用待定系数法求an

用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项

例:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。 解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1

令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－13 ∴ an－13 =－2（an－1－13 ）

故{ an－13 }是公比q为－2，首项为an－13 =23 的等比数列 ∴an－13 =23 （－2）n－1=1－（－2）n3

评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，则有

（A－1）x=B知x=BA－1 ，从而an＋BA－1 =A（an－1+BA－1 ），于是数列{an＋BA－1 }是首项为a1+BA－1 、公比为A的等比数列，故an＋BA－1 =（a1+BA－1 ）An－1，从而

an=（a1+BA－1 ）An－1－BA－1 ；特别地，当A=0时{an}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。

推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。 例:数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋13n（n≥2），求an。

解：令an＋x?13n=2（an＋x?13n-1）则an=2an－1+ 2x?13n-1－x?13n=53 x?13n-1=5x?13n 而由已知an=2an－1＋13n故5x=1，则x=15 。故an＋15 ?13n＝2（an－1＋15 ?13n-1） 从而{an＋15 ?13n}是公比为q=2、首项为a1＋15 ?13=1615 的等比数列。

于是an＋15 ?13n=1615 ×2n－1，则an=1615 ×2n－1－15 ?13n=115 （2n+3－13n－1）

评注：一般情况，对条件an=Aan－1+f（n）而言，可设an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，则有Ag（n－1）－g（n）=f（n），从而只要求出函数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中的对应关系。特别地，当f（n）=B（B为常数）时，就是前面叙述的例8型。

这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an－1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？ 我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展开得到

an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理论上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际操作上，k（n）未必能轻易确定出来，请看下题： 数列{an}满足a1=1且an=n2nan－1+1n+1 ，求其通项公式。

在这种做法下得到n2nk（n－1）－k（n）=1n+1 ，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k（n）来。

通过Sn求an

例10：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。

解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=34 。由于an =5Sn－3………① 则 an-1 =5 Sn-1－3………②

①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an

故an=－14 an-1，则{an}是公比为q=－14 、首项an=34 的等比数列，则an=34 （－14 ）n-1 评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式

1

1 观察法

2 逐减法 对an-a(n-1)=f(n)型 3 累商法 对a(n+1)/a(n)=f(n)型 4 迭代法 5 待定系数法 6 对数转换法 7 倒数转换法

8 公式法 有一个相当复杂的公式 基本不会用到 9 a(n+1)=pan+q型 设a(n+1)-m=p(an-m) a(n+1)=pan+m-pm m-pm=q 就能求出m x=px+q叫特征方程 10 a(n+1)=pan+f(n)型

a(n+1)/[p^(n+1)]=an/p^n+f(n)/[p^(n+1)] 设 bn=an/p^n

b(n+1)=bn+ f(n)/[p^(n+1)] 11 a(n+2)=pa(n+1)+qn 型 an=pa(n-1)+qa(n-2)

设an-ma(n-1)=k[a(n-1)-ma(n-2)] an=(m+k)a(n-1)-kma(n-2) m,k是x^2-px+q=0两根 x^2-px+q=0是特征方程

2

求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k}的形式求解

1an?1+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。 211解：由an=an?1+1（n≥2）得an－2=（an?1－2），而a1－2=1－2=－1，

221∴数列{ an－2}是以为公比，－1为首项的等比数列

21n?11n?1∴an－2=－（） ∴an=2－（）

22例1、数列{an}满足a1=1，an=

说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ an－2}，从而达到解决问题的目的。一般地，形如an?1=p an+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解：设an?1+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=得等比数列{an+k}。

例2、数列{an}满足a1=1，3an?1?an?7?0,求数列{an}的通项公式。

q，从而p?17 31k77设an?1?k??(an?k)，比较系数得?k??解得k??

333471773∴{an?}是以?为公比，以a1??1???为首项的等比数列

43444731n?1∴an????(?)

443731n?1∴an???(?)

443解：由3an?1?an?7?0得an?1??an?2、通过分解系数，可转化为特殊数列{an?an?1}的形式求解

例3、数列{an}满足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an=0，求数列{an}的通项公式。

分析：递推式an?2?3an?1?2an?0中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项an?1的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列{an?an?1}。

13 3

解：由an?2?3an?1?2an?0得an?2?an?1?2(an?1?an)?0 即an?2?an?1?2(an?1?an），且a2?a1?5?2?3 ∴{an?1?an}是以2为公比，3为首项的等比数列 ∴an?1?an?3?2n?1

利用逐差法可得an?1?(an?1?an)?(an?an?1)???(a2?a1)?a1 =3?2n?1?3?2n?2???3?20?2 ?2n?2???2?1)?2

=3?(2n?11?2n =3??2

1?2 =3?2?1 ∴an?3?2n?1n?1

说明：这种方法适用于an?2?pan?1?qan型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列{an?an?1}：设an?2?kan?1?h(an?1?kan)，比较系数得h?k?p,?hk?q，可解得

h,k。

例4、数列{an}中，a1?1,a2?2,3an?2?2an?1?an，求数列{an}的通项公式。

21an?1?an,设an?2?kan?1?h(an?1?kan) 332111比较系数得k?h?，?kh?，解得k?1,h??或k??,h?1

333311若取k?1,h??，则有an?2?an?1??(an?1?an)

331∴{an?1?an}是以?为公比，以a2?a1?2?1?1为首项的等比数列

31n?1∴an?1?an?(?)

3由逐差法可得an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1

解：由3an?2?2an?1?an得an?2?=(?)13n?2111?(?)n?3???(?)2?(?)?1?1

333 4

11?(?)n?13?1731?3=?1=?1?(?)n?1??1???(?)n?1

14?3?4431?3111说明：若本题中取k??,h?1，则有an?2?an?1?an?1?an即得

333111117{an?1?an}为常数列，故an?1?an?an?an?1???a2?a1?2??

333333可转

2。

高中数学解题基本方法——待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)?g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)?g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程； ② 由恒等的概念用数值代入法列方程； ③ 利用定义本身的属性列方程； ④ 利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组：

x?11. 设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。

25555A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2

22221122. 二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。

23A. 10 B. －10 C. 14 D. －14

5

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