=的两条切线切点分别为12,P P ,若直线12,P P 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：22121m n += ． 解：

（Ⅰ）因为过点Q ，故有22211a b

+=

，由已知c =联立22222112

a b a b ?+=???=+?解得：224,2a b ==，所以椭圆C 的方程为22142x y +=． （Ⅱ）直线:(1)l y k x =-与x 轴交点(1,0)C ， y 轴交点(0,)D k -

联立2224(1)

x y y k x ?+=?=-?消元得：2222(12)4240k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122

412k x x k +=+ 22(1,)CN x y =-u u u r ，11(,)MD x k y =---u u u u r ，

由CN MD =u u u r u u u u r 得：2122

4112k x x k +==+

，解得：k =． （Ⅲ）因为12,P P 为切点，所以11OP PP ⊥,22OP PP ⊥,所以12,,,P P O P 四点共圆， 其圆心(,)22

p p x y O '，方程为：2222()()224p p p P y x y x x y +-+-= 整理得：220p p x y xx yy +--=

12,P P 是圆O 与圆O '的交点，联立222220p p x y x y xx yy ?+=??+--=??

得2p p xx yy +=， 得22,p p x y m n ==，因为(,)p p P x y 在椭圆22

142x y +=上，则22

22()()142m n += 整理得：

22

121m n +=。

（20）（本小题满分14分） 已知函数21()ln 2

f x a x bx x =++，（,a b ∈R ） （Ⅰ）若函数()f x 在121,2x x ==处取得极值，求,a b 的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；

（Ⅱ）若函数()f x 在（1,(1)f ）处的切线的斜率为1，存在[1,]x e ∈，使得

21())2f x x a x x -+≤(+2)(-成立，求实数a 的取值范围；

(Ⅲ) 若2()()(1)2b h x x f x x +=+-，求()h x 在[1,e]上的最小值及相应的x 值.

解：（Ⅰ）因为()1a f x bx x '=++，(1)10f a b '=++=①，1(2)2102

f a b '=++=②。 由①②解得：23a =-，13

b =-. 此时221()ln 36f x x x x =--+，(1)(2)()3x x f x x

---'=，

（Ⅱ）若函数()f x 在（1,(1)f ）处的切线的斜率为1，则(1)11f a b '=++=，则a b =- 故2()ln 2

a f x a x x x =-+ 若221()ln )22a f x x a x x a x x -=-

+≤(+2)(-成立，则2(ln )a x x x x --≥2成立， ∵],1[e x ∈, ∴ln 1x x ≤≤且等号不能同时取，所以x x -x x ．

因而22ln x x a x x

--≥(],1[e x ∈)． 令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2)

ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='， 当],1[e x ∈时，10,ln 1x x -≥≤，0ln 22>-+x x ， 从而()0g x '≥（仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数．

故)(x g 的最大值为12)(2--=e e e e g ，所以实数a 的取值范围是),12[2+∞--e e e ．

(Ⅲ) 22()()(1)()ln 2

b h x x f x x h x a x x +=+-?=+ 22()(0)x a h x x x +'=>，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+.

若2-≥a ，()h x '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，1x =时，()0h x '=），故函数()h x 在],1[e 上是增函数，此时min [()]h x =1)1(=f ．

若222-<<-a e ， 当2

a x -=时，()0h x '=； 当21a x -<

≤时，()0h x '<，此时()h x 是减函数； 当e x a ≤<-2

时，()0h x '>，此时()h x 是增函数． 故min [()]h x =)2(

a f -2)2ln(2a a a --=． 若22e a -≤，()h x '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x e =时，0)(='x f ），故函数()h x 在],1[e 上是减函数，此时min [()]()h x h e ==2e a +．

综上可知，当2-≥a 时，()h x 的最小值为1，相应的x 值为1； 当222-<<-a e 时,()h x 的最小值为2

)2ln(2a a a --,相应的x 值为2a -； 当22e a -≤时，()h x 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/00le.html