江苏省高考数学 真题分类汇编 数列 - 图文

五、数列

（一）填空题 1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n

n2?nn2?n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为

22n2?n?6． 22、（2009江苏卷14）设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,若数列?bn?有连续四项在集合??53,?23,19,37,82?中，则6q= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

)，

?an?有连续四项在集合??54,?24,18,36,81?，四项?24,36,?54,81成等比数列，公比为

3q??，6q= -9

23、（2010江苏卷8）函数y=x(x>0)的图像在点(ak,ak)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

22

2

在点(ak,ak)处的切线方程为：y?ak2?2ak(x?ak),当y?0时，解得x?所以ak?1?ak， 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21。 24、（2011江苏卷13）设1?a1?a2??a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，

a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.

【解析】由题意：1?a1?a2?q?a2?1?q2?a2?2?q3，

?a2?q?a2?1,a2?1?q2?a2?2

而a2?1,a1?1,?a,2a21,?a22?q3?a2?2?3，

的最小值分别为1，2，3；?qmin?33.

本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.

5、（2012江苏卷6） 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，?3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．

【解析】组成满足条件的数列为：1,?3,9.?27,81,?243,729,?2187,6561,?19683.从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为

3. 5【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.

6、（2013江苏卷14）14．在正项等比数列{an}中，a5?1，a6?a7?3，则满足2a1?a2???an?a1a2?an的最大正整数n 的值为 。

答案： 14．12

（二）解答题

1、（2008江苏卷19）.（Ⅰ）设a1,a2,，且公,an是各项均不为零的等差数列（n?4）

差d?0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求

a1的数值；②求n的所有可能值； d（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1,b2,,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。

（1）①当n=4时, a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。

若删去a2，则a3?a1a即(a1??4，2d)a1??4 da若删去a3，则a22?a1?a4，即(a1?d)2?a1?(a1?3d)化简得a1?d?0，得1?1

daa综上，得1??4或1?1。

dd②当n=5时, a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5，否则出现连续三项。

22?a1?(a1?3d)化简得a1?4d?0，得

若删去a3，则a1?a5?a2?a4，即a1(a1?4d)?(a1?d)?(a1?3d)为d?0，所以a3不能删去；

化简得3d?0，因

2,an?2,an?1,an中，

由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1?an?a3?an?2，这与d?0矛盾；同样若删去an?1也有a1?an?a3?an?2，这与d?0矛盾；若删去a3,,an?2中任意一个，则必有a1?an?a2?an?1，这与d?0矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必

有连续的三项)

综上所述，n?4。

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1,b2,......bn，其中

当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列a1,a2,a3,bx?1,by?1,bz?1（0?x?y?z?n?1）为任意三项成等比数列，则b2y?1?bx?1?bz?1，即

22(b1?yd)2?(b1?xd)?(b1?zd)，化简得(y?xz)d?(x?z?2y)b1d （*）

由b1d?0知，y2?xz与x?z?2y同时为0或同时不为0 当y2?xz与x?z?2y同时为0时，有x?y?z与题设矛盾。

b1y2?xz故y?xz与x?z?2y同时不为0，所以由（*）得?

dx?z?2y2因为0?x?y?z?n?1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而于是，对于任意的正整数n(n?4)，只要

b1为有理数。 db1为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。 d例如n项数列1，1?2，1?22，……，1?(n?1)2满足要求。 2、（2009江苏卷17）（本小题满分14分）

设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22?a32?a42?a52,S7?7。 （1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得

amam?1为数列?an?中的项。 am?2【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

（1）设公差为d，则a2为d解

2222，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因?a5?a4?a3?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?得

7?6d?7，2，

a1??5d?2,

(2)

（方法一）则

amam?1(2m?7)(2m?5)=,设2m?3?t，

2m?3am?2amam?1(t?4)(t?2)8?t??6, 所以t为8的约数 =

ttam?2

（方法二）因为

amam?1(am?2?4)(am?2?2)8为数列?an?中的项， ??am?2?6?am?2am?2am?2故

8 am+2为整数，又由（1）知：am?2为奇数，所以am?2?2m?3??1,即m?1,2

经检验，符合题意的正整数只有m?2。w.w.w.zxxk.c.o.m 3、（2009江苏卷23）（本题满分10分）

对于正整数n≥2，用Tn表示关于x的一元二次方程x?2ax?b?0有实数根的有序数组

2(a,b)的组数，其中a,b??1,2,；对于随机选取的a,b??1,2,,n?（a和b可以相等）

2,n?（a和b可以相等），记Pn为关于x的一元二次方程x?2ax?b?0有实数根的概率。 （1）求Tn2和Pn2；（2）求证：对任意正整数n≥2，有Pn?1?1. n【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

w.w.w.zxxk.c.o.m

4、（2010江苏卷19）（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列的等差数列。

（1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）；

?S?是公差为dn（2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式Sm?Sn?cSk都成立。求证：c的最大值为

9。 2【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 （1）由题意知：d?0， Sn?S1?(n?1)d?a1?(n?1)d

2a2?a1?a3?3a2?S3?3(S2?S1)?S3，3[(a1?d)2?a1]2?(a1?2d)2,

化简，得：a1?2a1?d?d2?0,a1?d,a1?d2,Sn?d?(n?1)d?nd,Sn?n2d2， 当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2d2?(n?1)2d2?(2n?1)d2，适合n?1情形。 故所求an?(2n?1)d2 （2）（方法一）

m2?n2恒成立。 Sm?Sn?cSk?md?nd?c?kd?m?n?c?k， c?2k222222222m2?n29?， 又m?n?3k且m?n，2(m?n)?(m?n)?9k?k222222故c?99，即c的最大值为。

22（方法二）由a1?d及Sn?a1?(n?1)d，得d?0，Sn?n2d2。 于是，对满足题设的m,n,k，m?n，有

9(m?n)229229Sm?Sn?(m?n)d?d?dk?Sk。所以c的最大值cmax?。

2222222933。设k为偶数，令m?k?1,n?k?1，则m,n,k符合条件，22231222223222且Sm?Sn?(m?n)d?d[(k?1)?(k?1)]?d(9k?4)。

222另一方面，任取实数a?

由上可知：Si(2i?1}是(2i?1)的倍数

而a(i?1)(2i?1}?j?2i?1(j?1,2,?,2i?1)，所以Si(2i?1)?j?Si(2i?1)?j(2i?1)是

a(i?1)(2i?1}?j(j?1,2,?,2i?1)的倍数

又S(i?1)[2i?1}?(i?1)(2i?1)不是2i?2的倍数， 而a(i?1)(2i?1}?j??(2i?2)(j?1,2,?,2i?2) 所

以

S(i?1)(2i?1)?j?S(i?1)(2i?1)?j(2i?2)?(2i?1)(i?1)?j(2i?2)a(i?1)(2i?1}?j(j?1,2,?,2i?2)的倍数

故当l?i(2i?1)时，集合Pl中元素的个数为1?3???（2i-1）?i2 于是当l?i(2i?1)?j（1?j?2i?1）时，集合Pl中元素的个数为i2?j 又2000?31?（2?31?1）?47 故集合P22000中元素的个数为31?47?1008

不是

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