高考物理选修3-2 第十章 电磁感应专题2 电磁感应中的动力学、能

专题2电磁感应中的动力学、能量和动量问题

电磁感应中的动力学问题

1.用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题

解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：

2.电磁感应中的动力学临界问题

(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。

【例1】如图1所示，足够长的平行金属导轨MN和PQ表面粗糙，与水平面间的夹角为θ＝37°(sin 37°＝0.6)，间距为1 m。垂直于导轨平面向上的匀强磁场的磁感应强度的大小为4 T，P、M间所接电阻的阻值为8 Ω。质量为2 kg的金属杆ab垂直导轨放置，不计杆与导轨的电阻，杆与导轨间的动摩擦因数为0.25。金属杆ab在沿导轨向下且与杆垂直的恒力F作用下，由静止开始运动，杆的最终速度为8 m/s，取g＝10 m/s2，求：

图1

(1)当金属杆的速度为4 m/s 时，金属杆的加速度大小；

(2)当金属杆沿导轨的位移为6 m 时，通过金属杆的电荷量。

解析 (1)对金属杆ab 应用牛顿第二定律，有

F ＋mg sin θ－F 安－f ＝ma ，f ＝μF N ，F N ＝mg cos θ

ab 杆所受安培力大小为F 安＝BIL

ab 杆切割磁感线产生的感应电动势为E ＝BL v

由闭合电路欧姆定律可知I ＝E R 整理得F ＋mg sin θ－B 2L 2R v －μmg cos θ＝ma

代入v m ＝8 m/s 时a ＝0，解得F ＝8 N

代入v ＝4 m/s 及F ＝8 N ，解得a ＝4 m/s 2。

(2)设通过回路横截面的电荷量为q ，则q ＝I －

t

回路中的平均电流强度为I －＝E －R 回路中产生的平均感应电动势为E －

＝ΔΦt 回路中的磁通量变化量为ΔΦ＝BLx ，联立解得q ＝3 C 。

答案 (1)4 m/s 2 (2)3 C

1.如图2所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成θ＝37°角放置，在斜面上虚线aa ′和bb ′与斜面底边平行，在aa ′、bb ′围成的区域中有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B ＝1 T ；现有一质量为m ＝10 g ，总电阻R ＝1 Ω、边长d ＝0.1 m 的正方形金属线圈MNQP ，让PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端由静止释放，线圈刚好匀速穿过整个磁场区域。已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，(取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

图2

(1)线圈进入磁场区域时的速度大小；

(2)线圈释放时，PQ 边到bb ′的距离；

(3)整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。

解析 (1)对线圈受力分析，根据平衡条件得

F 安＋μmg cos θ＝mg sin θ，F 安＝BId ，I ＝E R ，E ＝Bd v

联立并代入数据解得v ＝2 m/s 。

(2)线圈进入磁场前做匀加速运动，根据牛顿第二定律得

a ＝mg sin θ－μmg cos θm

＝2 m/s 2 线圈释放时，PQ 边到bb ′的距离L ＝v 22a ＝222×2

m ＝1 m (3)由于线圈刚好匀速穿过磁场，

则磁场宽度等于d ＝0.1 m ，

Q ＝W 安＝F 安·2d

代入数据解得Q ＝4×10－3 J 。

答案 (1)2 m/s (2)1 m (3)4×10－3 J

2.(2020·广东模拟)如图3甲，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距为1.0 m ，左端连接阻值R ＝4.0 Ω的电阻；匀强磁场磁感应强度B ＝0.5 T 、方向垂直导轨所在平面向下；质量m ＝0.2 kg 、长度L ＝1.0 m 、电阻r ＝1.0 Ω的金属杆置于导轨上，向右运动并与导轨始终保持垂直且接触良好。t ＝0时对杆施加一平行于导轨方向的外力F ，杆运动的v －t 图象如图乙所示。其余电阻不计。求：

图3

(1)从t＝0开始，金属杆运动距离为5 m时电阻R两端的电压；

(2)在0～3.0 s内，外力F大小随时间t变化的关系式。

解析(1)根据v－t图象可知金属杆做匀减速直线运动时间Δt＝3 s，t＝0 s时杆速度为v0＝6 m/s，

由运动学公式得其加速度大小a＝v0－0Δt

设杆运动了5 m时速度为v1，

则v20－v21＝2as1

此时，金属杆产生的感应电动势E1＝BL v1

回路中产生的电流I1＝E1

R＋r

电阻R两端的电压U＝I1R

联立以上几式可得U＝1.6 V。

(2)由t＝0时BIL＜ma，可分析判断出外力F的方向与v0反向。金属杆做匀减速直线运动，由牛顿第二定律有

F＋BIL＝ma

设在t时刻金属杆的速度为v，杆的电动势为E，回路电流为I，

则v＝v0－at，又E＝BL v，I＝E

R＋r

联立以上几式可得F＝0.1＋0.1t。

答案(1)1.6 V(2)F＝0.1＋0.1t

电磁感应中的能量问题

1.电磁感应中的能量转化

2.求解焦耳热Q的三种方法

3.动量守恒定律在电磁感应现象中的应用

在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律求解比较方便。

【例2】(2019·4月浙江选考，22)如图4所示，倾角θ＝37°、间距l＝0.1 m的足够长金属导轨底端接有阻值R＝0.1 Ω的电阻，质量m＝0.1 kg的金属棒ab垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.45。建立原点位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x。在0.2 m≤x≤0.8 m区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场。从t ＝0时刻起，棒ab在沿x轴正方向的外力F作用下，从x＝0处由静止开始沿斜面向上运动，其速度v与位移x满足v＝kx(可导出a＝k v)，k＝5 s－1。当棒ab运动至x1＝0.2 m处时，电阻R消耗的电功率P＝0.12 W，运动至x2＝0.8 m处时撤去外力F，此后棒ab将继续运动，最终返回至x＝0处。棒ab始终保持与导轨垂直，不计其他电阻，求：(提示：可以用F－x图象下的“面积”代表力F做的功，sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)

图4

(1)磁感应强度B的大小；

(2)外力F随位移x变化的关系式；

(3)在棒ab 整个运动过程中，电阻R 产生的焦耳热Q 。

解析 (1)在x 1＝0.2 m 处时，电阻R 消耗的电功率

P ＝（Bl v ）2R

此时v ＝kx ＝1 m/s

解得B ＝PR （l v ）2

＝305 T (2)在无磁场区间0≤x ＜0.2 m 内，有

a ＝5 s －1×v ＝25 s －2×x

F ＝25 s －2×xm ＋μmg cos θ＋mg sin θ＝(0.96＋2.5x ) N

在有磁场区间0.2 m ≤x ≤0.8 m 内，有

F A ＝（Bl ）2v R

＝0.6x N F ＝(0.96＋2.5x ＋0.6x ) N ＝(0.96＋3.1x ) N

(3)上升过程中克服安培力做的功(梯形面积)

W A1＝0.6 N 2(x 1＋x 2)(x 2－x 1)＝0.18 J

撤去外力后，设棒ab 上升的最大距离为s ，再次进入磁场时的速度为v ′，由动能定理有

(mg sin θ＋μmg cos θ)s ＝12m v 2

(mg sin θ－μmg cos θ)s ＝12m v ′2

解得v ′＝2 m/s

由于mg sin θ－μmg cos θ－（Bl ）2v ′R

＝0 故棒ab 再次进入磁场后做匀速运动

下降过程中克服安培力做的功

W A2＝（Bl）2v′

R(x2－x1)＝0.144 J

Q＝W A1＋W A2＝0.324 J

答案(1)30

5T(2)F＝(0.96＋3.1x) N

(3)0.324 J

1.(多选)(2020·天津一中模拟)如图5所示，固定在水平面上的光滑平行导轨间距为L，右端接有阻值为R的电阻，空间存在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。一质量为m、接入电路的电阻为r的导体棒ab与左端固定的弹簧相连并垂直导轨放置。初始时刻，弹簧处于自然长度。现给导体棒水平向右的初速度v0，导体棒开始沿导轨往复运动直至停止，运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触，此过程中弹簧一直在弹性限度内。若导体棒电阻r与导轨右端电阻R的阻值关系为R＝2r，不计导轨电阻，则下列说法正确的是()

图5

A.导体棒开始运动时，导体棒受到的安培力方向水平向左

B.导体棒开始运动时，初始时刻导体棒两端的电压为1

3BL v0

C.导体棒开始运动后速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为1

2m v

2

D.导体棒整个运动过程中电阻R上产生的焦耳热为1

3m v

2

解析导体棒开始运动时，由右手定则判断可知ab中产生的感应电流方向为a→b，由左手定则判断可知ab棒受到的安培力水平向左，选项A正确；导体棒开始运动时，ab棒产生的感应电势为E＝BL v0，由于R＝2r，所以导体捧两端的

电压为路端电压U＝2

3E＝2

3BL v0，选项B错误；由于导体棒运动过程中产生电能，

所以导体棒开始运动后速度第一次为零时，根据能量守恒定律可知弹簧的弹性势

能小于1

2m v 2

，选项C错误；导体棒最终会停在初始位置，在导体棒整个运动过

程中，电阻R上产生的焦耳热Q＝2

3×1

2m v

2

＝

1

3m v

2

，选项D正确。

答案AD

2.(2019·石家庄模拟)相距为L＝2 m的足够长的金属直角导轨如图6甲所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m＝0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，导轨电阻不计，回路中ab、cd电阻分别为R1＝0.6 Ω，R2＝0.4 Ω。整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动。测得拉力F与时间t的关系如图乙所示。g取

10 m/s2，求：

图6

(1)ab杆的加速度a；

(2)当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小；

(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做了5.2 J的功，求该过程中ab杆所产生的焦耳热。

解析(1)由图乙可知，t＝0时，F＝1.5 N

对ab杆：F－μmg＝ma

代入数据得a＝10 m/s2。

(2)cd 杆受力情况

如图(从d 向c 看)，当cd 杆所受重力与滑动摩擦力大小相等时，速度最大，

即mg ＝μF N

又F N ＝F 安

安培力F 安＝BIL

感应电流I ＝E R 1＋R 2＝BL v R 1＋R 2

由以上几式解得v ＝2 m/s 。

(3)ab 杆发生的位移为x ＝v 2

2a ＝0.2 m

对ab 杆应用动能定理得

W F －μmgx －W 安＝12m v 2

解得W 安＝4.9 J

根据功能关系得Q ＝W 安

所以ab 杆上产生的焦耳热为

Q ab ＝R 1R 1＋R 2

Q ＝2.94 J 。 答案 (1)10 m/s 2 (2)2 m/s (3)2.94 J

电磁感应与动量结合问题

考向 电磁感应与动量定理结合

1.动量定理在电磁感应中的应用

在电磁感应中用动量定理时，通常将下面两式结合应用： BLI ·Δt ＝m Δv

q ＝I Δt ＝n ΔΦR

2.动量守恒在电磁感应中的应用

在“双棒切割”系统中，在只有安培力作用下，系统的合外力为零，通常应用动量守恒求解。

【例3】 (2019·稽阳联谊学校模拟)如图7甲所示，光滑的水平绝缘轨道M 、N 上放有质量m 1＝0.2 kg 、电阻R 1＝0.02 Ω的“[”形金属框dabc ，轨道间有一有界磁场，磁感应强度随时间变化关系如图乙所示。一根长度等于ab 、质量m 2＝0.1 kg 、电阻R 2＝0.01 Ω的金属棒ef 在轨道上静止于磁场的左边界上。已知轨道间距与ab 长度相等，均为L 1＝0.3 m ，ad ＝bc ＝L 2＝0.1 m ，其余电阻不计。0时刻，给“[”形金属框一初速度v 0＝3 m/s ，与金属棒碰撞后合为一体成为一闭合导电金属框(碰撞时间极短)。t 0时刻整个框刚好全部进入磁场，t 0＋1 s 时刻，框右边刚要出磁场。求：

图7

(1)碰撞结束时金属框的速度大小；

(2)0～t 0时间内整个框产生的焦耳热；

(3)t 0～t 0＋1 s 时间内，安培力对ab 边的冲量。

解析 (1)碰撞过程中，由动量守恒定律得

m 1v 0＝(m 1＋m 2)v

解得v ＝2 m/s 。

(2)对闭合金属框，由动量定理得

－BIL 1Δt ＝－BL 1Δq ＝(m 1＋m 2)Δv

等号两边求和，得－BL 1q ＝(m 1＋m 2)(v ′－v )

又因q ＝B ΔS R 1＋R 2＝BL 1L 2R 1＋R 2

解得v ′＝1 m/s

所以Q ＝12(m 1＋m 2)v 2－12(m 1＋m 2)v ′ 2＝0.45 J

(3)整个框在磁场中运动，有

I ＝E R 总＝ΔΦΔtR 总＝ΔBL 1L 2ΔtR 总

＝0.4 A 又因B ＝1－0.4(t －t 0)，其中t 0≤t ≤t 0＋1 s

所以F 安＝BIL 1＝0.12B

I 冲＝F －

安t ＝F 安1＋F 安22t ＝0.12×1＋0.12×0.62×1 N·s ＝0.096 N·s

答案 (1)2 m/s (2)0.45 J (3)0.096 N·s

考向 电磁感应与动量守恒结合

【例4】 (多选)(2019·全国Ⅲ卷，19)如图8所示，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab 、cd 静止在导轨上。t ＝0时，棒ab 以初速度v 0向右滑动。运动过程中，ab 、cd 始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v 1、v 2表示，回路中的电流用I 表示。下列图象中可能正确的是( )

图8

解析 导体棒ab 运动，切割磁感线，产生感应电流(逆时针)，导体棒ab 受阻力

F作用，速度减小，导体棒cd受安培力F′作用，速度增大，最终两棒速度相等，如图所示。

由E＝Bl(v ab－v cd)知，感应电动势E非均匀变化，则感应电流非均匀变化。当两棒的速度相等时，回路中感应电流消失，两棒在导轨上以共同速度做匀速运动。

，A正确；导体棒cd受变力作用，由系统的动量守恒得m v0＝2m v共，v共＝v0

2

加速度逐渐减小，其v－t图象应该是曲线，B错误；由前面分析知，两导体棒做变速运动，感应电流变小，最后为零，但非均匀变化，C正确，D错误。

答案AC

1.如图9所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，与磁场方向垂直的水平面内有两根固定的足够长的平行金属导轨，导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的质量都为m，电阻都为R，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0。

图9

(1)求cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小；

(2)从开始运动到最终稳定，求电路中产生的电能；

(3)求两棒之间改变的最大距离。

解析(1)设当cd棒速度减为0.8v0时ab棒的速度为v′，

由动量守恒定律得m v0＝0.8m v0＋m v′

解得v′＝0.2v0

此时回路的电流是I＝Bl（0.8－0.2）v0

2R

cd棒的加速度为a＝BIl m

解得a＝0.3B2l2v0

mR

。

(2)设两棒稳定时共同的速度为v，据动量守恒定律得m v0＝(m＋m)v

解得v＝1

2

v0

故Q＝1

2m v 2

0－

1

2(m＋m)v

2＝14m v20。

(3)由法拉第电磁感应定律得，电路中产生的感应电动势E＝ΔΦ

Δt

＝BlΔx

Δt

这段时间内回路的电流为I－＝E

2R

对ab棒，由动量定理得B I－lΔt＝m v0－m v

联立解得Δx＝mR v0

B2l2

。

答案(1)0.3B2l2v0

mR(2)

1

4m v

2

(3)

mR v0

B2l2

2.如图10所示，平行粗糙导轨固定在绝缘水平桌面上，间距L＝0.2 m，导轨左端接有R＝1 Ω的电阻，质量为m＝0.1 kg的粗糙导体棒ab静置于导轨上，导体棒及导轨的电阻忽略不计。整个装置处于磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨向下。现外力F作用在导体棒ab上使之一开始做匀加速运动，且外力F随时间变化关系如图11所示，重力加速度g＝10 m/s2，试求解以下问题：

(1)前10 s导体棒ab的加速度大小；

(2)若整个过程中通过R 的电荷量为65 C ，则导体棒ab 运动的总时间是多少？ 解析 (1)由于导体棒一开始匀加速，对导体棒ab 用牛顿第二定律得 F －F A －f ＝ma

又F A ＝BIL ＝B BL v R L ＝B 2L 2v R

v ＝at

综上得F ＝B 2L 2a R t ＋f ＋ma

据图象可知前10 s ，F －t 图线斜率为0.05，

即B 2L 2a R ＝0.05 N/s

代入数据解得a ＝5 m/s 2。

(2)当t ＝0时，f ＋ma ＝1 N ，则f ＝0.5 N

10 s 时导体棒的速度v 1＝at 1＝5×10 m/s ＝50 m/s

此时安培力F A ＝0.5 N

由于F ＝1 N ，且此时f ＋F A ＝F ＝1 N ，故10～15 s 内导体棒做匀速直线运动 0～15 s 内导体棒ab 的位移

x ＝v 12t 1＋v 1t 2＝502×10 m ＋50×5 m ＝500 m

通过R 的电荷量

q 1＝ΔΦR ＝BLx R ＝0.5×0.2×5001

C ＝50 C F 为0后，导体棒做减速运动直到停止过程中通过R 的电荷量

q 2＝q －q 1＝65 C －50 C ＝15 C

对导体棒ab 应用动量定理－ft 3－BILt 3＝0－m v 1

又It 3＝q 2

解得t3＝7 s

则导体棒ab运动的总时间

t＝t1＋t2＋t3＝10 s＋5 s＋7 s＝22 s

答案(1)5 m/s2(2)22 s

课时作业

(时间：40分钟)

基础巩固练

1.(多选)如图1所示，光滑平行金属轨道平面与水平面成θ角，两轨道上端用一电阻R相连，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道平面向上。质量为m 的金属杆ab以初速度v0从轨道底端向上滑行，滑行到某一高度h后又返回到底端。若运动过程中，金属杆始终保持与轨道垂直且接触良好，轨道与金属杆的电阻均忽略不计，重力加速度为g，则()

图1

A.金属杆返回到底端时的速度大小为v0

B.金属杆上滑到最高点的过程中克服安培力与克服重力做功之和等于1

2m v

2

C.上滑到最高点的过程中电阻R上产生的热量等于1

2m v

2

－mgh

D.金属杆两次通过轨道上的同一位置时电阻R的热功率相同

解析金属杆从轨道底端滑上轨道某一高度至又返回到出发点时，由于电阻R 上产生热量，故金属杆的机械能减小，即返回到底端时速度小于v0，选项A错误；金属杆上滑到最高点的过程中，动能转化为重力势能和电阻R上产生的热量(即克服安培力所做的功)，选项B、C正确；金属杆两次通过轨道上同一位置时的速度大小不同，电路中的电流不同，故电阻的热功率不同，选项D错误。答案BC

2.(多选)一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图2所示，磁感应强度B＝0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，重力均为0.1 N，现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升(导体棒ab、cd与导轨接触良好)，此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确的是()

图2

A.ab受到的拉力大小为2 N

B.ab向上运动的速度为2 m/s

C.在2 s内，拉力做功使其他形式的能转化的电能是0.4 J

D.在2 s内，拉力做功为0.6 J

解析对导体棒cd分析：mg＝BIl＝B2l2v

R总

，得v＝2 m/s，故选项B正确；对导体

棒ab分析：F＝mg＋BIl＝0.2 N，选项A错误；在2 s内拉力做功使其他形式的能转化为ab棒的重力势能和电路中的电能，增加的电能等于克服安培力做的功，即W电＝F安v t＝B2l2v2t

R总

＝0.4 J，选项C正确；在2 s内拉力做的功为W拉＝F v t ＝0.8 J，选项D错误。

答案BC

3.(多选)(2018·河北石家庄二模)如图3甲所示，质量m＝3.0×10－3kg的“”形金属细框竖直放置在两水银槽中，“”形框的水平细杆CD长l＝0.20 m，处于磁感应强度大小B1＝1.0 T、方向水平向右的匀强磁场中。有一匝数n＝300匝、面积S＝0.01 m2的线圈通过开关K与两水银槽相连。线圈处于与线圈平面垂直、沿竖直方向的匀强磁场中，其磁感应强度B2随时间t变化的关系如图乙所示。t ＝0.22 s 时闭合开关K瞬间细框跳起(细框跳起瞬间安培力远大于重力)，跳起的

最大高度h ＝0.20 m 。不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2，下列说法正确的是( )

图3

A.0～0.10 s 内线圈中的感应电动势大小为3 V

B.开关K 闭合瞬间，CD 中的电流方向由C 到D

C.磁感应强度B 2的方向竖直向下

D.开关K 闭合瞬间，通过细杆CD 的电荷量为0.03 C

解析 0～0.1 s 内线圈中的磁场均匀变化，由法拉第电磁感应定律知E ＝n ΔΦΔt ＝

nS ΔB Δt ，代入数据得E ＝30 V ，A 错误；开关闭合瞬间，细框会跳起，可知细框受向上的安培力，由左手定则可判断电流方向由C 到D ，B 正确；由于t ＝0.22 s 时通过线圈的磁通量正在减少，再对线圈由楞次定律可知感应电流产生的磁场的方向与B 2的方向相同，故再由安培定则可知C 错误；K 闭合瞬间，因安培力远大于重力，则由动量定理有B 1Il Δt ＝m v ，通过细杆的电荷量Q ＝I Δt ，线框向上跳起的过程中v 2＝2gh ，解得Q ＝0.03 C ，D 正确。

答案 BD

4.如图4甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨ab 、cd 与水平面成θ＝30°角且固定，导轨间距离为L ＝2.0 m ，电阻不计。在导轨上端接一个阻值为R 0的定值电阻，在c 、N 之间接有电阻箱。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B ＝1 T 。现将一质量为m 、电阻可以

忽略的金属棒MN 从图示位置由静止开始释放，金属棒下滑过程中与导轨接触良好。不计一切摩擦。改变电阻箱的阻值R ，测定金属棒的最大速度v m ，得到v m －R 的关系如图乙所示。若导轨足够长，重力加速度g 取10 m/s 2。

图4

(1)求金属棒的质量m 和定值电阻R 0的阻值；

(2)当电阻箱R 取3.5 Ω，且金属棒的加速度为3 m/s 2时，金属棒的速度为多大？ 解析 (1)金属棒以最大速度v m 下滑时，根据法拉第电磁感应定律得E ＝BL v m 由闭合电路的欧姆定律得I ＝E R ＋R 0

当金属棒以最大速度下滑时，有mg sin θ＝BIL

联立解得v m ＝mg sin θB 2L 2R ＋mg sin θB 2L 2R 0

由v m －R 图线可知mg sin θB 2L 2＝1，mg sin θB 2L 2R 0＝0.5

解得m ＝0.8 kg ，R 0＝0.5 Ω。

(2)设金属棒下滑的速度为v ，根据法拉第电磁感应定律得E ′＝BL v

由闭合电路的欧姆定律得I ′＝E ′R ＋R 0

当金属棒下滑的加速度为3 m/s 2时，根据牛顿第二定律得

mg sin θ－BIL ＝ma

解得v ＝1.6 m/s 。

答案 (1)0.8 kg 0.5 Ω (2)1.6 m/s

5.如图5甲所示，绝缘水平面上有一间距L ＝1 m 的金属“U”形导轨，导轨右侧接一个R ＝3 Ω的电阻。在“U”形导轨中间虚线范围内存在垂直于导轨的匀强磁场，磁场的宽度d ＝1 m ，磁感应强度B ＝0.5 T 。现有一质量m ＝0.1 kg 、电阻r ＝2 Ω、长L ＝1 m 的导体棒MN 以一定的初速度从导轨的左端开始向右运动，穿过磁场的过程中，回路中的感应电流i 随时间t 变化的图象如图乙所示。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数μ＝0.3，导轨电阻不计。在导体棒MN 穿过磁场的过程中，求：(g 取10 m/s 2)

图5

(1)MN 刚进入磁场时的速度大小；

(2)电阻R 产生的焦耳热；

(3)导体棒通过磁场的时间。

解析 (1)根据闭合电路欧姆定律得I 0＝E 0R ＋r

根据法拉第电磁感应定律得E ＝BL v 0

由乙图知，MN 刚进入磁场时的电流I 0＝0.5 A ，

联立解得v 0＝I 0（R ＋r ）BL

＝5 m/s 。 (2)导体棒通过磁场过程，由动能定理得

－μmgd －W 安＝12m v 2－12m v 20

而v ＝I （R ＋r ）BL ＝3 m/s

Q R ＝R R ＋r W 安

联立解得Q R ＝0.3 J 。

(3)导体棒通过磁场过程，由动量定理得

－μmgt －B I －Lt ＝m v －m v 0

I －t ＝BLd R ＋r

联立解得t ＝0.5 s 。

答案 (1)5 m/s (2)0.3 J (3)0.5 s

综合提能练

6.如图6所示，MN 、PQ 是固定在水平桌面上，相距l ＝1.0 m 的光滑平行金属导轨，MP 两点间接有R ＝0.6 Ω 的定值电阻，导轨电阻不计。质量均为m ＝0.1 kg ，阻值均为r ＝0.3 Ω的两导体棒a 、b 垂直于导轨放置，并与导轨良好接触。开始时两棒被约束在导轨上处于静止状态，相距x 0＝2 m ，a 棒用细丝线通过光滑滑轮与质量为m 0＝0.2 kg 的重物c 相连，重物c 距地面高度也为x 0＝2 m 。整个桌面处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B ＝1.0 T 。a 棒解除约束后，在重物c 的拉动下开始运动(运动过程中丝线始终与b 棒没有作用)，当a 棒即将到达b 棒位置前一瞬间，b 棒的约束被解除，此时a 棒已经匀速运动，试求：

图6

(1)a 棒匀速运动时棒中的电流大小；

(2)已知a 、b 两棒相碰后即粘合成一根“更粗的棒”，假设导轨足够长，试求该“粗棒”能运动的距离；

(3)a 棒解除约束后整个过程中装置产生的总焦耳热。

解析 (1)由题意，a 棒匀速运动时，m 0g ＝BlI a ，

可得I a ＝2 A 。

(2)设碰前a 棒的速度为v ，则

I a ＝Bl v R 总，R 总＝0.6×0.30.6＋0.3

Ω＋0.3 Ω＝0.5 Ω v ＝1 m/s

a 与

b 碰撞过程m v ＝2m v ′，v ′＝0.5 m/s

a 与

b 碰撞后的整体运动过程，由动量定理得

－I －lBt ＝0－2m v ′，q ＝I －t ＝Blx

R ＋r 2

得x ＝0.075 m 。

(3)发生碰撞前

m 0gx 0－Q 1＝12

(m 0＋m )v 2 得Q 1＝3.85 J

发生碰撞后Q 2＝12×2m v ′2＝0.025 J

所以整个运动过程Q ＝Q 1＋Q 2＝3.875 J 。

答案 (1)2 A (2)0.075 m (3)3.875 J

7.(2019·天津卷，11)如图7所示，固定在水平面上间距为l 的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN 和PQ 长度也为l 、电阻均为R ，两棒与导轨始终接触良好。MN 两端通过开关S 与电阻为R 的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k 。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。PQ 的质量为m ，金属导轨足够长、电阻忽略不计。

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